高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算

空间距离的常见题型与解法
在立体几何中涉及到的距离有六种，即点与点，点到线，点到面，线与线，线与面，面与面；但归结起来都是求点与点，点到线，点到面这三种距离。

一、传统方法求空间距离
求距离的传统方法和步骤是：一作，二证，三计算；即先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算。

其中第二步的证明容易被忽视，应引起重视。

求空间距离常见的题型和方法有
1．运用三垂线定理及逆定理求点到直线的距离
【例如】平面α内有Rt △P ACB ABC ,90,
=∠是平面α外一点，且
P PC PB PA ,==到平面α的距离是40cm AC cm 18,=，求点P 到BC 的距离。

解：如图所示，∵PC PB PA ==，作⊥PO 平面ABC 于O ，则CO BO AO ==，∴O 是△ABC 的外心，又∵
90=∠ACB ，∴O 点落在AB 边的中点上，作BC OD ⊥于D ，由三垂线定理知
BC PD ⊥，∴PD 就是点P 到BC 的距离。

又OD ∥AC 且AC OD 2
1
=
，∴cm OD 9=，在Rt △POD 中，cm OD PO PD 4122=+=，所以点P 到BC 的距离为cm 41。

2．运用两平面垂直的性质定理，求作点到面的距离
【例如】如右图所示，二面角βα--MN 等于
60，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，求B 点到平面α的距离。

解：作MN AC ⊥于C ，连结BC ，则MN BC ⊥，∴∠ACB 为二面角βα--MN 的平面角，则∠ACB =
60，∵⊥MN 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面α，作AC BD ⊥于D ，则BD BD ,α⊥的
长
为
所
求
，
在
Rt
△
ADB 中，斜边
306090,4=-=∠=BAD AB ，所以2=BD ，即B 点到平面α的距离为2。

3．体积法求点到平面的距离
【例如】如图所示，P 为△ABC 外一点，PC PB PA ,,
两两
互相垂直，a PC PB PA ===，求P 到平面ABC 的距离。

解：由PBC A ABC P V V --=得：
22
1
3131a a S h ABC ⋅⋅=⋅⋅∆， ∴a a a
h 3324
3
2123
=⨯=，因此点P 到平面ABC 的距离为a 33。

4．解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取到意想不到的效果
【例如】已知如图所示，边长为a 的菱形ABCD 中，
⊥=∠PC ABC ,60
平面ABCD ，E 是PA 的中点，求点E 到平面PBC 的距离。

【分析】若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定，故考虑用间接求法，至少有以下两条途径：
解法一：注意到点E 在PA 上，可将E 到平面PBC 的距离转化为A 到平面PBC 的距离的一半。

由⊥PC 平面
ABCD ，有平面⊥PBC 平面ABCD ，故过A 在平面ABCD 内作BC AH ⊥交BC 于H ，则a AH 2
3=
，于是，所求距离为
a 4
3。

解法二：将E 到平面PBC 的距离转化为线面距离，再转化为点面距离，连结BD AC ,，设AC 与BD 交于点O ，则EO ∥平面PBC ，于是直线OE 上任意一点到平面PBC 的距离都相等，由⊥PC 平面ABCD ，有平面⊥PBC 平面ABCD 。

若过O 作⊥OG 平面PBC ，则
垂
足
必
定
在
BC
上，故线段
OG
即为所求。

∵a AB BC AC ABC ACB ====∠=∠,60
，∴a OC OG a OC 4
3
60sin ,21=⋅==
∴O 到平面PBC 的距离为
a 43，即E 到平面PBC 的距离为a 4
3。

二、向量法求空间距离问题 1．求两点间的距离
方法1=a a ⋅=2
a 求解。

方法2（向量坐标法）：若P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2 (x 2,y 2,z 2)是空间任意两点，则
=2
21221221)()()(z z y y x x -+-+-。

例1． 如图1，已知矩形ABCD ，AB=4,BC=3,沿对角线AC 把矩形ABCD 折成300的二面角，
求B 、D 两点间的距离 。

图1
解法1：设B 、D 在AC 上的射影分别为E 、F ，则 BE⊥AC，DF⊥AC。

∵AC=22BC AB +=5,∴BE=DF=
512=⋅AC DC AD ,∴CE=AF=5
9
22=-DF AD ,∴EF=AC -2
AF=
5
7
,又<FD BE ,>=
1500
BD BD ⋅==EF BE +(FD +)2
=+2BE +2EF 2
FD +2(BE EF EF FD
⋅+⋅
BE FD +⋅)=2512⎪⎭⎫ ⎝⎛+257⎪⎭⎫ ⎝⎛+2
512⎪⎭
⎫
⎝⎛+2︒⋅⋅150cos 512512=
253144337-= 5
3
144337-.
解法2：设B 、D 在AC 上的射影分别为E 、F,则BE⊥AC，DF⊥AC.由解法1可知BE=DF=
512=⋅AC DC AD ，EF=5
7
,过F 在面ABC 内作FG⊥AC。

以F 为原点，直线FG 、FC 分别
为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系F-xyz （如图1），则B(
0,5
7
,512),D(56,0,536= 2
2256)57()53612(⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=53
144337-.
2、求点到直线的距离
设P 是直线l 外一点，Q 是直线l 上任意一点，若是直线l 的一个与点P 和直线l 所
确定的平面平行的法向量（与直线垂直的向量），则向量PQ在法向量n方向上的射影长
就是点P到直线l距离.
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到直线FG的距离。

