图示评审技术GERT
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• 从实际应用来看，随机网络较之PERT/CPM （当网络中各节点之间的传递函数服从β分布， 则该网络属于PERT类型，如果这些传递参数 都是肯定型的，则成为CPM网络，他们都是 随机网络的特例）已展现了巨大的潜力。从 一九六九年GERT-E成功地用于美国“阿波罗” 计划之后，相继在研究和发展性项目及生产 过程中得到应用，如科研计划管理、可靠性 分析、机械制造生产线的设计和分析、质量 控制、自动化仓库管理、排队问题等等。
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• 在GERT网络模型中，每条枝线上通常会用三 个参数表示流，如图1所示：
• 图1随机网络基本节点关系 • Fig.1 Basic relationship of random
network’s node
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P0
• 图1中： • U---节点1到节点2的流； • P 0 --当节点1实现时，枝线将要实现的概率； •T 0 --该枝线实现所需要的时间，它是服从一定
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• 网络中活动和节点都有时间、费用 和性能三种参数。每个活动上既可 赋给弧本身所具有的三种参数，该 项活动本身所需要的时间周期、消 耗的费用及经过本活动所产生的性 能参数。同时，每项活动上还具有 累积的三种参数。
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• 根据活动在网络中的位置，从源节点开 始，时间流、费用流和性能流经过一定 的路径，到达该活动时，所有途经活动 上三项参数的累计总和。例如，在网络 中某项活动完成时，在该活动上可以得 到从软件项目开始到此活动完成时刻的 周期、累计费用和到此时已达到的性能 值。
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• 此外，以上解析法过程，不仅限于求解GERT网络由 源节点到终节点之间的传递函数和网络参数，而且， 由网络中任意一个节点到另一节点之间，也可通过引 入闭合反馈活动，求得相应的等价传递函数和其它概 率参数。对于具有多个源节点和多个终节点的GERT 网络，也同样是适用的。
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• 5 例题 • 算例1：某物流企业根据实际情况对其即将进
.
• 此外，在交通运输、人口动态分析、 计算机系统、商务合同签定等方面 也都得到应用。八十年代初期， NASA又将Q-GERT和SLAM成功地 用于航天飞机发射及回收过程的网 络计划中。因此就GERT本身来说， 理论上已经发展到了一个相当成熟 的阶段。
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2. GERT的构成
• GERT网络图是由枝线、节点 和流3个要素组成。
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• 在随机网络模型中，假设： • ①各节点之间的转移概率不随时间而变化。
这相当于马尔科夫过程中转移概率不变的稳 定性假设，从而保证系统的稳定性。 • ②在任何时点上，从节点i转移到节点j，j只与 节点i有关，而与如何到达节点j的过程无关， 这是马尔科夫假设的“健忘性”。但是由于 节点转移需要一定的随机时间，因此随机网 络模型实际上是半马尔科夫过程模型。
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3. 随机网络的解析法原理
• 在随机网络中，主要有三种逻辑输 入节点，“与”型、“或”型和 “异或”型。但是只有“异或”型 节点容易用数学方法进行解析处理， 所以一般情况下，需要把“与”型 和“或”型节点用“异或”型节点 来进行组合以替代。
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• 在节点仅为互斥型输入，而输出为概率型的 GERT网络模型中，适当地规定其活动参数的 概率特征，GERT网络将成为一种典型的线性 系统，这样可以用一种具有线性特征的“信 号流图”模型来计算随机网络中各节点之间 的传递关系，并利用矩母函数的基本性质来 计算网络的各种概率分布数字特征，从而得 到随机网络在平衡状态下的解析解。
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• 表1 GERT模型节点类型
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• 异或型(互斥型)输入：至该节点的任一工作实 现，该节点即实现，但在给定时间上，只有一 个工作能实现。
• 或型(兼有型)输入：通向节点的任一工作实现， 该节点即实现，而节点实现的时间是通向节点 的各工作中时间最短者。
• 与型(汇合型)输入：当所有引入此节点的工作 都实现时，该节点才实现，节点实现的时间是 各工作中时间中最长者。
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• 闭信号流图——当信号流图中每个节点(或箭头) 都至少属于一个环时，该图称为闭信号流图。
