全国通用高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数

（全国通用版）2018-2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修2-2
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3．1。

1 数系的扩充和复数的概念
学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。

3。

掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件．
知识点一复数的概念及代数表示
思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题,数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解,同时得到一些新数．
梳理(1)复数
①定义：把集合C＝{a＋b i｜a,b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部．
②表示方法:复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a,b∈R）,这一表示形式叫做复数的代数形式．
（2）复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
知识点二两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i （a，b,c，d∈R），我们规定:a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d。

知识点三复数的分类
（1)复数（a＋b i，a，b∈R）错误!
（2）集合表示：
1．若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( ×)
2．复数z＝b i是纯虚数．( ×）
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等．( √）
类型一复数的概念
例1 (1)给出下列几个命题：
①若z∈C,则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0;
④若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为（)
A．0 B．1
C．2 D．3
（2）已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．考点复数的概念
题点复数的概念及分类
答案（1)C （2）±错误!，5
解析（1）令z＝i∈C，则i2＝－1〈0,故①不正确．
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．
④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤正确．
(2）由题意知⎩⎨⎧ a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±错误!，b ＝5。

反思与感悟 (1）复数的代数形式:若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时,a 才是z 的实部,b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b 。

（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般,先否定，后肯定"的方法进行解答．
跟踪训练1 下列命题：
①若a ∈R ,则(a ＋1）i 是纯虚数；
②若(x 2－4)＋（x 2
＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 B
解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①,若a ＝－1，则(a ＋
1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4）＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0,不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.
类型二 复数的分类
例2 求当实数m 为何值时，z ＝错误!＋（m 2＋5m ＋6）i 分别是(1）虚数；(2)纯虚数． 考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)复数z 是虚数的充要条件是
错误!⇔m ≠－3且m ≠－2。

∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．
（2）复数z 是纯虚数的充要条件是
错误!⇔错误!⇔m＝3。

∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．
解由已知得，复数z的实部为错误!，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
错误!⇔错误!⇔m＝－2。

∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝错误!＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案3或－2
解析由题意知错误!解得m＝3或－2.
反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7)＋（m2＋5m＋6）i是
(1）纯虚数;(2)实数．
考点复数的分类
题点由复数的分类求未知数
解(1）复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6）i是纯虚数，
则错误!解得m＝4。

(2）复数lg（m2－2m－7)＋（m2＋5m＋6）i是实数，
则错误!解得m＝－2或m＝－3.
类型三复数相等
例3 (1）已知x0是关于x的方程x2－(2i－1）x＋3m－i＝0（m∈R)的实根，则m的值是________．考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案错误!
解析由题意,得x错误!－（2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x错误!＋x0＋3m)＋(－2x0－1）i＝0，
由此得错误!⇒m＝错误!。

(2)已知A＝｛1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i｝，B＝｛－1,3}，A∩B＝{3},求实数a的值．考点复数相等
题点由复数相等求参数
解由题意知,a2－3a－1＋(a2－5a－6）i＝3(a∈R），
所以错误!即错误!所以a＝－1。

反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b，c，d∈R,即当a，b，c，d∈R时，a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
（2）利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪训练3 复数z1＝(2m＋7）＋（m2－2）i,z2＝(m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________。

考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案5
解析因为m∈R，z1＝z2,
所以(2m＋7）＋（m2－2)i＝(m2－8）＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得错误!解得m＝5.
1．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i等于( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案B
解析由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i。

2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2)i为实数，则实数m的值为（）
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
考点复数的分类
题点由复数的分类求未知数
答案D
解析因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0,解得m＝－1或m＝2。

3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i（a∈R)是一个复数;
④虚数的平方不小于0;
⑤－1的平方根只有一个,即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦错误!i是一个无理数．
其中真命题的个数为（)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点复数的概念
题点复数的概念及分类
答案B
解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i（a∈R）的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．
考点复数的概念
题点复数的概念及分类
答案(－∞，－1)∪（3，＋∞）
解析由已知可得a2>2a＋3,即a2－2a－3〉0,
解得a〉3或a<－1，
因此,实数a的取值范围是{a｜a>3或a<－1｝．
5．若log2(x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案－2
解析由题意知错误!得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点复数的概念
题点复数的概念及分类
答案B
解析因为a,b∈R，当“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数，也可能b＝0,即a＋b i＝0∈R”．
而当“复数a＋b i是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R,“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件．
2．以－错误!＋2i的虚部为实部,以错误!i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ）
A．2－2i B．－错误!＋错误!i
C．2＋i D。