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2), E(-2,-4,0)，F(-4,
-2,0)，B(0,-4,0), ∴=(0, 4, 2),
BF=(-4, 2,0),FG=(4,2,2).设n=(x,y,z)是直线FG的一个与平面BFG平行的法
向量,则由n⊥FG，得n∙FG=0,即2x+y+z=0①，又设m=(m,n,l) 是平面BFG的法向量, 则由m⊥BF及m⊥BG，得{
=
∙
=
∙
BF
m
BG
m，即
{024
2
4
=
+
-
=
+
n
m
l
n，解之得{21
2
n
m
n
l
=
-
=，取n=2, 得m=(1,2,-4).
由⊥，得∙=0,即x+2y-4z=0②, 由①②,得
{2
3
z
x
z
y
-
=
=,取z=1, 得
n=(-2,3,1). 点B到直线FG的距离为
=
14
14
=14。

3．求直线到与它平行的平面的距离
设直线l与平面α平行，n是平面α的法向量，P是直线L上任意一点，Q是平面α内任意一点，则向量PQ在平面法向量n方向上的射影长就是直线l到平面α的距离，即。

例3：如图3，在正三棱柱ABC---A1B1C1中，AB=8，AA1=6，D为AC的中点，求直线AB1
到平面C1BD的距离。

解：连结B1C交BC1于O，则O为B1C的中点，连结OD，则OD∥AB1，∴AB1∥平面BC1D.取A1C1的中点D1，则D1D⊥面ABC，又由正三角形性质知BD⊥AC.以D为原点，直线DB、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz,则B3
4(、0、0、）、C1（0，4，6），A（0，-4，0）,∴DB=3
4(、0、0、）
1
DC=(0、4、6、),DA= （0，-4，0）,设)
,
,
(z
y
x
n=为平面BC1D的法向量，则由0
=
∙DB
n及0
1
=
∙DC
n，得x=0且
4y+6z=0,∴x=0,y=z
2
3
-,取z=2,得)2,3
,0(-
=
n
=
13
13
12
13
12
=
4、求点到平面的距离
设n是平面α的法向量，AO是平面的一条斜线段，O为斜足，则向量OA在平面α的法
向量n 方向上的射影长
就是点A 到平面α的距离。

例4．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离。

解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0=∙AB n 及01=∙BC n ,得
-2x-2y+z=0 解之得
y=
x 32 ， z= -x 3
2
,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为
17
49=1717
49.
例5．在例2中，求点B 到平面EFG 的距离。

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(-2,-4,0),B(0,-4,0), F(-4, -2,0)，∴GE =(-2,-4,-2),GF =(-4,-2,-2),BE =(-2,0,0).
设平面EFG 的法向量为),,(z y x n =，则由0=∙GE n ，及01=∙GF n 得 -2x-4y-2z=0 x=y
-4x-2y-2z=0，解之得 z= -3y ,取y=1,得)3,1,1(-=n ,于是点B 到平面EFG 的距离
为=
1111
211
2= 。

5．求两平行平面间的距离
设α∥β,n 是平面α的法向量，P 、Q 分别是α、β内任意一点，则向量PQ 在平面法
向量n 方向上的射影长就是α、β的距离。

例6：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求平面AB 1C 与平面A 1DC 1的距离 解法1：如图4，显然平面AB 1C∥平面A 1DC 1，易证D 1B⊥平面AB 1C ，所以向量1BD 是
平面AB 1C 的法向量。

设a DA
=，b DC =，c DD =1
=a ，且b a ∙=c b ∙=a c ∙=0，
∵1BD =BA +AD +1DD =-a c b +-，1AA =c ,∴平面AB 1C 与平面A 1C 1D 的距离为
=a a
a 33
32=.
解法2：如图4，显然平面AB 1C∥平面A 1DC 1，易证D 1B⊥平面AB 1C ，所以向量1BD 是平面AB 1C 的法向量。

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A(a,0,0),A 1(a,0,a),B(a,a,0), D 1 (0,0,a).∴1AA =(0,0,a),1BD =(-a,-a,a)。

∴平面AB 1C 与平面A 1C 1D 的距离为
=a a
a 33
32=.
6．求异面直线间的距离
设向量n 是异面直线a 、b 的公垂线的方向向量, P 、Q 分别是ab 上任意一点，则向量PQ 在公垂线方向向量n 方向上的射影长即为异面直线a 、b 的距离，即。

例7：已知正方体ABCD-A /B /C /D /
的棱长为1，求直线DA /
与AC 的距离.
解：建立如图5所示的直角坐标系D-xyz ，则1DA =(1,0,1)，)0,1,1(1-=AC ，
1AA =(0,0,1).
设与DA /和AC 都垂直的单位向量),,(z y x n =,则x 2+y 2+z 2
=1 ⑴
01=∙AC n ， x+z=0， y=x ，
由 1DA n ∙0=，得 -x+y=0，即 z=-x.代入⑴,得x=3
3
±
, ∴d=
3
3
1
1=
==
∙x z n
n AA 。

例8．如图6，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=4，AD=3，AA 1=2，M 、N 分别为BC 1、BB 1的中点，求异面直线MN 与A 1B 的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则M(
2
3
,4,1)、N(0,4,1)、B(0,4,0), A 1 (0,0,2),∴),0,0,2
3(-=MN )2,4,0(1-=B A 设),,(z y x n =是MN 与A 1B 的公垂线的方向向量, 则由0=∙MN n 及01=∙B A n ，得
x=0 , 解之得 x=0
4y-2z=0 , z=2y,取y=1,得)2,1,0(=n ,又
∵)1,4,23
(1--=MA .∴55252401=+-=∙=
n
n MA d。