第十四章 《整式的乘法与因式分解》单元小结与复习
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
人教初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》教案小结复习课剖析精选全文
y=0
y=83 y=-1
∴x+y=83或-85.
y=-84
本题源自《教材帮》
课堂小结
1.同学们，今天你学到了什么呀？ 和同桌说说有什么收获。
2.师生共同总结反思学习情况。
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
再见！
己书中 的方国 未式人 来，自 。创己
造的 自读
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
深化练习 2
因式分解： (1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ; (3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形式，选择合 适的方法，并且分解后的结果一定要 到不能再分解为止.
本题源自《教材帮》
深化练习 2
知识梳理
平方差公式分解因式：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘 法的平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 的等号两边互换位置，就得到了a2-b2= (a+b)(a-b).
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
“两个数”指的是 a，b，而不是 a2，b2，其中 a、b可以是单项式，也可
2
师生：共同归纳本课学习知识。
作业
1 2
教科书本课课后习题。 课时达标册本课练习习题。
下课啦！
谢谢 指导
2022
知识梳理பைடு நூலகம்
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分 解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和， 使其等于一次项系数.
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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数学
(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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数学
17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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数学
9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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数学
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
整式的乘法与因式分解小结与复习
整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理1. 有关概念⑴因式分解：把一个多项式化为 的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的 提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++= .提公因式法的实质是逆用 律. ⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= 、2()a b ±= 逆用，就得到分解因式的公式22a b -= ，222a ab b ±+= ，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法. 2. 有关法则⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同 一起作为积的一个因式. ⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据 律用单项式去 多项式的每一项，再把所得的 相 . ⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项，再把所得的积相 .⑸单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的 ；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 一起作为商的一个 ．⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商 ．3. 有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的 ，即用字母表示为：(a+b)(a －b)= .⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的 再加上（或减去）这两数的 ，即：(a ±b)2= .思想方法1. 整体思想例1 已知2514x x -=，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．