北京市大兴区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析

北京市大兴区2019-2020学年中考二诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如果关于x的方程220
x x c
++=没有实数根，那么c在2、1、0、3-中取值是（）
A．2；B．1；C．0；D．3-．
2．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数
2
y
x
=的图象在第一象限相交于点A，与x 轴相交于点B，
点C在y轴上，若AC＝BC，则点C的坐标为（）
A．（0，1）B．（0，2）C．
5
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．（0，3）
3．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（）
A．2 B．2（x﹣1）C．（x﹣1）2D．2（x﹣2）
4．若关于x的不等式组
25
5
3
3
2
x
x
x
x a
+
⎧
>-
⎪⎪
⎨
+
⎪<+
⎪⎩
只有5个整数解，则a的取值范围( )
A．
11
6
2
a
-<-
„B．
11
6a
2
-<<-C．
11
6
2
a
-<-
„D．
11
6
2
a
--
剟
5．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）
A．80 B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重D．该校初三学生的体重
6．若关于x的分式方程21
22
x a
x
-
=
-
的解为非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥1B．a＞1 C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4
7．下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）
A．6折B．7折
C ．8折
D ．9折
9．如图，直线y=3x+6与x ，y 轴分别交于点A ，B ，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰△OBC ，将点C 向左平移5个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点C 的坐标为（ ）
A ．（3，3）
B ．（4，3）
C ．（﹣1，3）
D ．（3，4）
10．不等式23x +…的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A ．()2y x 2=-
B ．()2y x 26=-+
C ．2y x 6=+
D ．2y x =
12．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为( )
A ．2πcm
B ．4πcm
C ．6πcm
D ．8πcm
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：________．
14．正八边形的中心角为______度．
15．化简：=_____．
16．已知关于x 的一元二次方程kx 2+3x ﹣4k+6=0有两个相等的实数根，则该实数根是_____． 17．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF=
13
CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，BE=12，则AB 的长为_____．
18．2017年7月27日上映的国产电影《战狼2》，风靡全国．剧中“犯我中华者，虽远必诛”鼓舞人心，彰显了祖国的强大实力与影响力，累计票房56.8亿元．将56.8亿元用科学记数法表示为_____元．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）先化简，再求值：2221()4244
a a a a a a -÷--++，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解． 20．（6分）武汉市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷词查的结果分为“非常了解“、“比较了解”、“只听说过”,“不了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 只听说过 不了解
频数 40
120 36 4 频率 0.2 m 0.18 0.02
(1)本次问卷调查取样的样本容量为 ，表中的m 值为 ；
(2)在扇形图中完善数据,写出等级及其百分比；根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数；
(3)若该校有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少?
21．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
22．（8分）如图，点是线段的中点，，．求证：．
23．（8分）已知x1﹣1x﹣1＝1．求代数式（x﹣1）1+x（x﹣4）+（x﹣1）（x+1）的值．
24．（10分）先化简，再求值：
2
2
122
()
121
x x x x
x x x x
---
-÷
+++
，其中x满足x2－2x－2=0.
25．（10分）已知如图，直线y=﹣3x+43与x轴相交于点A，与直线y=
3
3
x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．直接写出：S与a之间的函数关系式
（3）若点M在直线OP上，在平面内是否存在一点Q,使以A，P,M，Q为顶点的四边形为矩形且满足矩形两边AP:PM之比为1:3若存在直接写出Q点坐标。

若不存在请说明理由。

26．（12分）丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
②A、B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89 ③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数中位数方差
A班80.6 m 96.9
B班80.8 n 153.3
根据以上信息，回答下列问题：补全数学成绩频数分布直方图；写出表中m、n的值；请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．求证：△ADE∽△MAB；求DE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．
详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、
0、﹣3中取值是1．故选A．
点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．2．B
【解析】
【分析】
根据方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即可解决问题．
【详解】
由
1
{2
y x
y
x
=-
=
，解得
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴A（2，1），B（1，0），
设C（0，m），
∵BC=AC，
∴AC2=BC2，
即4+（m-1）2=1+m2，
∴m=2，
故答案为（0，2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组等知识，解题的关键是会利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题．
3．D
【解析】
【分析】
原式分解因式，判断即可．
【详解】
原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。

