2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测专题第58讲随机事件的概率与古典概型(讲)(含答案)

第58讲 随机事件的概率与古典概型
思维导图 知识梳理1．事件的相关概念 2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A
n
为事件A 出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．
3．事件的关系与运算
(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.
(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．
(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．
5．古典概型 (1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：
P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
题型归纳题型1 随机事件的关系
【例11】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A ．是对立事件
B ．是不可能事件
C ．是互斥但不对立事件
D ．不是互斥事件
【解析】选C 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.
【例12】从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③
D ．①③
【解析】选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.
【跟踪训练11】在5张 卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是7
10
的事件是( )
A ．至多有一张移动卡
B ．恰有一张移动卡
C ．都不是移动卡
D ．至少有一张移动卡
【解析】选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
【跟踪训练12】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________．
【解析】设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝
∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．【答案】A与B，A与C，B与C，B与D B与D
【名师指导】
判断互斥、对立事件的2种方法
题型2 随机事件的频率与概率
【例21】(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
(1)
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
[解](1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝
40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40
100×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，
则P(C)＝1
25＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：
P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化． 理由如下：
事件E 是随机事件，P (E )比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化． 【跟踪训练21】(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
【解析】x ＝
10×0.97＋20×0.98＋10×
10＋20＋10
＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 【答案】
【跟踪训练22】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y ＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以Y 的所有可能值为900,300，－100，
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为
36＋25＋7＋4
90＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 【名师指导】
题型3 互斥事件、对立事件概率公式的应用
【例31】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：
(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)易知P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝1
20
.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .
因为A ，B ，C 两两互斥，
所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝
1＋10＋501 000＝61
1 000
.
故1张奖券的中奖概率为
61
1 000
. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝989
1 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989
1 000
.
【跟踪训练31】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
【解】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1××30＋2××20＋3×10100
＝1.9(分钟)．
(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝1
10.则P (A )＝1－P (A 1)－
P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.
【跟踪训练32】A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
【解】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷
15＝40人．
(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能的．
当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；
当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝3
8
.
【名师指导】
求互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反) 题型4 古典概型
【例41】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.5
16 B.1132 C.2132
D.1116
(2)(2019·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )
A.45
B.1925
C.2350
D.41100
[解析] (1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 36×C 3
3＝20种．故所求概率P ＝2064＝516
，故选A. (2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A ，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B ，则由题意得P (A )＝4C 25＝25，P (B )＝C 25－4
C 25C 25＝350，则每位顾
客摸球中奖的概率为P (A )＋P (B )＝25＋350＝23
50
，故选C.
[答案] (1)A (2)C
【跟踪训练41】(2019·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )
A.1
6
B.14
C.13
D.12
【解析】选B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为1
4
，选B.
【跟踪训练42】(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )
A.15
B.25
C.35
D.710
【解析】选D 从5名干部中随机选取2人有C 25＝10(种)选法，其中只选中A 没选中B 有C 13＝3(种)选
法，只选中B 没选中A 有C 13＝3(种)选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝7
10，故选D.
【跟踪训练43】(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )
A.3
5 B.45 C.720
D.1320
【解析】选D 依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)不同的取法，
①当取得三个球颜色相同，则有C 33＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有C 13C 12C 11＝6种取
法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－1＋620＝1320.
【名师指导】。