分析：根据已知条件，现有知识无法直接求出x 的值，由于2(1)(21)(1)1x x x ---++化简后的结果是251x x -+，因此我们考虑用整体思想代入的方法来求解，即把2514x x -=代入251x x -+中即可. 解：2(1)(21)(1)1x xx ---++22221(21)1x x x x x =--+-+++22221211x x x x x =--+---+251x x =-+． 当2514x x -=时，原式2(5)114115x x =-+=+=．点评：整体思想是从整体上考虑研究对象的整体结构特征，不纠缠于问题的各项具体的细节，本题中现在无法求出x 的值，而化简后发现已知和未知中都有25x x -，这样便找到了未知和已知之间的“桥梁”.2. 数形结合思想例2 如图1，边长为（m ＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．2m ＋3B ．2m ＋6C ．m ＋3D ．m ＋6分析：已知矩形的一边，要求另一边长．只要知道矩形的面积，问题就能解决，而矩形的面积可以由原来的大正方形面积减去小正方形的面积. 解：（m ＋3）2－m 2＝6m ＋9，（6m+9）÷3=2m ＋3，所以另一边长就是2m ＋3.故选A.点评：本题以图形的形式出现，是对整式运算能力的考查，通过图形将数量与形状巧妙结合，体现数形结合思想.通过图形发现面积图形面积间的关系是解决本题的关键.另外但从解题的角度，若将大正方形进行分割也能得出结果，同学们不妨一试．图1新题展示1. 逆向思维题例1 计算22009201011()(2)2-⨯-的结果是 （ ）A ．－2B ．－1C ．2D ．3 分析：直接计算本题非常繁琐，仔细观察算式发现如果逆用同底数幂相乘与积的乘方公式，就可以化繁为简，柳暗花明.解：由于()20092010122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝()()200920091222⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭＝()()20091222⎡⎤⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2，所以原式＝1－2＝－1．故选B.点评：本题考查幂的运算法则，灵活运用幂的运算公式是计算正确的关键． 2. 结论开放题例2 给出三个单项式：2a ，2b ，2ab .（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解； （2）当2010a =，2009b =时，求代数式222a b ab +-的值.分析：答案不唯一，只要任意两个单项式排列组合所得均可，注意分解的结果必须是每一个因式都不能分解为止. 解：（1）a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）；a 2-2ab=a （a-2b ）； 2ab-a 2=a （2b-a ）； b 2-2ab=b （b-2a ）； 2ab-b 2=b （2a-b ）.（2）a 2+b 2-2ab=（a-b ）2，把a=2010，b=2009代人得a 2+b 2-2ab=1. 点评：本题是一道与整式的加减及因式分解有关的开放性问题，在解决此类问题时注意把握问题的实质，写出符合条件的结论即可. 3. 阅读理解题例3由m （a +b +c ）＝ma +mb +mc ，可得（a +b ）（a 2－ab +b 2）＝a 3－a 2b +ab 2+a 2b －ab 2+b 3＝a 3+b 3，即（a +b ）（a 2－ab +b 2）＝a 3+b 3． ………………………① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（ ） A ．（x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）=x 3+64y 3 B ．（2x+y ）（4x 2－2xy+y 2）=8x 3+y 3 C ．（a +1）（a 2＋a +1）=a 3+1 D ．x 3+27=（x +3）（x 2－3x +9） 解析：等式①用语言叙述就是：两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和．这种变形的本质是根据立方公式进行整式的乘法运算或因式分解，选项A 、B 、D 都满足使用立方公式的条件，其中A 、B 是用立方公式进行乘法运算，选项D 是进行因式分解.只有C 不满足“两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差．”这一条件，不是题目要求的变形，所以选C ．点评：本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则.基础盘点1. 下列运算正确的是 （ ）A ．236a a a ⋅= B ．()325aa =C ．666()ab a b =D ．632a a a ÷=2. 计算b a ab 2253⋅的结果是（ ） A.228b aB. 3315b aC. 338b aD.2215b a3. 整式(－x －y)( )=x 2－y 2中括号内应填入下式中的（ ） A. －x －y B. －x+y C. x －y D. x+y4. 把代数式ax 2－4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A. a(x －2)2 B. a(x+2)2 C. a(x －4)2 D. a(x+2)(x －2)5. 因式分解(x －1)2－9的结果是（ ）A. (x+8)(x+1)B. (x+2)(x －4)C. (x －2)(x+4)D. (x －10)(x+8)6. 