江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.
【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】
根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集，知A B ={}2,3,5.
故答案为：{}2,3,5
【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足12i
i z
+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】2122
2i i z i i i
+-=
==-，所以复数z 的实部为2. 故答案为：2
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
3.A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 【答案】100 【解析】 【分析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.
【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，30240
160240400
x
=⨯
++
，解得100
x=.
故答案为：100
【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.
4.根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】
满足条件执行34
y x
←-，否则执行2
2x
y-
←.
【详解】本题实质是求分段函数
2
34,2
2,2
x
x x
y
x
-
->
⎧
=⎨
≤
⎩
在2
x=处的函数值，当2
x=时，1
y=. 故答案为：1
【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.
5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】
1
4
【解析】
【分析】
采用列举法计算古典概型的概率.
【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为
1
4
.
故答案：
1
4
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
6.已知数列{}n a 满足11a =
，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 【答案】
116
【解析】 【分析】
易得1113n n a a +-=，所以1{}n
a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以
1113n n a a +-=，所以数列1
{}n
a 是以 1
1
1a 为首项，3为公差的等差数列，故
61
1(61)316a =+-⨯=，所以6a =116
. 故答案为：
116
【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 7.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，
则()0f 的值为____________.
【答案】3-【解析】 【分析】
由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将5(,2)12
π
代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f .
【详解】由图可得2A =，353()41234T πππ
=--=，所以2T ππω
==，即2ω=， 又5(
)212
f π=，即52sin(2)212πϕ⨯+=，52,62k k Z ππϕπ+=+∈，
又||2ϕπ<
，故3π
ϕ=-，所以()sin()f x x π=-223
，(0)2sin()3f π=-=
故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x
轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.
【解析】 【分析】 利用221
||||2
AOB S F O AB c ∆=
⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【详解】设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,
)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bc
c c a
⋅=，
所以a b =，离心率e ==
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题.
9.已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.
【答案】3+ 【解析】 【分析】
m n mn +=⇒
11
1m n +=，所以有2m n +=(2)m n +112()3m n m n n m +=++，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由已知，
11
1m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()3322m n m n n m
+=++≥+， 当且仅当2m n m n mn ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，即22
21,2m n +=+=时，等号成立.
故答案为：322+
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.
10.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 【答案】()(
)
1,17,-⋃+∞
【解析】 【分析】
224,4
()4,4
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，(3)3f =，分类讨论即可.
【详解】由已知，224,4
()44,4
x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，
若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2
(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧
⎨-+++>⎩
解得7a >
或11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为()()1,17,-⋃+∞.
故答案为：()(
)
1,17,-⋃
+∞
【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.
11.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为____________.
【答案】32 【解析】 【分析】
由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.
【详解】设圆锥的底面半径为r ，体积为V ，半球的体积为1V ，水（小圆锥）的体积为2V ，如图
则,1,2,OA r OC OB BE h ====，所以2rh ED =，2241r r ⨯=+⨯，解得2
43
r =， 所以218239V r ππ=⨯=，123V π=，23
211()329
rh V h h ππ=⨯⨯=，
由12V V V =+，得3
821939
h πππ=+，解得32h =.
故答案为：32
【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.
12.如图,在梯形ABCD 中，AD ∥24BC AB BC AD ===，，，E F ，分别是BC CD ，的中点，若1AE DE ⋅=-，则AF CD ⋅的值为___________.
【答案】2
【解析】 【分析】
建系，设设A θ∠=，由1AE DE ⋅=-可得3
πθ=，进一步得到C F 、的坐标，再利用数量积
的坐标运算即可得到答案.
【详解】以A 为坐标原点，AD 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A θ∠=，则
(4,0),(2cos ,2sin ),(12cos ,2sin ),(22cos ,2sin )D B E C θθθθθθ++，
所以AE =(12cos ,2sin )θθ+，DE =(2cos 3,2sin )θθ-，由1AE DE ⋅=-，
得2
(12cos )(2cos 3)4sin 1θθθ+-+=-，即1
cos 2
θ=
，又[0,]θπ∈，所以 3
πθ=
，故73(3,3),(,
)22C F ,73
(1,3),(,)2CD AF =-=, 所以73322AF CD =
-⋅⨯=.
故答案为：2
【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
13.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x a
f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩
，
若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1
,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.
