2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第3讲二次函数与幂函数

第 3 讲二次函数与幂函数
、知识梳理
1. 幕函数
⑴定义：形如v= x a( a R)的函数称为幕函数，其中底数X是自变量，a为常数•常见
1 的五类幕函数为y= x, y= x2, y= x3, y= X2, y= x_1.
(2)性质
①幕函数在(0,+s )上都有定义；
②当o>0时，幕函数的图象都过点(1, 1)和(0, 0)，且在(0,+^ )上单调递增；
③当a<0时，幕函数的图象都过点(1 , 1)，且在(0,+^ )上单调递减.
2. 二次函数
(1) 二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a z 0);
②顶点式：f(x) = a(x—m)2+ n(a^ 0);
③零点式：f(x) = a(x—X1)(x—X2)(a^ 0).
(2) 二次函数的图象和性质
1 •巧识幕函数的图象和性质
2 •记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1) ax 2+ bx + c>O(a z 0)恒成立的充要条件是
(2) ax 2+ bx + c<0(a z 0)恒成立的充要条件是 二、习题改编
1.
(必修1P79习题T1改编)已知幕函数f(x)= kx a
的图象过点 中，孑，则k +a=(
)
A. 1 B . 1
3 CQ
D . 2
1
y[2
i a
解析：选C.因为f(x) = kx%幕函数，所以k = 1•又f(x)的图象过点2，2，所以2 =
：*‘2
1 1 3
2，所以a= 3,所以k + a= 1 + 2= 2•故选C.
2. ________________________________________________________________________ (必修1P39B 组T1改编)函数y = 2x 2- 6x + 3,x € [ — 1,1],则y 的最小值为 ____________________ .
3 2 3 3
解析：函数y = 2x 2— 6x + 3 = 2 x — 2 — 2的图象的对称轴为直线 x = ?>1,所以函数y = 2/ — 6x + 3 在[—1, 1]上单调递减，所以 y min = 2— 6 + 3 =— 1.
a>0, b 2— 4ac<0. a<0, b 2—
4ac<0.
答案：—1
一、 思考辨析
判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”
)
1
⑴函数y = 2X 3是幕函数.(
)
(2)当n>0时，幕函数y = x n 在(0,
)上是增函数.(
) ⑶二次函数y = ax 2+ bx + c(x € R)不可能是偶函数.( ) (4)如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (
)
4ac _ b 2
⑸二次函数y = ax 2+ bx + c , x € ［a , b ］的最值— 答案：(1)X (2) V (3) X (4) V (5) X
二、 易错纠偏
常见误区(1)幕函数定义不清晰，导致出错； (2) 二次函数的性质理解不到位出错；
(3) 忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错.
1. 已知幕函数 _______________________________________________ y = f(x)的图象过点 2,孑，则此函数的解析式为 ________________________________________ ； 上递减.
解析：设y = f(x) = x a
,因为图象过点2, ¥ ,代入解析式得a=_1,则y = x 由性质可知函数
y = x _2在(0, + g )上递减.
答案：y = x _2
(0,+g )
在区间
a 的取
2. _________ 已知函数f(x) = x2+ 2ax+ 3,若y= f(x)在区间［—4, 6］上是单调函数，则实数值范围为___________ .
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=—a,所以要使f(x)在[—4, 6]上是
单调函数，应有一a w—4或一a > 6,即a < —6或a> 4.
答案：(一a, —6] U [4 ,+^ )
3. 已知函数f(x) = ax2+ x+ 5的图象在x轴上方，则a的取值范围是
解析：
a>0, 1因为函数f(x)= ax2+ x + 5的图象在x轴上方，所以2解得a> .
A= 12—20a <0, 20
答案：— +8 20，
幕函数的图象及性质(典例迁移)
(1)幕函数y= f(x)的图象过点(4, 2),则幕函数y = f(x)的图象是()
2- -
(2)已知幕函数y= x m 2m3(m€ N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则
m的所有可能取值为_________ .
【解析】(1)设幕函数的解析式为y= x a,
因为幕函数y= f(x)的图象过点(4, 2),
1
所以2= 4",解得a= ,
所以y= x,其定义域为［0, +R),且是增函数，
当0<x<1时，其图象在直线y= x的上方.故选C.
2- _
⑵因为幕函数y= x m 2m 3 (m€ N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2—2m—
3< 0 且m2—2m—3(m € N*)为偶数.由m2—2m—3< 0 得一1 < m< 3,又m€ N*, 所以m= 1, 2, 3,当m= 1时，m2—2m—3 = 1 —2—3 = —4为偶数，符合题意；当m= 2 时，m2—2m—3= 4 —4 —3=—3 为奇数，不符合题意；当m= 3 时，m2—2m—3 = 9—6 —3 =0为偶数，符合题意.综上所述,m= 1, 3.
【答案】(1)C (2)1 , 3
2_ _
【迁移探究1】(变条件)若本例⑵中，将函数“ f(x)= x m—2m「3”变为“f(x)= (m2+ 2m
2—
—2)x m —3m” ,其他条件不变，贝U m的值为 _____________ .
解析：由于f(x)为幕函数，所以m2+ 2m—2 = 1,
解得m= 1或m =—3,经检验只有m= 1适合题意，所以m= 1.
答案：1
【迁移探究2】(变条件)本例⑵中f(x)不变，m€ N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0,+^ )上是减函数，则m的值为__________________________ .
解析：因为f(x)在(0 , +^)上是减函数，
所以m2—2m—3<0 ,解得—1<m<3.
又m€ N*,所以m= 1或m = 2.
由于f(x)的图象关于y轴对称.
