2019届高三数学(沪教版·必修5)配套练习：2.3解三角形的实际应用举例 第2课时

第二章 §3 第2课时
一、选择题
1．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )
A ．150
7min
B ．15
7h
C ．21.5min
D ．2.15h
[答案] A
[解析] 如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知：
PQ 2＝BP 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos120°，
即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )×6x ×(－1
2)＝28x 2－20x ＋100.
当x ＝－b 2a ＝514时，s 2最小，此时x ＝514h ＝150
7
min.
2．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于( )
A ．a sin αsin β
sin (β－α)
B ．a sin αsin βcos (β－α)
C ．a sin αcos βsin (β－α)
D ．a cos αcos βcos (β－α)
[答案] A
[解析] 由tan α＝AB a ＋CB ，tan β＝AB CB ，联立解得AB ＝a sin αsin β
sin (β－α)
.
3．一质点受到平面上的三个力F 1→、F 2→、F 3→(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1→
、F 2→成60°角，且F 1→、F 2→的大小分别为2和4，则F 3→的大小为( )
A ．6
B ．2
C ．25
D ．27
[答案] D
[解析] 由题意，得F 1→＋F 2→＋F 3→
＝0， ∴F 1→＋F 2→＝－F 3→， ∴(F 1→＋F 2→)2＝F 3→2， ∴F 1→2＋F 2→2＋2F 1→·F 2→＝F 3→2， ∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝F 3→2， ∴F 3→2＝28，∴|F 3→
|＝27.故选D ．
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A ．5海里
B ．53海里
C ．10海里
D ．103海里
[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，
∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是5
0.5
＝10(海里/小时)．
5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A ．103米
B ．1003米
C ．203米
D ．30米
[答案] D
[解析] 设炮台顶部为A ，两条船分别为B ，C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得BD ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos30°，解得BC ＝30.
6.如图，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的
俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A ．20(1＋
3
3
)m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m
[答案] B
[解析] 由仰角与俯角的意义可知，
∠DAE ＝60°，∠EAC ＝45°，又EC ＝20m ， ∴BC ＝AE ＝20m ，
在△AED 中，DE ＝AE tan60°＝203m. ∴塔吊的高度是20(1＋3)m. 二、填空题
7．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.
[答案] 210
[解析] 由题意知∠ACB ＝120°， 在△ACB 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×(－1
2)＝44100.
∴AB ＝210，DE ＝210.
8．在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．
[答案] 30°
[解析] 水流速度与船速的合速度为v ，方向指向河岸，如图
由题意可知sin α＝v 水v 船＝2040＝1
2
∴α＝30°. 三、解答题
9．如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．
[解析] 在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.
∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．
10．海岛O 上有一座海拔1km 的山，山顶设有一观察站A ，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C 处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角为60°.
(1)求该船的速度；
(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E 离海岛O 的距离是多少千米？
[解析] (1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB ＝OA cot60°＝
3
3
，OC ＝OA cot30°＝3，
在△BOC 中，由余弦定理得 BC ＝
OB 2＋OC 2－2OB ·OC cos ∠BOC ＝
39
3
.
∵由C 到B 用的时间为1060＝1
6(小时)，
∴该船的速度为393
16＝239(千米/小时)．
(2)在△OBC 中，由余弦定理，得 cos ∠OBC ＝BC 2＋OB 2－OC 22BC ·OB ＝513
26，
∴sin ∠OBC ＝
1－cos 2∠OBC ＝33926
.
∴sin ∠OEB ＝sin(∠OBE ＋∠EOB )
＝sin ∠OBE ·cos ∠EOB ＋cos ∠OBE ·sin ∠EOB ＝13
13
. 在△BEO 中，由正弦定理得 OE ＝OB sin ∠OBE sin ∠OEB ＝32，
BE ＝OB sin ∠BOE sin ∠OEB ＝39
6.
∴从B 到E 所需时间为： 396÷239＝1
12
(小时)＝5(分钟)． 故船速为229千米/小时，该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛
O 的距离是1.5千米.
一、选择题
1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2
时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )
A ．1762海里/小时
B ．346海里/小时
C ．1722海里/小时
D ．342海里/小时
[答案] A
[解析] 由题意知PM ＝68，∠MPN ＝120°，∠N ＝45°， 由正弦定理知PM sin45°＝MN sin120°⇒MN ＝68×32×2＝346，
∴速度为3464＝176
2
(海里/小时)．
2．如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC ＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sin θ≈θ，
试估算该气球的高BC 的值约为( )
A ．72m
B ．86m
C ．102m
D ．118m
[答案] B
[解析] 过C 作CD ⊥AD 于D ，在Rt
△ADC 中，先求AC 的长，
∵sin β＝CD
AC ，
∴AC ＝
CD sin β＝3sin
π180≈3π180
＝180×3
π
， 再在Rt △ABC 中求BC ， BC ＝AC sin30°＝90×3
π
≈86(m)．
3．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )
A ．2 500(3－1)m
B ．5 0002m
C ．4 000m
D ．4 0002m
[答案] A
[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，
∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.
由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ，
∴BD ＝10 000·sin30°
sin45°
·cos75°＝2 500(3－1)(m)．
4．渡轮以15km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )
A ．14.5km/h
B ．15.6km/h
C ．13.5km/h
D ．11.3km/h
[答案] C
[解析] 由物理学知识，
画出示意图，如图．AB ＝15，AD ＝4，
∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ×CD ×cos D
＝
16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．
故选C ． 二、填空题
5．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________米．
[答案] 50(6－2)
[解析] 如图所示，
在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°， AB ＝100，∴AC ＝50 2. 又在△ACD 中，∠ADC ＝30°， ∴∠DAB ＝45°－30°＝15°. sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－2
4
. 在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝AB
sin ∠ADB ，
∴BD ＝100×sin15°
sin30°＝100×
6－2
41
2
＝50(6－2)(米)．
6．在灯塔上面相距50米的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．
[答案] 25(3＋1)(
米)
[解析] 由题意，作出图形如图所示，
设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，
又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°
，
∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×
12
6－2
4＝25(6＋2)(米)．
∴出事渔船离灯塔的距离
CD ＝2
2AC ＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(米)．
三、解答题
7．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD ．
[解析] 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD ．因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．
在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由
AB sin15°＝AD sin45°
， 得AD ＝AB ·sin45°
sin15°＝800×
2
26－2
4＝800(3＋1)(m)．
∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD 为2 186 m.
8．如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A
岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile/h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
[解析] 行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处．当9t <21，即t <7
3
时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠
CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－1
2)
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
∴当t＝2时，CD取得最小值189＝321.
当t＝7
3时，C与B重合，此时CD＝6×7
3
＝14>321.
当t>7
3
时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t ＋441＝63(t－2)2＋189>189.
综上可知，t＝2时，CD取最小值321，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。