河北省辛集中学2021届高三数学模拟考试试题(三)理

河北省辛集中学2021届高三数学模拟考试试题（三）理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知复数（i是虚数单位），则＝（）
A．B．C．D．
2．已知s，则＝（）
A．B．C．D．
3．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则集合A∪B＝（）A．{1，2，3，4，5，6，8} B．{2，3，4，5，6}
C．{1，3，5，6，8} D．{2，4}
4．某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（）
A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16
5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，则＝（）A．1009 B．1008 C．2 D．1
6．已知椭圆的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2＝b2相交的弦长为，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）
A．B．πC．D．2π
8．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则式子的值是（）
A．﹣1 B．C．1 D．
9．若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）
A．25 B．50 C．51 D．100
10．如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切
球的表面积是（）
A．B． C．D．
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°
12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y＝，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为．
14．△ABC中，D为△ABC重心，以，为一组基底，可表示＝．
15．已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，，且a1＝1，设，则的最小值是．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．已知f（x）＝cos2x+2sin（π+x）sin（π﹣x）．
（1）求函数f（x）最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝﹣，a＝3，求△ABC周长的最大值．
18．在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，平面SAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若底面ABCD为矩形，SA＝2AD＝3AB，F为SC的中点，，求直线EF与平面SCD 所成角的正弦值．
19．第31届夏季奥林匹克运动会将于202X年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数的统计表（单位：枚）
届次第26届（亚特
兰大）第27届（悉
尼）
第28届（雅典）第29届（北
京）
第30届（伦敦）
序号x 1 2 3 4 5
金牌数y 16 28 32 51 38
（1）某同学利用地1、2、3、5四组数据建立金牌数关于序号x 的回归方程为＝
5.0857x+14.514，据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数（计算结果四
舍五入，保留整数）；
（2）试根据上述五组数据建立金牌数关于序号x的回归方程，并据求得的回归方程预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）；
（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：
届次第26届（亚
特兰大）第27届（悉
尼）
第28届（雅
典）
第29届（北
京）
第30届（伦
敦）
序号x 1 2 3 4 5
金牌数y 16 28 32 51 38
预测值
y ﹣
如果|y ﹣|≤4，则称（2）中的方程对该届夏季奥林匹克运动会中国队获得金牌数是“特效”
的，否则称为“非特效”的，现从上述五届奥运会中任取三届，记（2）中的回归直线方程为“特效”的届数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：＝＝，＝﹣．
20．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7．（1）求抛物线E的方程；
（2）设l1，l2为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l1与抛物线E相交于A，B两点，直线l2与抛物线E相交于C，D两点，若直线l1的斜率为k（k≠0），且S△OAB•S△OCD＝8，试求k 的值．
21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝（e﹣1）x﹣1，求实数a及b的值；（2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：
ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ（）．
（1）求C1与C2交点的极坐标；
（2）设点Q在C2上，，求动点P的极坐标方程．