【详解】由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，
所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2
()66g x x x =+，易知()g x 在
(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，
(1)50g a =+>.
若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，
则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩
，此时a ∈∅；
若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；
若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0
f f a ->⎧⎨≤⎩，解得1
02a -≤≤；
若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为1
02
a -
≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
14.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若22
40AP AQ +=，
则弦PQ 的长度的最大值为___________.
【答案】【解析】 【分析】
取PQ 的中点为M ，由2
2
40AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，
当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M
为PQ 的中点，()
2222
2(2)AP AQ AM PQ +=+，即
222222AP AQ AM MQ +=+，
即(
)2
22
4022AM OQ OM
=+-，2
2204AM
OM =+-，2216AM OM -=.
设(),M x y ，则(
)2
2
2
2
(2)(2)16x y x y
-+--+=，得20x y ++=.
所以min 2
22
OM =
=，max 22PQ =.
故答案为：22
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.
（1）求证：PB BC ⊥；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；
（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到
GH ∥PC ，从而获得证明
【详解】证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥. （2）因
平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC .
因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，
所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.
16.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.
（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值.
【答案】（1）
3
π
；（2）
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理可得222a b c ab +-=，再用余弦定理即可得到角C ；
（2）n p ⋅6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【详解】（1）因为m n ⊥，所以(sin sin )()(sin sin )0a A B b c B C -+-+=. 在ABC ∆中，由正弦定理得
sin sin sin a b c
A B C
==， 所以()()()0a a b b c b c -+-+=，即222a b c ab +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为(0,)C π∈，所以3
C π
=.
（2）由（1）得3
C π
=
，在ABC ∆中，A B C π++=，
所以1(sin sin )2(sin sin )n p A B B C ⋅=⨯-++ 2
sin sin 3A A π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
1
sin sin 2
A A A =++
3
sin 2A A =
6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭因为20,3
A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭，所以5,666
A πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，sin 6y A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1，
所以n p ⋅的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.
17.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，
P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合）
，且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对
称点为Q，直线2
,
AP QF交于点M.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线2
PF与椭圆交于另一点N，且
22
4
AF M AF N
S S
=
△△
，求点P的坐标.
【答案】（1）
22
1
43
x y
+=；（2）
135
,
24
⎛
⎝⎭
或
135
,
24
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）根据12
PF F
△的周长为22
a c
+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；
（2）设(,)
P m n，则(,)
Q m n
--，求出直线AM方程，若2
QF斜率不存在，求出,,
M P N坐标，直接验证是否满足题意，若2
QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M
坐标，根据
22
4
AF M AF N
S S
=
△△
和2
,,
P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
1
2
，12
PF F
△的周长为6，
设椭圆的焦距为2c，则
222
226,
1
,
2
,
a c
c
a
b c a
+=
⎧
⎪⎪
=
⎨
⎪
+=
⎪⎩
解得2
a=，1
c=，3
b=
所以椭圆方程为
22
1
43
x y
+=.
（2）设(,)
P m n，则
22
1
43
m n
+=，且(,)
Q m n
--，
所以AP的方程为(2)
2
n
y x
m
=+
+
①.
若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，
则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,
9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫
⎪⎝⎭.
2PF 的方程为3(1)4
y x =--，代入椭圆方程得
229
3(1)124
x x +-=，整理得276130x x --=，
1x =-或137x =
，13
9,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
. 222219
|227419|21||4
AF M
AF N
AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1
n
y x m -=
---， 即(1)1
n
y x m =
-+③. 联立①，③可解得34,
3,
x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.
因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y
所以2211|42
|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34
N n y =-
. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，
223(1,),(1,)4
N n F P m n F N x =-=--
所以()31(1)4N n n x m -=-
-，即734
N m x -=， 所以2
2
73344143
m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143
m n +=， 所以2
272839m m ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，解得12m =
，所以n =±
所以点P 的坐标为135,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或135,24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lcm 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，0,
2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
）.
（1）请用角θ表示清洁棒的长L ；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 【答案】（1）278,0,sin cos 2πθθθ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
；（2）1313cm . 【解析】 【分析】
（1）过A 作PC 的垂线，垂足为C ，易得27,sin AP θ=8
cos BP θ
=，进一步可得L ； （2）利用导数求278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫
=
+∈ ⎪⎝⎭
得最大值即可. 【详解】（1）如图，过A 作PC 的垂线，垂足为C ，在直角APC △中，APC θ∠=， 27AC cm =，所以27cm sin AP θ=
，同理8cm cos BP θ
=， 278,0,sin cos 2L πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
.
