2016年中考知识梳理真题汇编—整式及运算(专题3)

1.单项式：由数与字母的组成的代数式叫做单项式（单独一个数或也是单项式）.单项式中的叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母
的叫做这个单项式的次数.
2.多项式：几个单项式的叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的,其中次数最高的项的叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做.
3.整式：与统称整式.
4.同类项：在一个多项式中，所含相同并且相同字母的也分别相等的项叫做同类项.合并同类项的法则是相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数
5.幂的运算性质: a m·a n=； (a m)n=； a m÷a n＝__ ___； (ab)n=.
6.乘法公式：
(1) (x+p)(x+q)=；(2)（a＋b）(a－b)＝；
(3) (a＋b)2＝；(4)(a－b)2＝.
7.整式的除法
(1)单项式除以单项式的法则：把、分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
(2)多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以，再把所得的商．
1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与－y2x也是同类项；几个常数项都是同类项，如0，－1，5，
等都是同类项．
2.幂的运算性质是整式运算的基础，幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄
清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．
3.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b 所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，
(a-b)2=a2-b2.
4.注意整体思想在整式运算中的应用.
整体思想就是在考虑问题时，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题的解答简捷、明快，往往能化繁为简，由难变易，获得解决问题的捷径，从而促进问题的解决．
例如化简求值：
当a＝1，b＝－2时，求代数式的值．
分析：因为a＝1，b＝－2，所以a＋b＝－1，a－b＝3．把（a－b），（a＋b）分别看做一个整体，直接合并同类项，而不是去括号再合并同类项．
解：原式＝
．
当a＝l，b＝－2时，原式.
5.方法技巧：
1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.
2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷.
1.（2015年浙江湖州3分）当x=1时，代数式的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
试题分析：将x=1代入代数式4-3x求出即可：
当x=1时，4-3x=4-3×1=1.
故选A.
考点：求代数式的值.
2.（2015年浙江金华3分）计算结果正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则计算作出判断：
.
故选B.
考点：幂的乘方
3.（2015年浙江宁波4分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据幂的乘方和积的乘方，合并同类项，同底幂乘法运算法则逐一计算作出判断：
A.，选项错误；
B.，选项错误；
C.，选项错误；
D.，选项正确.
故选D．
考点：幂的乘方和积的乘方；合并同类项；同底幂乘法.
4.（2015年浙江衢州3分）下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据合并同类项，幂的乘方，单项式的除法，同底幂乘法运算法则逐一计算作出判断：
A.a3与a2是不同类项，不能合并，故本选项运算错误；
B.根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得：(x2)3=x2×3=x6≠x5，故本选项运算错误；
C.根据“把单项式的系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式”的单项式除法法则得
2a6÷a3=(2÷1)a6-2=2a4≠2a2，故本选项运算错误
D.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：x3· x2=x2+3= x5，故本选项正确.故选D.
考点：合并同类项；幂的乘方；单项式的除法；同底幂乘法.
5.（2015年浙江绍兴4分）下面是一位同学做的四道题：①；
②；③；④，其中做对的一道题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④21
【答案】D
【解析】
试题分析：根据合并同类项，幂的乘方运算法则，同底幂乘法和除法逐一计算作出判断：
A.3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每
一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得，故本选项错误；
C.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的同底幂除法法则得：
，故本选项错误；
D.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的同底幂乘法法则得：
，故本选项正确.故选D.
考点：合并同类项；幂的乘方和积的乘方；同底幂乘法和除法.
6.（2015年浙江台州4分）单项式2a的系数是（）
A．2 B．2a C．1 D．1
【答案】A
【解析】
试题分析：根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数”的定义知，单项式2a的系数是2，故选A.
考点：单项式的系数.
7.（2015年广东梅州3分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据合并同类项，同底幂的乘法，幂的乘方，同底幂的除法运算法则逐一计算作出判断：
A.x与x2不是同类项，不能合并，故本选项运算错误；
B.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：x3· x2=x2+3= x5≠x6，故本选项运算错误；
C.据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得(x3)2=x2×3=x6，故本选项运算正确；
D.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的除法法则得：x9÷x3=x9-3=x6≠x3，故本选项错误.
故选C.
考点：合并同类项；同底幂的乘法；幂的乘方；同底幂的除法.
8.（2015年广东佛山3分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据合并同类项，同底幂除法运算法则逐一计算作出判断：
A.x与y不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
B.y2与y2是同类项，能合并，因此，- y2- y2="(-1-1)" y2="-2" y2，故本选项错误；
C.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的除法法则得：a2÷a2= a2-2= a0=1，故本选项正确；
D.7x与5x是同类项，能合并，因此，7x-5x=(7-5) x=2x≠2，故本选项错误.故选C.
考点：合并同类项；同底幂除法.
9.（2015年广东佛山3分）若，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，即，
∴.
令得.
考点：求代数式的值；整体思想的应用.
10.（2015年广东深圳3分）下列说法错误的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据同底幂乘法；合并同类项；幂的乘方；同底幂除法运算法则逐一计算作出判断：
A.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：，故本选项计算正确；
B.2a与a是同类项，能合并，2a+a=(2+1)a=3a，故本选项计算正确；
C.根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得
，故本选项计算错误；
D.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的除法法则得：
，故本选项计算正确.
故选C.
考点：同底幂乘法；合并同类项；幂的乘方；同底幂除法.
11.（2015年广东3分）（）
A．B．C．D．
【答案】D
试题分析：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘
方等于每一个因数乘方的积”的积的乘方法则得.故选D.
考点：幂的乘方和积的乘方.