学校买来钢笔若干支，可以平均分给（x －1）名同学，也可以平均分给（x －2）名同学（x 为正整数）．用代数式表示钢笔的数量不可能的是（ ） A ．3（x －1）（x －2） B ．232++x x C ．232+-x x D ．x x x 2323+-7. 多项式ax 2－4a 与多项式x 2－4x+4的公因式是 ． 8. 计算:()221164x yz x y ⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝ . 9. 计算: ()()2422152055x y x x x --÷-= ．10. 多项式224x M 9y ＋＋是一个完全平方式，则M 等于（填一个即可） ． 11. 分解因式：a(x －y)－b(y －x)+c (x －y)＝ .12. M 和N 表示单项式，且3x （M －5x ）＝632y x ＋N ，则M ＝_________，N ＝________．跟踪训练1.（－2x 3y 4）3的运算结果是 （ ） A. －6x 6y 7 B. -8x 27y 64 C. -6x 9y 12 D. -8x 9y 122. 下列计算题中，能用公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2的是 （ ） A. (x-2y)(x+y) B. (n+m)(-m-n) C. (2x+3)(3x-2) D. (-a-2b)(-a+2b)3. 在下列各多项式中，各项的公因式是6x 2y 3的是 （ ） A. 6x 2y+12xy 2-24y 3 B. x 4y 3-3x 3y 4+2x 2y 5 C. 6x 4y 3+12x 3y 4-24x 2y 5 D. x 2y-3xy 2+2y 34. 下列各多项式：① x 2-y 2；②x 2+1；③x 2+4x ；④x 2-10x+25．其中能直接运用公式法分解因式的个数是 （ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 已知x n =5，y n =3，则（xy ）2n = ．6. 已知（x 2+nx +3）（x 2－3x +m ）的展开式中不含x 2和x 3项，则m = ，n = .7.（－a －b ）（a －b ）=－[（ ）（a －b ）]=－[（ ）2－（ ）2]= .8. 342322(72369)(9)x y x y xy xy -+÷-= . 9. 计算：（1）(-23x 3y 2)3÷(-41x 2y)2∙(-31xy)3； （2）)1(5)13)(13()12(2-+-+--x x x x x . 10. 因式分解：（1）)(9)(2x y y x a -+-；（2）221222x xy y ++. 11. 先化简，再求值：y xy y x y x y x y x 2)26()())((222÷---+-+，其中312=-=y x ，.整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理：1. （1）几个整式的积（2）公因式 m （a +b +c ） 乘法分配（3）a 2-b 2 222a ab b ±+= （a+b ）（a-b ） (a ±b)2 2.（1）底数 指数 a m+n a m+n+p 底数 相乘 a mn a mnp乘方 相乘 a n b n a mk b nk c pk 底数 相减（2）系数 相同字母的幂 它的指数 （3）乘法分配 乘 积 加 （4）乘以 加（5）系数 同底数幂 因数 指数 因式 （6）每一项 相加3. （1） 平方差 a 2-b 2（2）平方 积的2倍 222a ab b ±+=基础盘点：1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7. x －2 8. -64z 9. -3y+4x 2+110. ±12xy 11. (x －y)(a+b+c) 12. 2xy 3 -15x 2 跟踪训练：1.D 2.D 3.C 4.B5．225 6．6 3 7． a +b a b b 2－a 2 8. 22841x y xy -+- 9.（1）原式=-827x 9y 6÷161x 4y 2∙(-271x 3y 3)=-54x 5y 4∙(-271x 3y 3)=2x 8y 7； （2）原式=x x x x x 5519144222-++-+-=-9x+2.10. 解：（1）原式=)(9)(2y x y x a ---=)3)(3)((-+-a a y x ； （2）原式=22211(44)(2)22x xy y x y ++=+. 11. 原式=xy x y xy x y x +-+-+-2222232=xy x --2. 当312=-=y x ，时，原式= -310.。
第14章整式的乘法与因式分解小结
教学准备：多媒体课件
课时安排：1
教学过程
二次备课
（一பைடு நூலகம்本章知识梳理：
幂的运算： (1)同底数幂的乘法 (2)同底数幂的除法
(3)幂的乘方(4)积的乘方
整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
设计
必做
：课本124页复习题14第6题.
选做
：课本124页复习题14第7题.
教学
反思
(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式
乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式
因式分解：(1)提公因式法(2)公式法
（二）合作探究：
(1)化简：A3·A2B=. (2)计算：4X2+4X2=
(3)计算：4X2·(-2XY)=. (4)分解因式：A2-25=
（三）当堂检测
1．若 ，则 =_________________.
