北京一零第一中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析

北京一零第一中学2018-2019学年高三数学理上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）
B
略
2. 若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（）
A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx
参考答案：
D
【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】A、C在[﹣，]内单调递增是不正确的；对于B，y=sinx+cosx，化简判断单调性即可判断正误；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．
【解答】解：由题意可知A、C显然不满足题意，排除；对于B，y=sinx+cosx=sin （x+），在[﹣，]内不是单调递增，所以不正确；
对于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，满足题意，所以f （x）可以是﹣cosx．
故选D
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．
3. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
C
4. 复数的虚部为（）
A． i B．﹣i C． 1 D．﹣1
参考答案：
D
5. 设等差数列的前项和为,点在直线上,则
A. 4034
B. 2017
C. 1008
D. 1010
参考答案：
B
6. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为
（）
A. 8
B. 4
C.
D.
参考答案：
C
7. 双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为，当取最小值时，双曲线的实轴长为
A. B. C. D.4
参考答案：
B
8. 已知函数的零点分别为，则的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
参考答案：
A
9. 若，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
10. 某居民小区为如图所示矩形ABCD，A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常).
A．B．
C．D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________.
参考答案：
略
12. 行列式中元素7的代数余子式是．
参考答案：
13. 已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++t?a n≥0恒成立，则实数t的取值范围是．
参考答案：
[﹣9，+∞）．
【分析】由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出a n．不等式++t?a n≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），
两边取倒数可得：﹣=1．
∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．
∴=2+（n﹣1）=n+1，
∴a n=．
不等式++t?a n≥0化为：t≥﹣．
∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．
∵﹣≤﹣9．
∵实数t的取值范围若不等式++t?a n≥0恒成立，
∴t≥﹣9．
则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．
故答案为：[﹣9，+∞）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 的展开式中常数项是_______。

（用数字作答）
参考答案：
60；
【分析】
利用二项展开式，得出的指数，令指数为零，求出参数的值，并将参数的值代入可求出这个展开式中的常数项。

【详解】的展开式的通项，
由，得，所以，常数项为，故答案为：。

【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查指定项的系数问题，考查计算能力，属于基础题。

15. 下列命题：
(1)若函数为奇函数，则；
(2)函数的周期；
(3)方程有且只有三个实数根；
(4)对于函数,若,则．
以上命题为真命题的是．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）
参考答案：
（1）（2）（3）
16. 计算：
参考答案：
17. 已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）= ．
参考答案：
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知可得函数f（x）的周期T=8，且在[1，5]上为减函数，进而求出
φ=，可得答案．
【解答】解：∵x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，
∴=5﹣1=4，
∴T=8，
∵ω＞0
∴ω=，
∵f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，
∴函数f（x）在[1，5]上为减函数，
故+φ=，φ=，
∴f（0）=cos=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（Ⅰ）求证：对任意的；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求证：对任意的.
参考答案：
（Ⅰ）只需证明的最大值为0即可，
令，得，当时，，当时
是唯一的极大值点，故,∴
，从而4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，，即
令得
由上面个不等式相加得9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）当时，即
14分
19. 在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足
，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．
（1）求： ?的值；
（2）证明：为定值．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．
【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到?的值；
（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．
【解答】解：（1）设
∵焦点F（0，1）
∴
∵
∴
，
∴x1x2=﹣4
∴y1y2==1
∴=﹣3（定值）
（2）抛物线方程为y=x
∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=
即y=
∴=0 （定值）20. 已知函数g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x．
（Ⅰ）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x1，x2是函数g（x）的两个极值点，求证：g（x1）+g（x2）+4＜0．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出g（x）的导数，得到g（1），g′（1），根据系数相等求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，得到x1+x2=a，x1?x2=a，根据△＞0，求出a＞
4，于是g（x1）+g（x2）+4=alna﹣a2﹣a+4，令h（x）=xlnx﹣x2﹣x+4，（x＞4），根据函数的单调性求出h（x）＜h（4），从而证出结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x，x＞0，
g′（x）=+x+（1﹣b），g（1）=﹣b，g′（1）=a﹣b+2，
∴切线方程是：y﹣+b=（a﹣b+2）（x﹣1），
即：2（a﹣b+2）x﹣2y﹣2a﹣1=0，
又切线方程为8x﹣2y﹣3=0，
∴，解得：a=1，b=﹣1；
（Ⅱ）若b=a+1，则g（x）=alnx+x2﹣ax，（x＞0），
g′（x）=+x﹣a=，（x＞0），
若x1，x2是函数g（x）的两个极值点，
则x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，
∴x1+x2=a，x1?x2=a，
而△=a2﹣4a＞0，解得：a＞4或a＜0，
显然a＞4，
∴g（x1）+g（x2）+4=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2+4=alna﹣a2﹣a+4，令h（x）=xlnx﹣x2﹣x+4，（x＞4），
h′（x）=lnx﹣x，h″（x）=＜0，
∴h′（x）在（4，+∞）递减，
∴h′（x）max＞h′（4）=ln4﹣4＜0，
∴h（x）在（4，∞）递减，
∴h（x）＜h（4）=8（ln2﹣1）＜0，
∴g（x1）+g（x2）+4＜0．
21. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；
（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．
参考答案：
【考点】正弦函数的图象．
【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ
值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；
（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．
【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，
解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），
又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，
故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），
由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，
∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，
故函数的值域为[0，2]；
（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，
∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，
结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，
由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，
∴cosB==，故sinB==，
∴sin2B=2sinBcosB=2××=
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，涉及正余弦定理解三角形以及三角函数的值域，属中档题．
22. （本大题10分）
已知函数．
（I）当时，解不等式；
（II）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（I）；（II）．略。