23. ．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤﹣6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与直线y＝a围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围．
数学理科解析
1：B．2：B．3：A．4：B．5：A．6：B．7：B．8：D．9：B．10：C．11：D．
12解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y＝k1x，y＝k2x，
当x≤0时，曲线y＝与直线y＝k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1＝﹣3；当x＞0时，y′＝e x﹣1+xe x﹣1，设切点为（m，n），则n＝k2m，
n＝me m﹣1+1，k2＝e m﹣1+me m﹣1，即有m2e m﹣1＝1，
由x2e x﹣1（x＞0）为增函数，且x＝1成立，故m＝1，k2＝2，
由两直线的夹角公式得，tanθ＝||＝1，
故曲线C相对于点O的“确界角”为．
故选：B．
13：﹣30． 14：+15：（1，2）
16解：∵a n＝S n﹣S n﹣1，（a n﹣S n﹣1）2＝S n S n﹣1，
∴（S n﹣2S n﹣1）2＝S n S n﹣1，∴S n2+4S n﹣12＝5S n S n﹣1，
∴S n＝S n﹣1，或S n＝4S n﹣1，
∵正项数列{a n}的前n项和为S n，∴S n≠S n﹣1，∴S n＝4S n﹣1，
∵S1＝a1＝1，∴{S n}是以1为首项，以4为公比的等比数列，∴S n＝4n﹣1，
当n＝1时，S1＝a1＝1，
当n≥2时，a n+1＝S n+1﹣S n＝4n﹣4n﹣1＝3×4n﹣1，
∴＝log24n﹣1＝2n﹣2，
则＝＝，
设t＝n+1，则n＝t﹣1，
可得＝
＝＝t+﹣3≥2﹣3＝9，
当且仅当t＝6即n＝5时，等号成立，
则的最小值是9．
故答案为：9．
17解：（1）f（x）＝
＝
＝
＝所以，
令，解得，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为．
（2）由（1）可得，即，
因为，所以，
所以，所以．
由余弦定理可知a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc
＝＝，
当且仅当b＝c时等号成立．
于是b+c≤2a＝6．故△ABC周长的最大值为9．
18（Ⅰ）证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线l1，l2，使得l1⊥AB，l2⊥AD．
因为AB∩AD＝A，所以l1，l2为两条相交直线．
因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，l1⊂平面ABCD，l1⊥AB，
所以l1⊥平面SAB．
所以l1⊥SA．
同理可证l2⊥SA．
又因为l1⊂平面ABCD，l2⊂平面ABCD，l1∩l2＝C，
所以SA⊥平面ABCD．
证法2：在平面SAB内过点S作l1⊥AB，在平面SAD内过点S作
l2⊥AD．
因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，l1⊂平面SAB，l1⊥AB，所以l1⊥平面ABCD．
同理可证l2⊥平面ABCD．
而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条，
所以l1与l2重合．所以l1⊂平面SAD．
所以，直线l1为平面SAB与平面SAD的交线．
所以，直线l1与直线SA重合．所以SA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为x轴、y轴、
z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
设SA＝6，则AB＝2，AD＝3，B（2，0，0），C（2，3，0），
D（0，3，0），S（0，0，6）．
由F为SC的中点，得；
由，得E（2，2，0）．
所以，，．
设平面SCD的一个法向量为，
则，即．
取z＝1，则y＝2，x＝0．所以．
所以＝＝＝．所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为．
19解：（1）根据金牌数关于序号x的回归方程为＝5.0857x+14.514，
所以x＝6时，＝5.0857×6+14.514≈45，
据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数45；
（2）根据上述五组数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，
＝×（16+28+32+51+38）＝33；
＝＝
6.7，
＝﹣＝33﹣6.7×3＝12.9．
金牌数关于序号x 的回归方程＝6.7x+12.9，
x＝6，＝6.7×6+12.9≈53，
预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数53；
（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：
届次第26届（亚特
兰大）第27届（悉
尼）
第28届（雅
典）
第29届（北
京）
第30届（伦
敦）
序号x 1 2 3 4 5
金牌数y 16 28 32 51 38 预测值
19 26 33 40 46
y ﹣﹣3 2 ﹣1 11 ﹣8
满足|y ﹣|≤4的数据有3组，即获得金牌数是“特效”的有3组，则X的取值可能为1，2，3；
计算P（X＝1）＝品数X的可能值为1，2，3．
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望为EX＝1×+2×+3×＝．
20解：（1）抛物线E：x2＝2py的准线方程为y ＝﹣，
由题意可得|MF|＝6+＝7，解得p＝2，
即x2＝4y；
（2）设l1：y＝kx+，即y＝kx+1，
联立x2＝4y，可得x2﹣4kx﹣4＝0，
即有x1+x2＝4k，x1x2＝4，
则|AB|＝•＝•＝4（1+k2），
且O到直线l1的距离为，
