多元函数求极限

上次有同学问我多元函数要怎么求极限。

因为每天太忙了，每及时回答。

今天抽出时间来说一下吧。

不扯那么多虚的。

就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用。

所以把握住这个原则，多元函数的极限也没有想象的那么神秘。

我们以二元函数的极限为例，举一些例子作为说明吧。

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例1 使用了无穷小替换
()222222
220000
sin lim lim 1x x y y x y x y x y x y →→→→++==++ ========= 例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入
()2210
22lim ln2ln 3x y x y x y →→+=-- =========
例3 同样也可以分子分母有理化
(
00000002lim lim24
x x y y x x y y xy xy xy →→→→→→→→=+==+=- =========
例4 同样也可以使用两个重要极限
2lim 11lim 1lim 1x y a x x x x y x y x x y a y a x x y x x e e
→∞→++→∞→∞→→+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦==
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例5 同样也能够使用夹逼准则
讨论函数()22222220,00x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在（0,0）处的连续性
解：先求极限()2220,00,0lim ,lim x y x y x y f x y x y
→→→→=+ 因为()222220001x y y y y x x y y
≤=≤→→++ 所以由夹逼准则知道()()222
0,00,0lim ,lim 00,0x y x y x y f x y f x y →→→→===+ 因此连续
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所以我们看到多元函数的极限其实没有那么神秘，本质跟一元函数求极限一样。

所以求极限最核心的还是要对一元函数求极限的方法掌握好，这样子才能举一反三套用到多元函数中。

另外数学系中有学习到多元函数的累次极限，因为高等数学中不包括，因此就不作介绍了，不是数学系的也没必要了解哈。

好了今天就到这吧。