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• 利用以上概念，可将梅森的拓扑方程表达式如 下：
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4. GERT网络的解析算法
• 从理论上说，把信号流图原理和矩 母函数的特征结合起来就形成 GERT网络解析算法的基础。接下 来，介绍矩母函数概念及其特征。
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• 一句话，GERT随机网络完全立足 于真实的项目进程，允许考虑项目 的返工，考虑项目及各个进度路径 的选择、废弃，以及考虑通过反复 重复某一过程而带来的学习效应等， 基本上不受方法本身先天局限的影 响。
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• 随机网络的建模要素是活动（弧）和节点， 其仿真过程可以想象成一定的时间流、费用 流和性能流通过各项活动，并受到节点逻辑 的控制流向相应的活动中。每次仿真运行， 就相当于这些流从源节点出发，经过相应的 节点和活动，执行相应的事件，最后到达网 络的终节点。由于网络中可以选用具有各种 逻辑功能不同的节点，可能导致三种流只经 过网络中的部分节点和弧，并到达某个终止 节点。
• （1）枝线又称有向边或传输 元素，它是从一个节点出发， 到一个节点结束的有向线段。 在随机网络中，可以表示具体 的工作，也可以表示工作的结 果或两工作间的相互关系。
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• （2）节点是枝线的连接点，它既表明各枝线间 的相互关系，又表示了前面枝线的结束和后面 枝线的开始。在随机网络中，除了源节点和终 结点外，每个节点必须有一个引入枝线和一个 引出枝线，同时允许有多个源节点和多个终节 点，即允许多个目标的存在。并且除了源节点 和终节点外，每个节点都是由输入端和输出端 组成。在GERT网络图中输入端有三种逻辑关 系，输出端有两种逻辑关系，共同构成六种不 同功能的节点，如表1所示。
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• 确定型(肯定型)输出：由此节点引出的工 作迟早都实现，即自该节点发出工作被 完成的概率为1。
• 概率型(随机型)输出：当节点实现时，所 有从该节点引出的工作中只有一个工作 按一定的概率得以实现。
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• （3）流是反映网络中的各种定量参 数和节点间(或枝线)的相互定量制约 关系，如工作的时间、费用，消耗 的各种资源，效益以及实现的概率 等。
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• 在状态转移中，在状态转移中所有的传递关系 将表现为某些参数(即流)的变化，或某些资源 的占用。这些传递参数通常服从一定的概率分 布，即节点之间的转移，其传递参数将按一定 的概率分布取不同的数值，这是随机网络的又 一特征。然而，在随机网络中并不排除一部分 节点之间存在肯定性的转移关系，即转移概率 取1的转移关系，即肯定性转移关系。如果网络 中各节点之间的传递参数唯一地服从β分布，则 该网络属于PERT类型。如果这些传递参数都 是肯定型的，那就成为CPM型网络，即肯定型 网络了。
概率分布的随机变量； •C 0 --该枝线实现所需要的费用，它是服从一定
概率分布的随机变量。
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• 在随机网络中，各节点可以理解为工作的状 态。随着时间的推移，系统从一种状态转移 到另一种或多种状态时，即从某一节点转移 到其它可能的节点时，可以有不同的概率 （概率分布可选取任何种类），也就是说， 从某一节点以一定的概率转移到另一节点去， 节点引出的枝线允许有多个概率分支。节点 和枝线不一定都实现，实现的可能性取决于 节点的类型和枝线的概率系数。因为工作活 动状态之间的转移具有概率性质，而且状态 之间的传递关系也服从一定的概率分布，所 以网络的运行过程就具有随机性质。
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• 其中，S为任意实数。根据矩母函数的定义， 可以得出几种常用分布的矩母函数，如表2所示。
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• 由上面的叙述可知道，GERT网络中串联、 并联和自环结构的等价传递函数与信号流 图中所描述的线性系统完全一致，而 GERT 网 络 都 是 由 这 三 种 形 式 所 构 成 ， 从 而在理论上奠定了求解GERT网络解析解 的基础。
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x3=x1t13+x2t23
• ⑵并联元素的传递关系为各并联枝线上的传 递系数之和，即
• 如图4所示，即
• 图4并联元素的传递关系 • Fig.4 Transitive relation of parallel structure
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• 如图5，即
• 图5自环元素的传递关系 • Fig.5Transitive relation of loop-self structure • 任何信号流图都可以转化为以上三种形式，从而有可能得到等价的信号 流图。