则S△OAB＝••4（1+k2）＝2，
由于直线l2与l1垂直，且都过F，可得S△OCD＝2，
由S△OAB•S△OCD＝8，可得•＝2，
即k4﹣2k2+1＝0，解得k＝±1．
21解：（1）由f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，得f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，
∴f（1）＝e﹣a﹣b﹣1，f′（1）＝e﹣2a﹣b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（e﹣a﹣b﹣1）＝（e﹣2a﹣b）（x﹣1），由切线的方程y＝（e﹣1）x﹣1，可得e﹣a﹣b﹣1＝e﹣1﹣1，e﹣2a﹣b＝e﹣1，
解得a＝0，b＝1；
（2）由f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1得f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，
∴g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，
∴g′（x）＝e x﹣2a．
当2a≤0即a≤0时，e x﹣2a＞0对一切x∈[0，1]恒成立，
∴g（x）在[0，1]内单调递增，
∴g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1﹣b；
当2a＞0即a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a），
从而有①当ln（2a）≤0即0＜a≤时，列表如下：
x0 （0，1） 1
g′（x）+
g（x）1﹣b增e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1﹣b；
②当0＜ln（2a）＜1即＜a ＜时，列表如下：
x0 （0，ln
（2a））ln（2a）（ln（2a），
1）
1
g′（x）﹣0 +
g（x）1﹣b减2a﹣2aln（2a）﹣b增e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当ln（2a）≥1即a ≥时，列表如下：
x0 （0，1） 1
g′（x）+
g（x）1﹣b增e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e﹣2a﹣b．
综上所述：
当a ≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是1﹣b；
当＜a ＜时，g（x）在[0，1]上的最小值是2a﹣2aln（2a）﹣b；
当a ≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是e﹣2a﹣b．
（3）f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，
由f（1）＝0，即有e﹣a﹣b﹣1＝0，可得b＝e﹣a﹣1，
∴g（x）＝e x﹣2ax﹣e+a+1，又f（0）＝0．
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，
设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，
则由f（0）＝f（x0）＝0可知，
f（x）在区间（0，x0）内不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g（x）在区间（0，x0）内不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．
故函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．
由（2）知当a ≤或a ≥时，函数g（x）即f′（x）在区间[0，1]内单调，
不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若＜a ＜，此时g（x）在区间（0，ln（2a））内单调递减，在区间（ln（2a），1）内单调递增．
因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），
又g（x）min＝g（ln（2a））＝2a﹣2aln（2a）﹣e+a+1＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1，
令h（x）＝3x﹣2xln（2x）﹣e+1（＜x ＜），
则h′（x）＝3﹣2ln（2x）﹣2x ••2＝1﹣2ln（2x），
令h′（x）＝0得x ＝，列表如下：
x （，
）（，
）
h′（x）+ 0 ﹣
h（x）增﹣e+1 减
依表格知：当＜x ＜时，h（x）min ＝﹣e+1＜0，
∴g（x）min＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1＜0恒成立，
于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间
⇔⇔⇔e﹣2＜a＜1．
综上所述：a的取值范围为（e﹣2，1）．
22解：（1）曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cos θ（）．
联立：，解得：，
∵，，，
∴所求交点的极坐标．
（2）设P（ρ，θ），Q（ρ0，θ0）且ρ0＝4cosθ0，，由已知，
得∴，
点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，．
23解：（Ⅰ）f（x）≤﹣6，
即或或
，
解得：x≥5或x≤﹣7，
故不等式的解集是{x|x≥5或x≤﹣7}；
（Ⅱ）f（x ）＝，
画出函数f（x）的图象，如图示：
S△ADE ＝×4×3＝6，
若f（x）的图象与直线y＝a围成图形的面积不小于14，
则S ABCD ＝（﹣2a+4）•（﹣a﹣2）≥14﹣6，
解得：a≤﹣2．。