错误!＋错误!i
考点复数的概念
题点求复数的实部和虚部
答案A
解析设所求新复数z＝a＋b i（a，b∈R），
由题意知复数－错误!＋2i的虚部为2,复数错误!i＋2i2＝错误!i＋2×(－1）＝－2＋错误!i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A。

3．若（x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A。

错误! B．2 C．0 D．1
考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案D
解析由复数相等的充要条件知，
错误!解得错误!
∴x＋y＝0。

∴2x＋y＝20＝1。

4．下列命题中：
①若x,y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若（z1－z2）2＋（z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3。

正确命题的个数是（)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点复数的概念
题点复数的概念及分类
答案A
解析①取x＝i，y＝－i，则x＋y i＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错;②③错，故选A。

5．若sin 2θ－1＋i(错误!cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为（)
A．2kπ－错误!(k∈Z) B．2kπ＋错误!（k∈Z）
C．2kπ±错误!（k∈Z）D。

错误!π＋错误!（k∈Z)
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案B
解析由题意，得错误!
解得错误!(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋错误!，k∈Z。

6．若复数z＝错误!＋错误!i是纯虚数（i为虚数单位),则tan错误!的值为（)
A．7 B．－错误!
C．－7 D．－7或－错误!
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案C
解析∵复数z＝错误!＋错误!i是纯虚数，
∴cos θ－错误!＝0，sin θ－错误!≠0,
∴sin θ＝－错误!，∴tan θ＝－错误!,
则tan错误!＝错误!＝错误!＝－7。

7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0（m∈R)有实数根n，且z＝m＋n i，则复数z等于( ）
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案B
解析由题意知n2＋（m＋2i）n＋2＋2i＝0，
即错误!解得错误!
∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋（m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案－2
解析由错误!即m＝－2.
9．已知z1＝（m2＋m＋1)＋（m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i。

则m＝1是z1＝z2的______条件．
考点复数相等
题点由复数相等求参数
答案充分不必要
解析当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2,解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10．已知复数z＝m2（1＋i）－m(m＋i）(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案0或1
解析z＝m2＋m2i－m2－m i＝(m2－m）i，
所以m2－m＝0，所以m＝0或1。

11．复数z＝（a2－2a－3）＋（｜a－2｜－1）i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案（－∞，－1)∪(－1,＋∞）
解析若复数z＝(a2－2a－3）＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，｜a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝（a2－2a－3)＋(｜a－2｜－1）i不是纯虚数．（m＋n）－(m2－3m）i≥－1,且n∈N＊,则m＋n＝________。

12．已知log
1
2
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
答案1或2
解析由题意得错误!
由②,得m＝0或m＝3。

当m＝0时,由
log（m＋n)≥－1,得0<n≤2，
1
2
∴n＝1或n＝2。

当m＝3时，由
log（m＋n)≥－1，得0〈n＋3≤2，
1
2
∴－3<n≤－1，即n无自然数解．
∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．实数m为何值时，复数z＝错误!＋（m2＋2m－3）i分别是（1）实数；(2）虚数；（3）纯虚数．
考点复数的概念
题点由复数的分类求未知数
解(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且错误!有意义，即m－1≠0,解得m＝－3。

（2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且错误!有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
（3)要使z是纯虚数，m需满足错误!＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0,解得m＝0或m＝－2.
四、探究与拓展
14．定义运算错误!＝ad－bc，如果(x＋y）＋(x＋3)i＝错误!，求实数x，y的值．
考点复数相等
题点由复数相等求参数
解由定义运算错误!＝ad－bc,
得错误!＝3x＋2y＋y i,
故有（x＋y)＋（x＋3）i＝3x＋2y＋y i。

因为x，y为实数，所以错误!
得错误!得x＝－1，y＝2。

15．已知集合M＝｛（a＋3）＋（b2－1）i,8｝，集合N＝{3i，(a2－1)＋（b＋2)i}满足M∩N⊆M,且M∩N≠∅，求整数a，b的值．
考点复数相等
题点由复数相等求参数
解由题意，得(a＋3)＋（b2－1）i＝3i,①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋（b2－1)i＝(a2－1)＋（b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2,
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3,b＝－2.。