所以m2—2m—3为偶数，
又当m= 2时，m2—2m —3为奇数，所以m= 2舍去，
因此m= 1.
答案：1
幕函数的图象与性质问题的解题策略
⑴关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幕函数的图象特征,如过特殊点、凹凸性等.
(2) 关于比较幕值大小问题，结合幕值的特点利用指数幕的运算性质化成同指数幕，选择适当的幕函数，借助其单调性进行比较或应用.
(3) 在解决幕函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.
1.已知点在幕函数f(x)的图象上，贝U f(x)是()
解析：选A.设f(x) = x a
,由已知得
111
解析：选C.因为a = 8泸，b = 165, c = 12',由幕函数 a>b>c ,故选 C.
i
i
3. ______________________________________________ 若(a + 1)2<(3 — 2a)2，则实数a 的取值范围是 _______________________________________________ .
1
解析：易知函数y = x 2的定义域为［0, +8),在定义域内为增函数
a + 1》0,
2 所以 3— 2a > 0,
解得一1 < a<§.
a + 1<3— 2a ,
答案：—1, 2
求二次函数的解析式(师生共研)
因此f(x) = x ,易知该函数为奇函数.
4
2
1
2.已知 a = 35, b = 45, c = 125，则 a , b , c 的大小关系为(
)
A . b<a<c
B . a<b<c
C . c<b<a
D . c<a<b
解得a=— 1 ,
A .奇函数
C .定义域内的减函数
B. 偶函数
D .定义域内的增函数
+
)上为增函数，知
(一题多解)已知二次函数 f(x)满足f(2)
=-1, f(- 1) = - 1，且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【解】 法一(利用一般式):
4a
+ 2b + c =— 1,
设f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰0).由题意得
4ac — b 2
2
1
8•因为 f(2) = — 1,所以 a 2 —
+ 8=— 1,
a -
b +
c =— 1, 4a =8,
a =— 4,
解得 b = 4,
所以所求二次函数的解析式为 f(x) = — 4x 2 + 4x + 7.
c = 7.
法二(利用顶点式):
设f(x) = a(x — m)2+ n(a 丰0).因为f(2) = f(— 1), f(— 1) = — 1,所以抛物线的对称轴为
x
2 1 2 解得 a =— 4,所以 f(x) = — 4 x — 2 + 8 =— 4x
+ 4x + 7.
法三(利用零点式):
由已知得f(x)+ 1 = 0的两根为X 1 = 2, X 2=— 1,
故可设 f(x) + 1 = a(x — 2)(x + 1), 即 f(x) = ax 2 — ax — 2a — 1.
4a (— 2a — 1) — a ?
又函数有最大值8,即 4a
=
8.
解得a =- 4或a = 0(舍去),
所以所求函数的解析式为 f(x)=— 4X 2 + 4x + 7.
2 +(— 1) 2
1 =2•所以 1 m = ^.又根据题意函数有最大值 8,所以 n = 8,所以 f(x)= a x —?
求二次函数解析式的方法
般用待
根据已知条件确定二次函数的解析式方法也不同，选择规律如下:
1.已知二次函数f(x)= ax2+ bx+ 5的图象过点P(—1, 11)，且其对称轴是直线x= 1,
则a+ b的值是( )
A. —2
B. 0
C. 1
D. 2
解析：选A.因为二次函数f(x)= ax2+ bx+ 5的图象的对称轴是直线x= 1,所以一严=1
2a
①.又f(—1)= a — b + 5= 11,所以a— b = 6 ②.联立①②，解得a= 2, b =—4,所以a + b
=-2,故选A.
2.已知二次函f(x)有两个零点0和—2,且它有最小值—1,贝U f(x)的解析式为f(x)
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和一2,可设f(x)= a(x+ 2)x,则f(x)= a(x2+ 2x)= a(x
+1)2—a.
又f(x)有最小值—1,则a= 1.所以f(x) = x2+ 2x.
答案：x2+ 2x
二次函数的图象与性质（多维探究）
角度一二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y= ax2+ bx+ c图象的一部分，图象过点A（—3, 0）,对称轴为x=- 1•给出下面四个结论：①b2>4ac;②2a- b= 1;
③a- b + c= 0;④5a<b.其中正确的结论是（）
A .②④B.①④
C. ②③
D.①③
【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2一4ac>0,即b2>4ac,①正确；
b
对称轴为x=- 1,即一2a=—1, 2a-b = 0,②错误；结合图象，当x=- 1时，y>0,即a —b + c>0,③错误；由对称轴为x=- 1知，b = 2a,又函数图象开口向下，所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选 B.
【答案】B
确定二次函数图象应关注的三个要点是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向. 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置.
三是看函数图象上的一些特殊点 ，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象 的最咼点或最低点等.
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象. 反之，也可以从图象中得到如上
信息.
角度二二次函数的单调性及最值问题
(1)函数 f(x) = ax 2 3 + (a — 3)x + 1 在区间
［—1,+^ )上是递减的，则实数 a 的取值范围是 ____________ .
(2)求函数f(x)= x 2 + 2ax + 1在区间［—1, 2］上的最大值.
【解】 ⑴当a = 0时，f(x)=— 3x + 1在［—1, +^)上递减，满足条件.
解得—3< a<0.综上，a 的取值范围为［—3, 0］.故填［—3, 0］. (2)f(x)= (x + a)2+ 1 — a 2,
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线
，对称轴为x =— a.
1 1
① 当一a<2即 a> — 2时,f(x)max = f(2) = 4a + 5.
2 1
② 当一a >2即 a w — 2时，f(x)max = f(— 1) = 2 — 2a ,
当a 丰0时，f(x)的对称轴为
3 — a
x =
2a a<0
由f(x)
在
3— a 2a。