2-3 函数的奇偶性与周期性(老师)

函数的奇偶性与周期性
一、填空题
1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
1.【解析】由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.
【答案】－2
2．若函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝2，若f(0)＝2，则f(2 012)＝________.
2.【解析】由f(x＋2)＝
2
f(x)
得f(x＋4)＝
2
f(x＋2)
＝f(x)，
∴f(x)的周期为4.
∴f(2 012)＝f(503×4＋0)＝f(0)＝2.
【答案】 2
3．(2011·杭州模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
3.【解析】由已知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(2)＝0，f(x)＝f(|x|)，
∴f(x)<0⇔f(|x|)<f(2)．
∴|x|<2.得－2<x<2.
【答案】(－2,2)
4．若f(x)＝
1
2x－1
＋a是奇函数，则a＝________.
4.【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
则
1
2－x－1
＋a＝－(
1
2x－1
＋a)，∴a＝
1
2.
【答案】 12
5．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，则f (3)，f (－2)与f (1)的大小关系是________．
5.【解析】 由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)．
【答案】 f (3)<f (－2)<f (1)
6．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (32)＝________.
6.【解析】 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，
令x ＝－12，得－12f (12)＝12f (－12)
又f (x )为偶函数，∴f (12)＝0，
又令x ＝12，得12f (32)＝32f (12)，
∴f (32)＝0.
【答案】 0
7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是________．
7.【解析】 ①当x ＞0时，lg x ＞0，得x ＞1；
②当x ＜0时，－x ＞0，
又f (x )在R 上是奇函数，
∴f (－x )＝lg(－x )，∴f (x )＝－lg(－x )，
∴f (x )＝－lg(－x )＞0，∴－1＜x ＜0.
由①②知：x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.
【答案】 {x |－1＜x ＜0或x ＞1}
8．设y ＝f (x －1)是R 上的奇函数，若y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，且f (0)＝1，则满足f (m )＞－1的实数m 的范围是________．
8.【解析】 因为y ＝f (x －1)是R 上的奇函数，所以f (x )关于(－1,0)对称，由f (0)＝1可得f (－2)＝－1.又f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，所以f (x )是R 上的增函数，由f (m )>－1可得m ＞－2.
【答案】 (－2，＋∞)
9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的
取值范围是________．
9.【解析】 当2x －1≥0，即x ≥12时，
因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，
故需满足2x －1<13
， 即x <23，所以12≤x <23.
当2x －1<0，即x <12时，由于f (x )是偶函数，
故f (x )在(－∞，0]上单调递减，
f (13)＝f (－13)，
此时需满足2x －1>－13，
所以13<x <12.
综上可得13<x <23.
【答案】 (13，23)
二、解答题
10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x .试解关于a 的不等式f (2－a 2)＞f (a )．
10.【解】 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 是增函数．
又f (x )是定义在R 上的奇函数．
∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f (2－a 2)＞f (a )，得
2－a 2＞a ，解之得－2＜a ＜1.
∴不等式的解集为{x |－2＜a ＜1}．
11．设a ，b ∈R ，且a ≠2，定义在区间(－b ，b )内的函数f (x )＝lg
1＋ax 1＋2x
是奇函数．
(1)求b 的取值范围；
(2)讨论函数f (x )的单调性．
11.【解】 (1)∵f (x )是奇函数，且定义域为(－b ，b )，
由①得1－ax 1－2x ＝1＋2x 1＋ax
，即a 2x 2＝4x 2， 此式对∀x ∈(－b ，b )都成立，∴a 2＝4，
∵a ≠2，∴a ＝－2，
代入②式得－12<x <12，此式对任意x ∈(－b ，b )都成立，相当于－12≤－b <b ≤12，
∴b ∈(0，12]．
(2)设任意x 1，x 2∈(－b ，b )且x 1<x 2，由b ∈(0，12]
得－12≤－b <x 1<x 2<b ≤12，
∴0<1－2x 2<1－2x 1
0<1＋2x 1<1＋2x 2，
∴f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－2x 1
1＋2x 1－lg 1－2x 21＋2x 2
＝lg (1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2)(1－2x 1)
<lg1＝0. ∴f (x )在(－b ，b )内是减函数．
12．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，
m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n
>0. (1)解不等式f (x ＋12)<f (1－x )；
(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．
12.【解】 (1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)
·(x 2－x 1)>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．
f (x ＋12)<f (1－x )⇔
⇔0≤x<1 4，
即不等式f(x＋1
2)<f(1－x)的解集为[0，
1
4)．
(2)由于f(x)为增函数，∴f(x)的最大值为f(1)＝1，
∴f(x)≤t2－2at＋1对a∈[－1,1]，x∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．
把y＝t2－2at看成a的函数，
由a∈[－1,1]知其图象是一线段．
∴t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立。