2018版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存

2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书文北师大版
1．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．
2．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
3．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
4．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
【知识拓展】
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；
(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；
(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p 且q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )
(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p 或q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )
(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × )
1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且(綈q ) B ．(綈p )且q C ．(綈p )且(綈q ) D ．p 且q
答案 A
解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.
2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 綈p 为真知p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2
－1<0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2
－x ＋14>0
D ．存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A
4．设命题p ：任意x ∈R ，x 2
＋1>0，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，x 2
0＋1>0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋1≤0
C ．存在x 0∈R ，x 2
0＋1<0 D ．任意x ∈R ，x 2
＋1≤0 答案 B
解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“存在x 0∈R ，x 2
0＋1≤0”，故选B.
5．(2015·山东)若“任意x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan
x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π
4＝1.
依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x
>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且(綈q ) C ．(綈p )且q
D ．p 且(綈q )
(2)(2016·聊城模拟)若命题“p 或q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p 且(綈q )是真命题．
(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．
思维升华 “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；
(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假．
已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2
>y 2
.在命题①p 且q ；②p
或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 C
解析当x>y时，－x<－y，
故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，
故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知：①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q 为假命题，
故选C.
题型二含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2 (1)(2016·唐山模拟)命题p：存在x0∈N，x30<x20；命题q：任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图像过点(2,0)，则( )
A．p假q真B．p真q假
C．p假q假D．p真q真
(2)已知命题p：任意x∈R,2x<3x；命题q：存在x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( )
A．p且q B．(綈p)且q
C．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)
答案(1)A (2)B
解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，
∴x<0或0<x<1，
在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．
∵f(x)的图像过点(2,0)，∴log a1＝0，
对任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立．命题q为真命题．
(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像，易知命题q为真命题．根据真值表易判断(綈p)且q为真命题．
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3 (1)命题“存在x 0∈R ，使得x 2
0≥0”的否定为( ) A ．任意x ∈R ，都有x 2
<0 B ．任意x ∈R ，都有x 2≥0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≤0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0
(2)(2015·浙江)命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)＞n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)＞n 0 答案 (1)A (2)D
解析 (1)将“存在”改为“任意”，对结论中的“≥”进行否定，可知A 正确． (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.
思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．
(1)(2016·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )
A ．存在x 0∈R ，sin
2x
2
＋cos
2x
2＝1
2
B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos x
C ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2
＋1>x D ．存在x 0∈R ，x 2
0＋x 0＝－1
(2)(2016·福州质检)已知命题p ：“存在x 0∈R ，0e x
－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．存在x 0∈R ，0e x
－x 0－1>0 C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0 D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 (1)C (2)C
解析 (1)C 选项中，当x >0时，x 2＋1－x ＝(x －12)2＋34>0，即x 2
＋1>x 恒成立，∴C 正确．
(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x
－x －1>0”，故选C.
题型三 含参数命题中参数的取值范围
例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2
－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2
＋
ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．
(2)已知f (x )＝ln(x 2
＋1)，g (x )＝(12
)x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得
f (x 1)≥
g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1
4，＋∞)
B ．(－∞，1
4]
C ．[1
2
，＋∞)
D ．(－∞，－1
2
]
答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)A 解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2
－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a
4
≤3，即a ≥－12.
∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．
(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，
g (x )min ＝g (2)＝1
4
－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，
得0≥14－m ，所以m ≥1
4，故选A.
引申探究
本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 [1
2
，＋∞)
解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝1
2－m ，
由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥1
2－m ，
∴m ≥12
.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
(1)已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x
”，命题q ：“存在x 0∈R ，x 2
0＋4x 0＋a
＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1,4]
C．[e,4] D．(－∞，－1)
(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．
答案(1)C (2)(－∞，0)
解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．
1．常用逻辑用语
考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题，几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．
一、命题的真假判断
典例1 (1)已知命题p：存在x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么( )
A．綈p为假命题
B．q为真命题
C．p或q为假命题
D．p且q为真命题
(2)下列命题中错误的个数为( )
①若p或q为真命题，则p且q为真命题；
②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；
③命题p：存在x0∈R，x20＋x0－1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x－1≥0；
④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即x 2
＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题． 综上可知，綈p 为真命题，
p 且q 为假命题，p 或q 为假命题，故选C.