故选：D．
【点睛】
考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可．
【详解】
255332
x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20
解②得x ＞3-2a ，
∵不等式组只有5个整数解，
∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，
∴14≤3-2a ＜15，
1162
a ∴-<-
… 故选：A
【点睛】 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】
样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选C ．
【点睛】
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．C
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为
1求出a 的范围即可．
解：去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，
解得：x=
223
a -， 由题意得：223a -≥1且223a -≠2， 解得：a≥1且a≠4，
故选C ．
点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．
7．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．B
【解析】
【详解】
设可打x 折，则有1200×
10
x -800≥800×5%， 解得x≥1．
即最多打1折．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
9．B
【解析】
令x=0，y=6，∴B （0，6），
∵等腰△OBC ，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，
∴设C （a ，3），则C '（a －5，3），
∴3=3（a －5）+6，解得a=4，
∴C （4，3）.
故选B.
点睛：掌握等腰三角形的性质、函数图像的平移.
10．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质：先移项，再合并即可解得不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】
解：解：移项得，
x≤3-2，
合并得，
x≤1；
在数轴上表示应包括1和它左边的部分，如下：
；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解集的求法及在数轴上表示不等式的解集，注意数轴上包括的端点实心点表示．
11．D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线()2y x 13=-+向左平移1个单位所得直线解析式为：()2
2y x 113y x 3=-++⇒=+； 再向下平移3个单位为：22y x 33y x =+-⇒=．故选D ．
12．B
【解析】
【分析】
首先连接OC ，AO ，由切线的性质，可得OC ⊥AB ，根据已知条件可得：OA=2OC ，进而求出∠AOC 的度数，则圆心角∠AOB 可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB 的长．
【详解】
解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，
∵OA=6，OC=3，
∴OA=2OC，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴劣弧AB的长=1206
180
π
⨯⨯
=4π，
故选B．
【点睛】
本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．这一天的最高气温约是26°
【解析】
【分析】
根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【详解】
解：根据图象可得这一天的最高气温约是26°，
故答案为：这一天的最高气温约是26°．
【点睛】
本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
14．45°
【解析】
【分析】
运用正n边形的中心角的计算公式360
n
︒
计算即可.
【详解】
解：由正n 边形的中心角的计算公式可得其中心角为360458
︒=︒， 故答案为45°
. 【点睛】
本题考查了正n 边形中心角的计算.
15．－6
【解析】
【分析】 根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可：
【详解】
,
故答案为-6
16．﹣1
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△=0，即可得出关于k 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出k 值，将其代入原方程中解之即可得出原方程的解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程kx 1+3x-4k+6=0有两个相等的实数根，
∴()20{=3464=0
k k k ≠∆-⨯-， 解得：k=34
， ∴原方程为x 1+4x+4=0，即（x+1）1=0，
解得：x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查根的判别式、一元二次方程的定义以及配方法解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
17．1．
【解析】
【分析】
根据三角形的性质求解即可。

【详解】
解：在Rt △ABC 中, D 为AB 的中点, 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得:AD=BD=CD, 因为D 为AB 的中点, BE//DC, 所以DF 是△ABE 的中位线,BE=2DF=12
所以DF=
12
BE =6, 设CD=x ，由CF=13CD ，则DF=23CD =6, 可得CD=9,故AD=BD=CD=9，
故AB=1,
故答案：1.
.
【点睛】
本题主要考查三角形基本概念，综合运用三角形的知识可得答案。