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• 4.1矩母函数 • 令在网络其中节点集合中，仅含“异或”型节
点，随机变量为工作集合中第(ij)个工作的周期。 按节点逻辑，工作(ij)必须在节点i实现时才能执 行。因此，要知道工作(ij)的执行情况，就需要 知道在给定节点i实现的条件下，工作(ij)被执行 的概率，以及的概率分布(离散变量)或概率密 度函数(连续变量)。
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• 以上是针对输入端点为“异或”型的等价 传递函数描述，另外两种输入节点--“与” 型和“或”型在解析求解时，串、并联及 自环路结构简化方式汇总如表3所示。
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• 表3 GERT模型中串、并联及自环路结构简化方式表
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• 在一个GERT网络中，任何“与”型节点 或“或”型节点，都可以通过一定的网络 逻辑变换，使之转化为“异或”型节点， 即可以转化为仅含单一“异或”型节点的 随机网络，从而使GERT网络的解析求解 成为可能。
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• 如上图2，在任意系统中，对于任意两个相邻 的节点i和节点j，如果存在一
• 该式反映了变量之间的相乘关系，各节点所代表的变 量之间的关系具有线性关系，只要这些线性方程组有 解，即可确定信号流图中各个节点上的变量值。
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• 3.2信号流图的拓扑等价特性 • 根据节点定律，复杂信号流图可以简化为某
• 下面我们从信号流图理论入手，开始大概介 绍一下随机网络的原理。
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• 3.1信号流图理论简介 • 信号流图是以网络图形式表示所研究系统(或
问题)中各变量之间的相互关系，是一种线性 系统的建模和分析工具。起Байду номын сангаас用于配电网络 的分析计算，以后逐步扩展到工程中其它线 性系统，如电路分析、自动控制、概率与统 计以及随机网络等。在信号流图中，系统的 元素用节点和箭头表示。
种等价的信号流图，并得到相应的等价传递 系数或传递函数，这种简化过程，表明信号 流图的拓扑等价特性。信号流图的三种基本 形式的等价传递关系如下： • ⑴串联元素的传递关系为各串联枝线上的传 递系数的乘积，即
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• 如图3所示，
• 图3串联元素的传递关系 • Fig.3 Transitive relation of serial structure
行的自动化立体仓库检修作了一个GERT随机 网络图，见图1，各检修程序的概率及时间分 布见表，其中假设各检修程序完成的时间均 服从正态分布。试讨论该自动化立体仓库的 维修风险。
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• 图1
Review Technique
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1. GERT概述
• 随机网络，又称图示评审技 术GERT，是指网络计划中 活动与活动之间的逻辑关系 具有不确定性，且活动的费 用和时间参数也不确定，而 按随机变量进行分析的网络 计划技术。
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• 在GERT网络中可以包含具有不同 逻辑特征的节点，节点的引出端允 许有多个概率分支，网络中允许回 路和自环存在，每个活动的费用和 时间参数可选取任何类型的概率分 布等等。
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• 3.3信号流图的拓扑方程 • 信号流图的特性提供了简化信号流图和求解等
价传递系数的方法。1953年，梅森提出求解信 号流图拓扑方程，可以求出信号图中任意两个 节点间的等价传递系数。为了说明该方程的应 用，先对以下概念进行说明。 • 环——在信号流图中，当开始节点与终节点完 全重合时，连接这些节点的封闭路径为环。
一句话gert随机网络完全立足于真实的项目进程允许考虑项目的返工考虑项目及各个进度路径的选择废弃以及考虑通过反复重复某一过程而带来的学习效应等基本上不受方法本身先天局限的影随机网络的建模要素是活动弧和节点其仿真过程可以想象成一定的时间流费用流和性能流通过各项活动并受到节点逻辑的控制流向相应的活动中
图示评审技术GERT Graphical Evaluation
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• 节点代表一定的变量，箭头表示变量之间的 关系，即节点之间的传递系数或传递函数。 这些传递函数可以由一个或若干个参数组成， 箭头的方向表示所联系节点之间的传递方向， 如图2所示。
• 图2信号流图基本组成 • Fig.2 Basic composition of signal flow graph
