广东职高数学对口升学一轮基础复习试题四(含答案)

数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B 则
=⋃B A C U ）（
（ ） A. {}2,1 B. {}4,32， C. {}4,3 D. {}4,3,2,1 2. 复数z=
1
i i
-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 设1
22a =,1
33b =,3log 2c =,则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
4. 已知变量,x y 满足约束条件1
101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，则2x y
e +的最大值是（ ）.
A ．3
e
B ．2
e
C ．1
D ．4
e -
5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 “2cos a b C =”是 “ABC ∆是等腰三角形”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) .
A ．(－∞，－1)
B ．[－2,2]
C ．(－2,2)
D ．(1，＋∞)
7. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*
n ∀∈N ，有
n n S S 32<，则q 的取值范围是（ ）
（A ）(0,1]（B ）(0,2)（C ）[1,2)（D
）
8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,
设点N 是DC 边的中点，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点， 则AM AN ⋅的最大值是( ) .
（A ）4 （B ） 6 （C ） 8 （D ）10
（第8题）
N
M
D
C B
A
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）
9. 已知,0>a 若平面上的三点),3(),,2(),,1(3
2
a C a B a A -共线,则=a . 10. 0
(sin cos )a x x dx π
=
+⎰
设，61()a x x
-则二项式 展开式中含2
x 项的系数是
（用数字作答）.
11. 22, 0,
()3, 0
x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值范围
是 .
12. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝13且
141
n n S a +=+求数列的通项
n a =___________. .
13. 已知正数,,a b c 满足a b ab +=,a b c abc ++=,则c 的取值范围是______ .
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）.
14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程
分别为5cos 5sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和2
1222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线
1C 和2C 的交点坐标为 .
15.（几何证明选讲选做题）如下图右，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的
切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点
F ,3AF =,1FB =,3
2
EF =,则线段CD 的长为 .
三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.(本小题满分12分) .
已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值 17.（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．.
(Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所
获得的利润最大．
.
18.（本小题满分13分）
已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos 1B B -=，
1=b ．（Ⅰ）512
A π=若，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求△ABC 的面积． .
19.（本题满分14分）
设数列{a }n 的前n 项和为s n ，且
221n n a S n =++()n *
∈N . （Ⅰ）求
1
a ，
2
a ，
3
a ；.
（Ⅱ）求证：数列{a 2}n +是等比数列； （Ⅲ）求数列{a }n n ⋅的前n 项和n T 。

20.(本小题满分14分) 已知函数11
f ()ln(1)()12
a x x ax a x -=+-+
≥+ 求: (1)当曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线与直线：y=-2x+1平行时，求a 的值； （2）求函数f （x ）的单调区间
21.(本小题满分14分)
已知正项数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且函数1()ln 24
x
f x x =
+ 在n x a =处的
切线的斜率为2n
n
S a *
()n ∈N .
(1) 求数列
{}n a 的通项公式；
(2) 求证：*
333312311115()32
n n N a a a a +++⋅⋅⋅+<∈； (3) 是否存在非零整数λ
，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+-
-⋅⋅⋅-<对一切*
n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