18．5.68×109
【解析】
试题解析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
56.8亿95.6810.=⨯
故答案为95.6810.⨯
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．13
. 【解析】
【分析】
先计算括号里面的，再利用除法化简原式，
【详解】
22214244
a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ ， =()
()()()222222a a a a a a -++⋅+- ， =
2222a a a a a
--+⋅- ， =222a a a a
-+⋅-， =2a a +， 由a 2+a ﹣6=0，得a=﹣3或a=2，
∵a﹣2≠0，∴a≠2，
∴a=﹣3，
当a=﹣3时，原式=
321
33 -+
=
-
．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算.
20．(1)200；0.6(2)非常了解20%，比较了解60%；72°；(3) 900人
【解析】
【分析】
（1）根据非常了解的频数与频率即可求出本次问卷调查取样的样本容量，用1减去各等级的频率即可得到m值；（2）根据非常了解的频率、比较了解的频率即可求出其百分比，与非常了解的圆心角度数；（3）用全校人数乘以非常了解的频率即可.
【详解】
解：(1) 本次问卷调查取样的样本容量为40÷0.2=200；m=1-0.2-0.18-0.02=0.6
(2)非常了解20%，比较了解60%；
非常了解的圆心角度数：360°×20%=72°
(3)1500×60%=900(人)
答：“比较了解”垃圾分类知识的人数约为900人.
【点睛】
此题主要考查扇形统计图的应用，解题的关键是根据频数与频率求出调查样本的容量.
21．两人之中至少有一人直行的概率为5
9
．
【解析】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为5
9
．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
22．详见解析
【解析】
【分析】
利用证明即可解决问题．
【详解】
证明：∵是线段的中点
∴
∵
∴
在和中，
∴≌
∴
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．23．2.
【解析】
【分析】
将原式化简整理,整体代入即可解题.
【详解】
解：（x ﹣1）1+x （x ﹣4）+（x ﹣1）（x+1）
＝x 1﹣1x+1+x 1﹣4x+x 1﹣4
＝3x 1﹣2x ﹣3，
∵x 1﹣1x ﹣1＝1
∴原式＝3x 1﹣2x ﹣3＝3（x 1﹣1x ﹣1）＝3×1＝2．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值,属于简单题,整体代入是解题关键.
24．12
【解析】
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x 2-2x-2=0得x 2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．
详解：原式=()()()()
2222112[]111x x x x x x x x x x ----÷+++ =()()()
2121•121x x x x x x +-+- =21x x
+， ∵x 2-2x-2=0，
∴x 2=2x+2=2（x+1），
则原式=()11212
x x +=+． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
25．（1
）P ；
(2)22a (03)64)a S a <≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩；（3
）12(1,Q Q
【解析】
【分析】
（1）联立两直线解析式，求出交点P 坐标即可；
（2）由F 坐标确定出OF 的长，得到E 的横坐标为a ，代入直线OP 解析式表示出E 纵坐标，即为EF 的长，分两种情况考虑：当03a <„时，矩形EBOF 与三角形OPA 重叠部分为直角三角形OEF ，表示出三角形OEF 面积S 与a 的函数关系式；当34a <„时，重合部分为直角梯形面积，求出S 与a 函数关系
式.
（3）根据（1）所求，先求得A 点坐标,再确定AP 和PM 的长度分别是2和
P 怎么平移会得到M ，按同样的方法平移A 即可得到Q.
【详解】
解：（1
）联立得：y y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
，解得：3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴P
的坐标为(P ；
（2）分两种情况考虑：
当03a <„时，由F 坐标为（a ，0），得到OF=a ，
把E 横坐标为a
，代入3
y x =
得：3y a =
即3EF a =
此时21(03)26
S OF EF a =⋅=<„ 当34a <„时，重合的面积就是梯形面积，
F 点的横坐标为a ，所以E
点纵坐标为+
M 点横坐标为：-3a+12，
∴21((312)22
S a a a =+-+-+=-+-
所以22a (03)64)a S a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩； （3
）令y =+中的y=0，解得：x=4，则A 的坐标为（4,0）
则
2= ,则
又∵
=
∴点P 向左平移3
M 1
点P 向右平移3
M 2
∴A 向左平移3
Q 1
(1,-A 向右平移3
Q 1
(7,所以，存在Q
点，且坐标是(
(121,Q Q ，
【点睛】
本题考查一次函数综合题、勾股定理以及逆定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（1）见解析；（2）m=81，n=85；（3）略.
【解析】
【分析】
（1）先求出B班人数，根据两班人数相同可求出A班70≤x<80组的人数，补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）可以从中位数和方差的角度分析，合理即可.
【详解】
解：（1）A、B两班学生人数=5+2+3+22+8=40人，
A班70≤x<80组的人数=40-1-7-13-9=10人，
A、B两班学生数学成绩频数分布直方图如下:
（2）根据中位数的定义可得：m=8082
2
+
=81，n=
8585
2
+
=85；
（3）从中位数的角度看，B班学生的数学成绩比A班学生的数学成绩好；
从方差的角度看，A班学生的数学成绩比B班学生的数学成绩稳定.
【点睛】
本题考查了条形统计图、求中位数以及利用平均数、中位数、方差作决策等知识，能够从统计图中获取有用信息是解题关键.
27．（1）证明见解析；（2）24 5
.
【解析】
试题分析：利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB. 试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△DAE∽△AMB.
（2）由（1）知△DAE∽△AMB，∴DE：AD=AB：AM，
∵M是边BC的中点，BC=6，
∴BM=3，
又∵AB=4，∠B=90°，
∴AM=5，
∴DE：6=4：5，
∴DE=24
5
．。