• 从实际应用来看，随机网络较之PERT/CPM （当网络中各节点之间的传递函数服从β分布， 则该网络属于PERT类型，如果这些传递参数 都是肯定型的，则成为CPM网络，他们都是 随机网络的特例）已展现了巨大的潜力。从 一九六九年GERT-E成功地用于美国“阿波罗” 计划之后，相继在研究和发展性项目及生产 过程中得到应用，如科研计划管理、可靠性 分析、机械制造生产线的设计和分析、质量 控制、自动化仓库管理、排队问题等等。
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• 在GERT网络模型中，每条枝线上通常会用三 个参数表示流，如图1所示：
• 图1随机网络基本节点关系 • Fig.1 Basic relationship of random
network’s node
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P0
• 图1中： • U---节点1到节点2的流； • P 0 --当节点1实现时，枝线将要实现的概率； •T 0 --该枝线实现所需要的时间，它是服从一定
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• 网络中活动和节点都有时间、费用 和性能三种参数。每个活动上既可 赋给弧本身所具有的三种参数，该 项活动本身所需要的时间周期、消 耗的费用及经过本活动所产生的性 能参数。同时，每项活动上还具有 累积的三种参数。
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• 根据活动在网络中的位置，从源节点开 始，时间流、费用流和性能流经过一定 的路径，到达该活动时，所有途经活动 上三项参数的累计总和。例如，在网络 中某项活动完成时，在该活动上可以得 到从软件项目开始到此活动完成时刻的 周期、累计费用和到此时已达到的性能 值。
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• 此外，以上解析法过程，不仅限于求解GERT网络由 源节点到终节点之间的传递函数和网络参数，而且， 由网络中任意一个节点到另一节点之间，也可通过引 入闭合反馈活动，求得相应的等价传递函数和其它概 率参数。对于具有多个源节点和多个终节点的GERT 网络，也同样是适用的。
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• 5 例题 • 算例1：某物流企业根据实际情况对其即将进
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• 此外，在交通运输、人口动态分析、 计算机系统、商务合同签定等方面 也都得到应用。八十年代初期， NASA又将Q-GERT和SLAM成功地 用于航天飞机发射及回收过程的网 络计划中。因此就GERT本身来说， 理论上已经发展到了一个相当成熟 的阶段。
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2. GERT的构成
• GERT网络图是由枝线、节点 和流3个要素组成。
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• 在随机网络模型中，假设： • ①各节点之间的转移概率不随时间而变化。
这相当于马尔科夫过程中转移概率不变的稳 定性假设，从而保证系统的稳定性。 • ②在任何时点上，从节点i转移到节点j，j只与 节点i有关，而与如何到达节点j的过程无关， 这是马尔科夫假设的“健忘性”。但是由于 节点转移需要一定的随机时间，因此随机网 络模型实际上是半马尔科夫过程模型。
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3. 随机网络的解析法原理
• 在随机网络中，主要有三种逻辑输 入节点，“与”型、“或”型和 “异或”型。但是只有“异或”型 节点容易用数学方法进行解析处理， 所以一般情况下，需要把“与”型 和“或”型节点用“异或”型节点 来进行组合以替代。
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• 在节点仅为互斥型输入，而输出为概率型的 GERT网络模型中，适当地规定其活动参数的 概率特征，GERT网络将成为一种典型的线性 系统，这样可以用一种具有线性特征的“信 号流图”模型来计算随机网络中各节点之间 的传递关系，并利用矩母函数的基本性质来 计算网络的各种概率分布数字特征，从而得 到随机网络在平衡状态下的解析解。
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• 表1 GERT模型节点类型
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• 异或型(互斥型)输入：至该节点的任一工作实 现，该节点即实现，但在给定时间上，只有一 个工作能实现。
• 或型(兼有型)输入：通向节点的任一工作实现， 该节点即实现，而节点实现的时间是通向节点 的各工作中时间最短者。
• 与型(汇合型)输入：当所有引入此节点的工作 都实现时，该节点才实现，节点实现的时间是 各工作中时间中最长者。
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• 闭信号流图——当信号流图中每个节点(或箭头) 都至少属于一个环时，该图称为闭信号流图。