参考答案
阅卷人：张立平：9. 1+ 10. 192- 11. 49
1a <≤ .
12. 2
13,1
53(),24
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩ 13. 4
(1,]3 二选一 14. (2,1) 15. 43 阅卷人：张国强16.解：（Ⅰ）若a b ⊥，则sin cos 0θθ-=
，由此得：
tan 1,()2
2
π
π
θθ=--
<<
，
所以， 4
π
θ=-．(6分) （Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),
a b θθ==得：
(sin a b θ+==（8分）
=（9分）
当sin()14πθ+=时，a b +取得最大值，即当4
π
θ=时a b +的最大值为1（12
分）
阅卷人：祝彬17.解：(Ⅰ)5x =时11y =， 10112
2a
a +=⇒=；（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量
2
2
10(6)3y x x =
+--，所以商场每日销售该商品所获得的
利润：
222
()(3)[
10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-，（8分）
/2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----， （10分）.
令/
()0f x =得4x =函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取
得最大值(4)42f =
答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. （13分）
阅卷人：龚瀚慧
18. 解：（Ⅰ）由已知
1cos sin 3=-B B ， 整理得
2
1
)6sin(=π-B ． …2分
因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3
π
=B .…4分
由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由B
b
C c sin sin =，即
3
sin 1
4sin π=πc ， 解得3
6
=
c . ………7分 （Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又3
2π=
=B c a ，， 所以2
1
442
2
2
2
⨯
-+=c c c b ，解得c b 3=. ……10分 由此得222c b a +=，故△
ABC 为直角三角形，2π
=
A ，3
1=c ． 其面积6
3
21=
=
bc S ．……13分 阅卷人：孔凡平19.解（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =. .
当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =. 当3n =时，得31232()7a a a a =+++，
解得318a =.
所以13a =，28a =，318a =为所求.…3分
(Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立.两式相减得：
11222n n n a a a ++-=+.
即122(2)n n a a ++=+. ……6分 所以数列
{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2
的等比数列. …8分
（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1
252
n n a -+=⨯即1
52
2n n a -=⨯-()n *∈N .则
1522n n na n n -=⋅-()n *∈N .……10分
设数列{
}1
52
n n -⋅的前n 项和为n
P ,
则0
1
2
2
1512522532...5(1)2
52n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅，
即(55)25n
n P n =-⋅+()n *
∈N . …12分
数列
{}
n n a ⋅的前
n
项和
n
T =
(1)(55)2522
n n n n +-⋅+-⨯
，
2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N . …14分
阅卷人：马颖
20.解： x>-1 …3分（1）
a=3 …6分
（2）当a=0.5 时，函数f （x ）的单调递减区间是（-1，+∞） …8分
当0.5< a<1，函数f （x ）的单调递减区间是（-1,1/a -2）和（0，+∞）单调递增区间(1/a
-2,0)…11分
当 a>=1，函数f （x ）的单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0，+∞）…14分
阅卷人：彭海峰
21. 解：(1)11
()24
f x x '=
+，依题意，211()24n n n n S f a a a '==
+，即(2)
4
n n n a a S +=
. 当1n =时，1111(2)
4
a a a S +==，解得12a =或10a =（舍去）. .
当2n ≥时，由111(2)(2)
44
n n
n n n n n a a a a a S S ---++=-=-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=，∴
{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故
2n a n =. …4分
(2)
证
法
一
：
∵
332211111(2)88(1)8(1)(1)n a n n n n n n n n ==<=⋅--+111[](2)16(1)(1)
n n n n n =-≥-+， ∴当2n ≥时，
333
3333
3
12311111111
246(2)n a a a a n ++++
=++++
311111111
[()()]21612232334
(1)(1)
n n n n <
+-+-++
-⨯⨯⨯⨯-+ .
11111115
[]8162(1)816232
n n =+-<+⨯=+.当1n =时，不等式左边3
1115832a ==<显然成立. ….8分
证法二：∵3
2
2
4(1)(44)(2)0n n n n n n n n --=-+=-≥，∴3
4(1)n n n ≥-.
∴3331111111
()(2)832(1)321n a n n n n n n
==≤=---(2)n ≥. ∴当2n ≥时，
33333333
123
111
11111
246
(2)n a a a a n ++++
=++++
31111111111115
[(1)()(
)](1)232223
183283232
n n n ≤
+-+-++-=+-<+=-. 当
1
n =时，不等式左边
31115832
a =
=<
显然成立. (3) 由2n a n =，得11
cos cos(1)(1)2
n n a n ππ++=+=-，
设
121
111(1)(1)
(1)
n n
b
a a a =
-
-⋅
⋅-
，则不等式等价于1
(1)n n b λ+-<. . 11111122n n n b
b n a ++===
⎛-- +⎝⎝
1=
>，
∵0n b >，∴1n n b b +>，数列
{}n b 单调递增. ….11分
假设存在这样的实数λ，使得不等式1
(1)n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则
① 当n
为奇数时，得min 1()3
n b b λ
<==
； ② 当n
为偶数时，得min 2()n b b λ-<==
15
λ>-.
综上，
(λ∈，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件． ….14分。