人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 等差数列

双基达标 (限时20分钟)
1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是
( )． A ．2
B ．3
C ．6
D ．9 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴m ＋n ＝6.
∴m 和n 的等差中项为3.
答案 B
2．在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差
( )．
A.34
B ．－34
C ．－67
D ．－1 解析 设插入的四个数为x ，y ，z ，r ，则新的数列为a 1，x ，a 2，y ，a 3，z ，a 4，r ，a 5，共九项，
∴d ＝a 5－a 19－1
＝－34. 答案 B
3．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )．
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
解析 由等差数列性质得a 3＋a 4＋a 5＝3a 4，由3a 4＝12，得a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2
＝7a 4＝28. 答案 C
4．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 1＝3，a 2＝5，则数列的通项公式为________．
解析 由a n ＋1＋a n －1＝2a n ，知{a n }是等差数列，又因为a 1＝3，a 2＝5，∴d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.
答案 a n ＝2n ＋1
5．等差数列{a n }中，已知a 1＝13
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为 . 解析 a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝2×13
＋5d ＝4，
∴d ＝23
， ∴a n ＝13＋(n －1)×23
＝33. ∴n ＝50.
答案 50
6．已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a 3＝5，a 7＝13；
(2)前三项分别为a,2a －1,3－a .
解：(1)设首项为a 1，公差为d .
则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，
∴通项公式a n ＝2n －1.
(2)中可由等差中项定义求出a .
∵前三项分别为a,2a －1,3－a .
∴a ＋(3－a )＝2(2a －1)．
解得a ＝54，∴前三项分别为54，32，74
. ∴等差数列{a n }的首项a 1＝54，公差d ＝14
. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝54＋(n －1)·14＝14
n ＋1. ∴通项公式a n ＝14
n ＋1. 综合提高 (限时25分钟)
7．若{a n }为等差数列，则下列数列中：
①{pa n }；②{pa n ＋q }；③{n ·a n }；④{a n 2}；⑤{a n ＋a n ＋1}(其中p 、q 为常数)，仍是等差数列的个数为( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 因等差数列的通项是关于n 的一次函数，而③、④中，通项为关于n 的二次函数，所以只有①、②、⑤是等差数列．故选C.
答案 C
8．一个等差数列的首项为125
，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )．
A ．d >875
B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325
解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1，
a 9≤1，得⎩⎨⎧ 125＋9d >1，125＋8d ≤1，
所以875<d ≤325
.故选D. 答案 D
9．等差数列{a n }中：
(1)若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝________.
(2)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________.
解析 (1)∵7＋21＝14＋14，
∴a 7＋a 21＝2a 14，即a 21＝2a 14－a 7＝2n －m .
(2)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝a 3＋(a 1＋a 5)＝a 3＋2a 3＝3a 3＝15.
答案 (1)2n －m (2)15
10．在－1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为 .
解析 5个数成等差数列，则a 1＝－1，a 5＝7，
∴d ＝a 5－a 14
＝2， ∴插入的三个数依次为1,3,5.
答案 1,3,5
11．已知数列{1b n ＋2
}是等差数列，且b 3＝－116，b 5＝－137，求b 9的值． 解 令a n ＝1b n ＋2，由题意可知{a n }成等差数列，且a 3＝1b 3＋2＝1－116
＋2＝6， a 5＝1b 5＋2＝1－137
＋2＝7. 设数列{a n }的公差为d ，则a 5－a 3＝2d ，
∴d ＝12，∴a 9＝a 3＋6d ＝6＋6×12
＝9. 又1b 9＋2＝a 9
＝9， ∴b 9＝－179
. 12．(创新拓展)已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n
，设b n ＝1a n
，n ∈N ＋. (1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1
＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5. ∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.
∴a n ＝1b n ＝14n ＋1
，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145
. 令a n ＝14n ＋1＝145
，∴n ＝11. 即a 1a 2＝a 11，
∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．。