靖宇县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

靖宇县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（
）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2． 已知等差数列{a n }中，a n =4n ﹣3，则首项a 1和公差d 的值分别为（
）
A ．1，3
B ．﹣3，4
C ．1，4
D ．1，2
3． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（
）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V
≤}D ．{V|0＜V ≤}
4． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）
A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）5． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（
）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．4
6． 已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）{}n a n S d 201717
100201717
S S -=d A ．
B ．
C ．
D ．1
20
1
10
1020
7． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与
△
P n AC 的面积比为3；1， =
﹣（
2x n +1）
（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（
）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
8． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c
B ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β
C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α
D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）
A．36种B．18种C．27种D．24种
10
．数列中，若，，则这个数列的第10项（）
A．19B．21C．D．
11．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中
的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）
A．B．C．2D．3
12．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q ：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）
A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q
二、填空题
13．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[﹣，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是 ．
14．
如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．
15．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是 ．
16．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　_________　。

17．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ．　
18．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为　
三、解答题
19．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=
，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PA 的中点，M 在PD 上．
（I ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若
，则当λ为何值时，平面BEM ⊥平面PAB ？
（Ⅲ）在（II ）的条件下，求证：PC ∥平面BEM ．
21．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平P ABCD -ABCD E AC BD PA ⊥面，为中点，为中点．ABCD M PA N BC （1）证明：直线平面；
//MN ABCD
（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．
Q PC 120BAD ∠=︒PA =
1AB =A QCD -
22．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
23．设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
24．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
靖宇县一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
即有a82=4a8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
2．【答案】C
【解析】解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，
∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．
∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
4．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，
∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）
故选B．
5．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．　
6． 【答案】B 【解析】
试题分析：若为等差数列，
，则为等差数列公差为, {}n a ()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯n S n ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
2d ,故选 B. 2017171
100,2000100,2017172
10
S S d d ∴
-=⨯==考点：1、等差数列的通项公式；
2、等差数列的前项和公式.7． 【答案】 D 【解析】解：由=﹣（2x n +1），
得+（2x n +1）
=，
设
，
以线段P n A 、P n D 作出图形如图，
则，
∴
，∴
，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x5+1=2•24=32，
则x5=31．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
8．【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
10．【答案】C
【解析】
因为，所以，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数列，通项公式为，所以，所以，故选C
答案：C
11．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
12．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．　
二、填空题
13．【答案】　③④　．
【解析】解：函数f （x ）=cosxsinx=sin2x ，
对于①，当f （x 1）=﹣f （x 2）时，sin2x 1=﹣sin2x 2=sin （﹣2x 2）∴2x 1=﹣2x 2+2k π，即x 1+x 2=k π，k ∈Z ，故①错误；
对于②，由函数f （x ）=sin2x 知最小正周期T=π，故②错误；对于③，令﹣
+2π≤2x ≤
+2k π，k ∈Z 得﹣
+k π≤x ≤
+k π，k ∈Z
当k=0时，x ∈[﹣，
]，f （x ）是增函数，故③正确；
对于④，将x=
代入函数f （x ）得，f （
）=﹣为最小值，
故f （x ）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④．故答案为：③④．　
14．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.
PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0
)
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.
1
21292
即△ABC的面积为.9
2
答案：9
2
15．【答案】　（﹣3，0）　．
【解析】解：由题意，a≥0时，
x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；
x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，
∴a≥0，不符合题意；
﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；
a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；
a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．
故答案为（﹣3，0）．
16．【答案】
【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：。

17．【答案】 ．
【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==
故答案为：
【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．
18．【答案】：2x﹣y﹣1=0
解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，
∴圆心与点P确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN所在直线的斜率为2，
则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：
x
f′（x）+0﹣
f（x）↗↘
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：
x（0，n）n（n，+∞）
g′（x）﹣0+
g（x）↘↗
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．　
20．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，
当M为PD的中点时，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此时，．
（III ）设CD 的中点为F ，连接BF ，FM
由（II ）可知，M 为PD 的中点．
∴FM ∥PC ．
∵AB ∥FD ，FD=AB ，
∴ABFD 为平行四边形．
∴AD ∥BF ，又∵EM ∥AD ，
∴EM ∥BF ．
∴B ，E ，M ，F 四点共面．
∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，
∴PC ∥平面BEM ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）
.18
【解析】
试题解析：（1）证明：取中点，连结，，
PD R MR RC ∵，，，//MR AD //NC AD 12MR NC AD ==
∴，，
//MR NC MR AC =∴四边形为平行四边形，
MNCR ∴，又∵平面，平面，
//MN RC RC ⊂PCD MN ⊄PCD ∴平面．
//MN PCD
（2）由已知条件得，所以，1AC AD CD ===ACD S ∆=所以．111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．　
23．【答案】
【解析】解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．
①当时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为，
所以g（x）＞0的解集为
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=
②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当时，D=；
当时，D=（0，+∞）．
（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），
令f′（x）=0，得x=a或x=1，
①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）
因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（0，a）a（a，x
）（x2，+∞）
1
f′（x）+0﹣+
f（x）↗极大值↘↗
所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．
②当时，由（1）知D=（0，+∞）
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）
f′（x）+0﹣0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1
综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．
24．【答案】
【解析】。