（2）设278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫
=
+∈ ⎪⎝⎭
， 则33'
2222
27cos 8sin 8sin 27cos ()sin cos sin cos L θθθθ
θθθθθ
-=-+=， 令()'
0L θ=，则3
27
tan 8θ=
，即3tan 2
θ=. 设00,2
πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，且03
tan 2θ=，则
当()00,θθ∈时，'
3tan ,()02
L θθ<<，所以()L θ单调递减； 当0,
2πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
3tan ,()02
L θθ>
>，所以()L θ单调递增， 所以当0θθ=时，()L θ取得极小值， 所以()min 0()L L θθ=. 因为03tan 2θ=
，所以003
sin cos 2
θθ=，又2200sin cos 1θθ+=， 所以2
04
cos 13θ=
，又00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
所以0cos 13θ=
0sin 13θ=
， 所以()000
278
1313()sin cos L cm θθθ=
+=， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm .
【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 19.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且
1122b a ==，232254,11b S a T =+=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；
（3）是否存在正整数m ，使得
1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有
满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；
（3）21*
121313
m m
m m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可.
【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，
所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325
q d ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩（舍去）.
所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，
213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯+
+-⨯⨯+-⨯⨯，
所以(
)2
1224333(21)23n n n M n --=+++
+--⨯⨯，
13(13)24(42)34(44)313
n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-
所以2(1)32n n M n =-⋅+.
（3）由（1）可得2
n S n =，31=-n n T ，
所以21
121313m m m
m m m S T m S T m +++-+=+-+.
因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21
*2
13,13
m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()
2(1)1(3)3m
L m L --=-，因为210,30m m ->，
所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有(
)
2
13
m
m -=，即
()
2
113m
m -=，令21
()3
m m f m -=.
则2221
1
(1)11223
(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.
由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113m
m -=无整数解. 当3L =时,有2
10m -=，即存在1m =使得21
2
13313m m
m m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1
m m m m
S T S T +++是数列{}n a 中的项.
【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
20.已知函数4()1,()1()x
a f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝
⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.
（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()
()
f x y
g x =
在区间[]
4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. 【答案】（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-. 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）2'
2
(4)340()
x
x a x a e
y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=
≥-在
[]4,5上恒成立，只需2
(4)340x
a x a -+++，注意
到[4,5]a ∉；
（3）()
2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()
2()44x
m x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40
(2)0
m a m a =->⎧⎨
=-<⎩且
()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()1
1131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.
【详解】（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'
244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，
所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-. （2）()(4)()x
f x x e y
g x a x -==-，2'2
(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.
因为函数()()
f x y
g x =
在区间[]
4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'
0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，
所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即4
92a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩
，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞，
故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.
（3）()2'
244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x -+--+-=+==
. 因
函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，
所以方程()'
0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()
2440x
x x e a -+-=. 令()
2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2x
m x x x e =-，由()0m x '
>，得2x >，
所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，
所以(0)40(2)0
m a m a =->⎧⎨
=-<⎩，解得04a <<且()1
2
111(0,2),44x x x x e a ∈-+=.
又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈， 且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '
>，单调递增，
当()12,x x x ∈时，()()'
0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，
此时()()()()()1
11
121111
11
111
1
444431x
x x
x x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-=
=
=--
令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<， 所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-. 因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-. 若124m -<<-，取114
m
x =-
-，则14 4m x =--， 所以()()1111343x
h x m x e x -=-++.
令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-. 当(0,1)x ∈时，()''
0H
x <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.
所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，
所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114
m
x =-
-使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.
【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
选做题:请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
选修4-2：矩阵与变换
21.已知矩阵1(,R)4a M a b b -⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a ⎡==⎤
⎢⎥⎣⎦
，求a b ，的值.
【答案】4
1a b =⎧⎨=-⎩
【解析】 【分析】
由M 不存在逆矩阵，可得4ab =-，再利用特征多项式求出特征值3，0，3M αα=，利用矩阵乘法运算即可.