(2)对于①，若p 或q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p 且q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2
－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x 2
－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且
x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.
答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3
x ＋1
<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
(2)(2016·郑州一模)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈[1
2，3]，存在x 2∈[2,3]
使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤0 D ．a ≥0
解析 (1)由
3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－x
x ＋1
<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，
解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件，知k >2，故选B. (2)∵x ∈[1
2
，3]，∴f (x )≥2
x ·4
x
＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0，故选C.
答案 (1)B (2)C
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：中国非第一名，也非第二名；
乙：中国非第一名，而是第三名；
丙：中国非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.
(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
答案(1)A(2)一
1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析命题p假，q真，故命题p且q为假命题．
2．下列命题中，真命题是( )
A．任意x∈R，x2>0
B．任意x∈R，－1<sin x<1
2x<0
C．存在x0∈R,0
D．存在x0∈R，tan x0＝2
答案 D
解析任意x∈R，x2≥0，故A错；任意x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；由y＝2x的图像可知任意x∈R,2x>0，故C错，D正确．
3．(2016·西安质检)已知命题p：存在x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：任意x ∈R ，log 2(3x
＋1)>0，故选B.
4．(2016·河北邯郸收官考试)已知p ：任意x ∈R ，x 2
－x ＋1>0，q ：存在x 0∈(0，＋∞)，sin
x 0>1，则下列命题为真命题的是( )
A ．p 或(綈q )
B ．(綈p )或q
C ．p 且q
D ．(綈p )且(綈q )
答案 A
解析 因为x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；任意x ∈R ，sin x ≤1，
所以命题q 是假命题，所以p 或(綈q )是真命题，故选A. 5．(2016·江西高安中学等九校联考)下列判断错误的是( ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少之一为假命题
B ．命题“任意x ∈R ，x 3
－x 2
－1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3
－x 2
－1>0” C ．“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 D ．“若am 2
<bm 2
，则a <b ”的否命题是假命题 答案 C
解析 选项A ，B 中的命题显然正确；选项D 中命题的否命题为：若am 2
≥bm 2
，则a ≥b ，显然当m ＝0时，命题是假命题，所以选项D 中命题正确；对于选项C 中的命题，当c ＝0时，命题是假命题，即选项C 中的判断错误，故选C.
6．(2016·唐山检测)已知命题p ：任意x ∈R ，x 3
<x 4
；命题q ：存在x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且q C ．p 且(綈q ) D ．(綈p )且(綈q )
答案 B
解析 若x 3
<x 4
，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －
π
4
)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π
4＋2k π(k ∈Z )，
∴命题q 为真命题，∴(綈p )且q 为真命题．
7．已知命题“存在x 0∈R ，使2x 2
0＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,3)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－3,1)
答案 B
解析 依题意可知“任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12
<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3，故选B. 8.(2016·湖南师大附中月考)函数f (x )＝ln x －x
a
(a >0)，若存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2，＋∞)
D ．(0,1)∪(2，＋∞) 答案 D
解析 由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1a
(a >0)，当x ∈(0，a )时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；故f (x )max ＝f (a )，存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1)对任意x 1∈[1,2]恒成立，故a ∉[1,2]，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)，选D.
9．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x 10∈Q ，x 20＝2；③存在x 0∈R ，
x 2
0＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
答案 A
解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2
－4×2>0，
∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；
对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；
4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，
即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________．
答案 存在x 0∈A,2x 0∉B
解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题， ∴綈p ：存在x 0∈A,2x 0∉B .
11．(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
答案 (12
，1)∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，
命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：“存在x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，
∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，
∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12
，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是(12
，1)∪(1，＋∞)． 12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x
>1，若“(綈q )且p ”为真，则x 的取值范围是________________．
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为“(綈q )且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，
x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由
⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，
所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．
13．(2016·江西五校联考)已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)·(x 2
0＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.
14．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________.
答案 (－∞，1]
解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，
即关于x 的方程4x －2·2x
＋m ＝0有实数解，
由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，
∴m ≤1. 15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1
x －1
(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；
(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为
________________．
答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]
解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．
(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)使得
f (x 1)＝
g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，
解得a ∈(1，3]．。