7．下列多项式中，含有因式 的多项式是（。）
A. B.
C. D.
8．简便方法计算(1) 98×102－992 (2)
9．（远程使用）已知A，B，C为△ABC的三条边的长．
若 ，试判断三角形的形状
课堂小结：
今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。
（师生共同总结）
板书设计：
第14章整式的乘法与因式分解小结
课题：第14章整式的乘法与因式分解小结
上课时间
年 月 日
教学目标
知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则，
过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式
第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习PPT课件
第十四章 小结与复习
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
知识梳理
问题1 计算下列各题并思考：下列各题中都运用
到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？
（1）（-2x2y3） （ 2 xy） 3；
（2）（ 2a+3b） （ 2a-b） ； （3） 5x（ 2x+1） （ x-1） ；
谢谢您的观看与聆听
Thank you for watching and listening
（4）（2x+3y-1）2；
（5）（- 2a7b5） 3a2b5；
3
2
（6）（ 7 x2y3- 8 x3y2z） 8 x2y2 ．
知识梳理
问题2 因式分解： （1） 25x2-16y2； （2）（ a - b ） （ x - y ） - （ b - a ） （ x + y ） ； （3） a2-4ab+4b2； （4） 4+1（ 2x-y） +（ 9x-y） 2．
（2）（ a - 2 ） （ 2a + 2 ） （ 2a 2+ 4 2-（ 3a-3b） 2；
7
7
（4）（ 2x-3y+1 ） （ -2x+3y+1 ） ．
典型例题
例2 因式分解： （1）16 x 4 -1； （2）a3-10a2+25a； （3）m2-4m-12．
典型例题
例3 化简求值． （1）（ a - 2 ） （ a + 2 ） - （ aa - 2 ） ,其中 a=-1 ； （2）已知（ x+y） 2=25 ， （ x-y） 2=9，求 x y 和 x 2 + y 2 的值．
第十四章整式的乘法与因式分解复习
解:原式=
2
2
2
提高题
2.先化简，再求值。
(1).(2013 宁波中考)：（a 2） (a 2) a(a 2), 其中a 1
解：原式 a 2 4 a 2 2a
(2).4( x 1)2 (2x 1)2x 1 7(1 x),其中x 1
4 3 2
2
解：原式 (12 x 4 2 x 2 ) (8 x 3 2 x 2 ) ( x 2 2 x 2 )
1 6x 4x 2
2
乘法公式： 平方差公式 2 2 (a b)(a b) a b
其中a, b既可以是数 , 也可以是代数式 .
文字法则：两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
（1）公因式：一个多项式的各项都含有的公共的 因式，叫做这个多项式各项的公因式。 （2）找公因式：找各项系数的最大公约数与 各项都含有的字母的最低次幂的积。 （3）提公因式法：一般地，如果多项式的各项 有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的 每一项除以这个公因式，所得的商作为另一 个因式，将多项式写成因式乘积的形式.
第十四章
整式的乘法与因式分解 复习
本章知识结构梳理
a a ____ a mn m n a (a ) ____ 幂的运算性质 (ab)n ____ a nb n m n mn a a ____ a
m n
m n
整式的乘法
单项式乘（除）单项式 整式的乘（除） 多项式乘（除）单项式 多项式乘以多项式 2 2 平方差： (a b)(a b) a b
2 2
提高题
3.利用乘法公式计算下列各式：
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级上册 第十四章 章末复习
(3)xy2－x＝__x_(y_＋__1_)_(y_－__1_)__.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为____－__3____．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝___1_2____．
第十四章 章末复习
10．计算： (1)(2a＋3b)(2a－b)； (2)(12x3＋6x2 )÷3x. 解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
第十四章 章末复习
3.计算： (1)x3y·3y2＝___3_x_3_y_3 ___； (2)2x(3x2－x)＝__6_x_3－__2_x_2__； (3)8a5b3÷(－4a2b)＝__－__2_a_3_b_2 __．
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第十四章 章末复习
4．计算： (1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)； (2)(3x－4y)(x＋2y)； (3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
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基础练习
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第十四章 章末复习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( B )
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．(a2)3
D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( A )
A．(a2b3)2＝a4b6
B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4
D．(a＋b)2＝a2＋b2
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2. (2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2. (3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
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第十四章 章末复习
乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
第14章-《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第十四章 《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例重点知识回顾：一、整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=• ),(都是正整数）（n m a a mn n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个_______，其项数与因式中多项式的项数______。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
二、整式的除法： nm n m a a a -=÷ ()0≠a 10=a()0≠a单项式÷单项式 多项式÷单项式三、因式分解 1、把一个多项式化成几个_________的形式，叫做把这个多项式因式分解。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用________公式分解因式；三项式可以尝试运用______________、__________分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试______________分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
整式的乘法与因式分解小结与复习
课堂小结
1、本节课复习了哪些主要内容？ 2、你有哪些收获？你觉得还有什么需要注意的方？ 3、结合本节课的复习，你认为体现了哪些数学思 想 方法？
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
知识梳理
整式的乘除法则： ⑴单项式乘单项式： 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母 的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母， 则连同它的指数一起作为积的一个因式． ⑵单项式乘多项式： 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式 的每一项，再将所得的积相加． ⑶多项式乘多项式：
例2、因式分解：
(1)a 25; (2)a 2 4ab 4b2 ;
2
(3)9( x y) 12( x y) 4;
2
(4)m2 4m 12;
典型例题
例题3、化简求值：
(1)(a 2)(a 2) a(a 2), 其中a 1; (2)已知( x y)2 25, ( x y)2 9, 求xy和x2 y 2的值。
体系建构
本章知识结构 图：
典型例题
例1、计算：
2
1 (1)4 x ( xy ) 2 ; 2
2
2 7 5 3 2 5 (2)( a b c) a b ; 3 2
(3)2x ( x 1)(x 1);
(4)(3x y 4x y z) 2x y ;
2 4 3 2 2 2
典型例题
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别 乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
知识梳理
⑷单项式除以单项式： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作 为商的因式，对于只在被除式中出现的字母， 则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑸多项式除以单项式：
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解 小结与复习
四、乘法公式 1. 平方差公式
两数___和___与这两数__差____的积，等于这两数的
_平__方__差___. (a + b)(a - b) = _a_2_-__b__2 .
2. 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的_平__方__和__，
加上(或减去)它们的__积____的 2 倍.
针对训练
7．下列计算中，正确的是 ( C )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知 (x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为 ( B )
A．±6 B．±12
C．±18 D．±72
9．若 a＋b＝5，ab＝3，则 2a2＋2b2＝___3_8__．
(a + b)2 = _a_2_+__2_a_b__+__b_2.
五、因式分解 1. 因式分解的定义
把一个多项式化为几个__整__式__的__积____的形式，像
这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式.
步骤：
2. 因式分解的方法
1. 提公因式；
(1) 提公因式法
2. 套用公式；
＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9. (3) 原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.
11. 用简便方法计算 (1) 2002－400×199＋1992； (2) 999×1001.
解：(1) 原式 ＝ (200－199)2 ＝ 1. (2) 原式 ＝ (1000－1)(1000＋1) ＝ 10002－1 ＝ 999999.
第十四章整式的乘除与因式分解小结与复习课件
（- y) y ( y) y y y y
14.1 整式的乘法 1．同底数幂的乘法
（1）注意
常见错误
a a 2a
3 3 m
3 m
a6 a2 a3
aa a
a b
n
x
n
2
5 x x 3
与 b a 的关系不清
4．注意纠正学生在运算中的易错点 熟练掌握整式乘除和因式分解这两项基本技能，必 然需要一定量的练习。然而这种练习并不意味着简单 机械的重复。引导学生及时发现并改正自己的计算错 误，可以使学生纠正错误认识，正确的理解、运用运 算法则，从而提高练习的效率。
5．根据学生的实际情况，适当补充一些内容 有一些与本章密切相关的内容，是非常值得 加以补充的。如：十字相乘法；分组分解法； 配方法；如果学生的能力较强，还可以适当添 加立方和、立方差公式等。
（ 1 ） 4 x 2 16y 2
(3)a x 2 7ax 12a
(2)9x 2 30xy 25y 2
2．重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 归 纳
数的运算
式的运算性质
整式乘除这部分内容一般都是从特殊到一般，从具体到 抽象的过程，学生只有经历了这样的过程，才能更好地理 解、记忆公式.