【详解】因为M 不存在逆矩阵，1det()04
a
M b -=
=，所以4ab =-. 矩阵M 的特征多项式为221
()3434
a
f ab b λλλλλλλ+-=
=---=---， 令()0f λ=，则3λ=或0λ=， 所以3M αα=，即113413a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以1343a b -+=⎧⎨
+=⎩，所以4
1a b =⎧⎨=-⎩
【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同
的长度单位，建立极坐标系，已知曲线1C :sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪
⎝⎭2cos 2:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），求曲线12C C ，交点的直角坐标. 【答案】()1,1-- 【解析】 【分析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.
【详解】因为sin 4πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.
由cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ⎧=-⎨=⎩
，
所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.
由220
12x y x y
++=⎧⎨=-⎩，得
2230y y --=， 所以123
1,2
y y =-=（舍）， 所以11x =-，
所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--.
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 选修4-5：不等式选讲 23.已知凸n 边形123
n A A A A 的面积为1，边长1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-，1n n A A a =，其内
部一点P 到边1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-的距离分别为123,,,
,n d d d d .求证：
212
1212
222()n
n n n
a a a n a a a d d d +++
≥.
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由
已
知
，
易
得
11222
n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，所以
12
1212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12112212n n n n a a a
a d a d a d d d d ⎛⎫
=+++++
+
⎪⎝⎭
利用柯西不等式和基本不等式即可证明.
【详解】因为凸n 边形的面积为1，所以11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=， 所以
12
121212
2222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ ()12112212
n n n n a a a
a d a d a d d d d ⎛⎫
=++
+++
+ ⎪⎝⎭
2
11
(n n
a a d a d d +（由柯西不等式得）
()2
12n a a a =++⋅⋅⋅+
212
()n n n a a a （由均值不等式得）
【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.
必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
24.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形且
AD ∥22BC AB BC AB BC AD ⊥===，，，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面
ABCD .
（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小； （2）若(01)CQ CP λλ=，且直线BQ 与平面PDC 所成角为
3
π
，求λ的值. 【答案】（1）4
π；（233
±.
【解析】 【分析】
（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，易得OP OE OB ，，两两垂直，以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，只需求出平面PDC 的法向量为n ，再利用||
cos |cos |||||
n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=
计算即可；
（2）求出BQ ，利用|cos ,|sin 3
n BQ π<>=
计算即可.
【详解】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，连结PO EO ，. 因为AD ∥BC ，所以OE ∥BC . 因为AB BC ⊥，所以AB OE ⊥. 因为侧面PAB 为等边三角形，
所以AB OP ⊥
又因为平面PAB ⊥平面
ABCD ，
平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ， 所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP OE OB ，，两两垂直.
以O 为空间坐标系的原点，分别以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 2 2AB BC AD ===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)O A B C D P --，
()1,2,0DC =，(2,1,3)PC =-.
设平面PDC 的法向量为(, , )n x y z =，则00n DC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即20
230x y x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩.
取1y =，则2,3x z =-=-，所以(2,1,3)n =--.
又(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为
θ，则
222||2
cos |cos |2||||(2)1(3)
n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=
==-++-， 所以平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为
4
π
.
（2）由（1）得，平面PDC 的法向量为(2,1,3),(2,1,3)n PC =--=-， 所以成(22,3)(01)BQ BC CP λλλλλ=+=-+-.
又直线BQ 与平面PDC 所成角为
3
π， 所以|cos ,|sin 3
n BQ π<>=
，即
||3
||||n BQ n BQ ⋅=，
即
222222
3(2)1(3)(22)()(3)λλλ=
-++-⨯-++-+， 化简得26610λλ-+=，所以33
λ±=
，符合题意. 【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
25.如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 【答案】（1）6种；（2）11
64
；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，
I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率；
（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.
【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C =条.
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线： ①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯
的
概率11313
124432
p =⨯⨯⨯=；
②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率213113
2444128p =⨯⨯⨯=；
③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111
124432
p =⨯⨯⨯=；
④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率411313
2444128
p =⨯⨯⨯=.
所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率 1234331311321283212864
p p p p p =+++=
+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则
①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()134E X =；
②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()239344E X =⨯=；
③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→； 3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫
→→→→= ⎪⎝⎭
，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==
综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→.
【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.。