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• 利用以上概念，可将梅森的拓扑方程表达式如 下：
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4. GERT网络的解析算法
• 从理论上说，把信号流图原理和矩 母函数的特征结合起来就形成 GERT网络解析算法的基础。接下 来，介绍矩母函数概念及其特征。
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• 一句话，GERT随机网络完全立足 于真实的项目进程，允许考虑项目 的返工，考虑项目及各个进度路径 的选择、废弃，以及考虑通过反复 重复某一过程而带来的学习效应等， 基本上不受方法本身先天局限的影 响。
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• 随机网络的建模要素是活动（弧）和节点， 其仿真过程可以想象成一定的时间流、费用 流和性能流通过各项活动，并受到节点逻辑 的控制流向相应的活动中。每次仿真运行， 就相当于这些流从源节点出发，经过相应的 节点和活动，执行相应的事件，最后到达网 络的终节点。由于网络中可以选用具有各种 逻辑功能不同的节点，可能导致三种流只经 过网络中的部分节点和弧，并到达某个终止 节点。
• （1）枝线又称有向边或传输 元素，它是从一个节点出发， 到一个节点结束的有向线段。 在随机网络中，可以表示具体 的工作，也可以表示工作的结 果或两工作间的相互关系。
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• （2）节点是枝线的连接点，它既表明各枝线间 的相互关系，又表示了前面枝线的结束和后面 枝线的开始。在随机网络中，除了源节点和终 结点外，每个节点必须有一个引入枝线和一个 引出枝线，同时允许有多个源节点和多个终节 点，即允许多个目标的存在。并且除了源节点 和终节点外，每个节点都是由输入端和输出端 组成。在GERT网络图中输入端有三种逻辑关 系，输出端有两种逻辑关系，共同构成六种不 同功能的节点，如表1所示。
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• 确定型(肯定型)输出：由此节点引出的工 作迟早都实现，即自该节点发出工作被 完成的概率为1。
• 概率型(随机型)输出：当节点实现时，所 有从该节点引出的工作中只有一个工作 按一定的概率得以实现。
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• （3）流是反映网络中的各种定量参 数和节点间(或枝线)的相互定量制约 关系，如工作的时间、费用，消耗 的各种资源，效益以及实现的概率 等。
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• 在状态转移中，在状态转移中所有的传递关系 将表现为某些参数(即流)的变化，或某些资源 的占用。这些传递参数通常服从一定的概率分 布，即节点之间的转移，其传递参数将按一定 的概率分布取不同的数值，这是随机网络的又 一特征。然而，在随机网络中并不排除一部分 节点之间存在肯定性的转移关系，即转移概率 取1的转移关系，即肯定性转移关系。如果网络 中各节点之间的传递参数唯一地服从β分布，则 该网络属于PERT类型。如果这些传递参数都 是肯定型的，那就成为CPM型网络，即肯定型 网络了。
概率分布的随机变量； •C 0 --该枝线实现所需要的费用，它是服从一定
概率分布的随机变量。
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• 在随机网络中，各节点可以理解为工作的状 态。随着时间的推移，系统从一种状态转移 到另一种或多种状态时，即从某一节点转移 到其它可能的节点时，可以有不同的概率 （概率分布可选取任何种类），也就是说， 从某一节点以一定的概率转移到另一节点去， 节点引出的枝线允许有多个概率分支。节点 和枝线不一定都实现，实现的可能性取决于 节点的类型和枝线的概率系数。因为工作活 动状态之间的转移具有概率性质，而且状态 之间的传递关系也服从一定的概率分布，所 以网络的运行过程就具有随机性质。
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• 其中，S为任意实数。根据矩母函数的定义， 可以得出几种常用分布的矩母函数，如表2所示。
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• 由上面的叙述可知道，GERT网络中串联、 并联和自环结构的等价传递函数与信号流 图中所描述的线性系统完全一致，而 GERT 网 络 都 是 由 这 三 种 形 式 所 构 成 ， 从 而在理论上奠定了求解GERT网络解析解 的基础。
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x3=x1t13+x2t23
• ⑵并联元素的传递关系为各并联枝线上的传 递系数之和，即
• 如图4所示，即
• 图4并联元素的传递关系 • Fig.4 Transitive relation of parallel structure
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• 如图5，即
• 图5自环元素的传递关系 • Fig.5Transitive relation of loop-self structure • 任何信号流图都可以转化为以上三种形式，从而有可能得到等价的信号 流图。