本章地位
• 一整式乘除与因式分解是建立在有理数的运算、
运算律以及整式加减法的基础上,它是整式运算的 重要内容, 是后续学习分式、根式、方程、函数 以及进一步学习其他数学内容的基础，同时也是 学习其他学科不可或缺的数学工具。 • 教材地位
课标要求
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表 示数（包括在计算器上表示）。 （2）能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次 式之间以及一次式与二次式相乘）。 （3）能推导乘法公式：(a+b)( a-b) = a 2- b 2；
整式的乘除及因式分解单元总结及归纳
整式的乘除及因式分解单元总结及归纳1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母是代数式。
2.整式的分类：⎩⎨⎧和叫做多项式多项式：几个单项式的式的积的代数式叫做单项单项式：只是数与字母整式 1）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
2）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
4）合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数都不变。
3.幂的运算法则：),0(n m n m a >≠为正整数，且、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠=≠=≠===≠>=÷=⋅--+指数）负指数幂，倒底数，反负指数幂：零指数幂：乘方）（等于分子、分母分别为正整数，（商的乘方：分别乘方）等于积里的每一个因式为正整数）（积的乘方：底数不变，指数相乘）为正整数）、幂的乘方：底数不变，指数相减），为正整数且、（同底数的幂相除：底数不变，指数相加）为正整数）、同底数的幂相乘：)(0(1)0(1)0)(()((()()(0((0a a a a a a n a b a b n b a ab n m a a a n m n m a a a n m a a a n n n n n n n n mn n m n m n m n m n m4.整式的运算：1）整式的加减运算：合并同类项。
2）整式乘法法则：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++±=±-=-++++=++++=++ab x b a x b x a x b ab a b a b a b a b a bn bm an am n m b a mc mb ma c b a m )())((12)())(())(()3()(21222222的一次二项式相乘：两个一次项系数为；完全平方公式：方法二：平方差公式：即：积相加。
第十四章整式的乘除与因式分解 章末复习小结(4)基本技能、基本思想方法和基本活动经验
完全平方差公式：(a－b)2 ＝a2＋b2+2ab
表达了完全平方和(差)与平方和、乘积之间的
关系，如果知道其中的部分量，可以运用公式
求出剩下的量.
小试牛刀
2. 已知(a＋b)2＝10，(a－b)2＝2，求a2＋b2＋ab
的值.
解：由(a＋b)2＝10得
人教版.八年级上册
第十四章 章末复习小结（4）
基本技能、基本思想方法和基
本活动经验
知识梳理
乘法公式
( + )( − ) = −
( ± ) = ± +
幂的运算性质
∙ = +
( ) =
() =
÷ = −
解：⑴ 9992
＝(1000－1)
2
＝10002－2×1000×1＋12
＝100 0000－2000＋1
＝998001
⑵ 29.4×30.4
＝(30－0.4) (30＋0.4)
＝302－0.42
＝900－0.16
＝899.84
知识归纳
求一个复杂数的平方时，可以考虑用完全平方公式简
化计算，将其化为整十、整百与另一个数的完全平方和
由(a－b)2＝2得
(①＋②)÷2得
a2＋b2＋2ab＝10①
a2＋b2－2ab＝2②
a2＋b2＝6
(①－②)÷4得ab＝2
∴a2＋b2＋ab＝6＋2＝8
整体
类比方程
组求解
拓展提高
若( − )( − ) = ，则
( − ) +( − ) 的值.
解：设 = − ， = − .
第十四章 《整式的乘法与因式分解》单元小结与复习
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/302021/8/30Monday, August 30, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 2:47:04 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/302021/8/302021/8/30Aug-2130-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/302021/8/302021/8/30Monday, August 30, 2021