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• 4.1矩母函数 • 令在网络其中节点集合中，仅含“异或”型节
点，随机变量为工作集合中第(ij)个工作的周期。 按节点逻辑，工作(ij)必须在节点i实现时才能执 行。因此，要知道工作(ij)的执行情况，就需要 知道在给定节点i实现的条件下，工作(ij)被执行 的概率，以及的概率分布(离散变量)或概率密 度函数(连续变量)。
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• 以上是针对输入端点为“异或”型的等价 传递函数描述，另外两种输入节点--“与” 型和“或”型在解析求解时，串、并联及 自环路结构简化方式汇总如表3所示。
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• 表3 GERT模型中串、并联及自环路结构简化方式表
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• 在一个GERT网络中，任何“与”型节点 或“或”型节点，都可以通过一定的网络 逻辑变换，使之转化为“异或”型节点， 即可以转化为仅含单一“异或”型节点的 随机网络，从而使GERT网络的解析求解 成为可能。
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• 如上图2，在任意系统中，对于任意两个相邻 的节点i和节点j，如果存在一
• 该式反映了变量之间的相乘关系，各节点所代表的变 量之间的关系具有线性关系，只要这些线性方程组有 解，即可确定信号流图中各个节点上的变量值。
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• 3.2信号流图的拓扑等价特性 • 根据节点定律，复杂信号流图可以简化为某
• 下面我们从信号流图理论入手，开始大概介 绍一下随机网络的原理。
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• 3.1信号流图理论简介 • 信号流图是以网络图形式表示所研究系统(或
问题)中各变量之间的相互关系，是一种线性 系统的建模和分析工具。起Байду номын сангаас用于配电网络 的分析计算，以后逐步扩展到工程中其它线 性系统，如电路分析、自动控制、概率与统 计以及随机网络等。在信号流图中，系统的 元素用节点和箭头表示。
种等价的信号流图，并得到相应的等价传递 系数或传递函数，这种简化过程，表明信号 流图的拓扑等价特性。信号流图的三种基本 形式的等价传递关系如下： • ⑴串联元素的传递关系为各串联枝线上的传 递系数的乘积，即
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• 如图3所示，
• 图3串联元素的传递关系 • Fig.3 Transitive relation of serial structure
行的自动化立体仓库检修作了一个GERT随机 网络图，见图1，各检修程序的概率及时间分 布见表，其中假设各检修程序完成的时间均 服从正态分布。试讨论该自动化立体仓库的 维修风险。
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• 图1
Review Technique
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1. GERT概述
• 随机网络，又称图示评审技 术GERT，是指网络计划中 活动与活动之间的逻辑关系 具有不确定性，且活动的费 用和时间参数也不确定，而 按随机变量进行分析的网络 计划技术。
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• 在GERT网络中可以包含具有不同 逻辑特征的节点，节点的引出端允 许有多个概率分支，网络中允许回 路和自环存在，每个活动的费用和 时间参数可选取任何类型的概率分 布等等。
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• 3.3信号流图的拓扑方程 • 信号流图的特性提供了简化信号流图和求解等
价传递系数的方法。1953年，梅森提出求解信 号流图拓扑方程，可以求出信号图中任意两个 节点间的等价传递系数。为了说明该方程的应 用，先对以下概念进行说明。 • 环——在信号流图中，当开始节点与终节点完 全重合时，连接这些节点的封闭路径为环。
一句话gert随机网络完全立足于真实的项目进程允许考虑项目的返工考虑项目及各个进度路径的选择废弃以及考虑通过反复重复某一过程而带来的学习效应等基本上不受方法本身先天局限的影随机网络的建模要素是活动弧和节点其仿真过程可以想象成一定的时间流费用流和性能流通过各项活动并受到节点逻辑的控制流向相应的活动中
图示评审技术GERT Graphical Evaluation
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• 节点代表一定的变量，箭头表示变量之间的 关系，即节点之间的传递系数或传递函数。 这些传递函数可以由一个或若干个参数组成， 箭头的方向表示所联系节点之间的传递方向， 如图2所示。
• 图2信号流图基本组成 • Fig.2 Basic composition of signal flow graph