12.（2015年广东珠海3分）计算的结果为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式”的单项式乘法法则得：
. 故选A.
考点：单项式乘法.
13.（2015年江苏连云港3分）下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据合并同类项，同底幂乘法运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：
A.2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.5a与2a是同类项，能合并，5a-2a=(5-2)a=3a，故故本选项正确；
C.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：，故本选项错误；
D.根据完全平方公式得，故本选项错误. 故选B．
考点：合并同类项；同底幂乘法；完全平方公式.
14.（2015年江苏南京2分）计算的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘
方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得.故选A.
考点：幂的乘方和积的乘方.
15.（2015年江苏盐城3分）下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据同底幂乘法和除法；幂的乘方和积的乘方逐一计算作出判断：
A.根据“积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得
，故本选项正确；
B.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：
，故本选项错误；
C.根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的除法法则得：
，故本选项错误；
D.根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得
，故本选项错误.
故选A.
考点：同底幂乘法和除法；幂的乘方和积的乘方.
16.（2015年江苏淮安3分）计算的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式”的单项式乘法法则得：.故选B.
考点：单项式乘法法则.
17.（2015年江苏宿迁3分）计算的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积”的积的乘方法则得.故选D. 考点：幂的乘方与积的乘方．
18.（2015年江苏镇江3分）计算的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：提取公因式即可得：
.故选A.
考点：整式的加减，整体思想的应用．
19.（2015年江苏苏州3分）计算：．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：.
考点：同底幂乘法.
20.（2015年江苏连云港3分）已知，则
．
【答案】1
【解析】
试题分析：∵，
∴.
考点：整式的混合运算—化简求值；整体思想的应用．
21.（2015年江苏南通3分）计算= ．【答案】
【解析】
试题分析：根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可：
考点：整式的混合运算．
22.（2015年江苏镇江2分）计算：= ．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：
.
考点：同底数幂的乘法．
23.（2015年江苏镇江2分）化简：= ．【答案】
【解析】
试题分析：原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果：
.
考点：整式的混合运算．
24.（2015年浙江嘉兴4分）化简：
【答案】
【解析】
试题分析：应用平方差公式和单项式乘多项式展开后合并同类项即可. 解：原式=.
考点：整式的化简.
25.（2015年江苏无锡4分）计算：．
【答案】
【解析】
试题分析：利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并得出答案即可．
解：原式=
考点：整式的混合运算.
26.（2015年浙江丽水6分）先化简，再求值：，其中. 【答案】
【解析】
试题分析：根据去括号、平方差公式和合并同类项的法则，化简代数式，将
代入化简后的代数式求值，可得答案.
解：.
当时，原式=.
考点：整式的混合运算—化简求值.
27.（2015年江苏常州6分）先化简，再求值：，其中x=2．
【答案】9
【解析】
试题分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解：原式=，
当x=2时，原式=8+1=9．
考点：整式的混合运算（化简求值）．
28.（2015年浙江温州5分）化简：
【答案】.
【解析】
试题分析：应用平方差公式和单项式乘多项式展开后合并同类项即可. 解：原式=.
考点：整式的化简.
29.（2015年广东梅州7分）已知，求代数式
的值.
【答案】3
【解析】
试题分析：将代数式化为a+b的代数式的形式整体代入求解即可. 解：当时，
考点：求代数式的值；整体思想的应用.
1.（2012广西来宾3分）如果2x2y3与x2y n+1是同类项，那么n的值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2012上海市4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是( )
A．xy2B．x3+y3C．x3y D．3xy
3.下列不属于同类项的是（）
A．－1和2 B．x2y和4×105x2y C．和D．3x2y和－3x2y 4.（2012江西南昌3分）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=( ) A．10 B．6 C．5 D．3
5.（2012安徽省4分）计算的结果是( )
A．B．C．D．
6.（2012广东广州3分）下面的计算正确的是( )
A．6a﹣5a="1" B．a+2a2=3a3C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b 7.下列计算正确的是( )
A．（﹣p2q）3=﹣p5q3B．（12a2b3c）÷（6ab2）=2ab
C．3m2÷（3m﹣1）=m﹣3m2D．（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4
8.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
9.（2012四川宜宾3分）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为( )
A．（x﹣3）2+11 B．（x+3）2﹣7 C．（x+3）2﹣11 D．（x+2）2+4
10.（2012四川绵阳3分）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2
11.下图是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm，则x等于（）
A．cm B．cm C．cm D．cm
12.（2012广西柳州3分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是( )
A．（x+a）（x+a）B．x2+a2+2ax C．（x-a）（x-a）D（x+a）a+（x+a）x 13.已知与是同类项，则a b的值为.
14.当时，
15.（2012四川成都4分）已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx 的值为．
16.（2012四川凉山4分）整式A与m2－2mn＋n2的和是（m＋n）2，则A= .
17.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是．
18.（2012贵州铜仁4分）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为．
19.（2012贵州遵义4分）已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2= ．
20.用正三角形和正六边形按如图2－3－2所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．
21.（2012浙江丽水、金华6分）已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2．
22.（2012贵州贵阳8分）先化简，再求值：，其中a=﹣3，b=．
23.计算当a＝1，b＝－2时，代数式的值．
24.观察下列各式
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1；
……
(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；
(2)判断22 014＋22 013＋22 012＋22 011＋…＋2＋1的值的末位数．
参考答案
【答案】B
【解析】所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项.因此，有n＋1=3，解得n=2.故选B.
考点：同类项的概念.
【答案】A
【解析】根据单项式的次数定义可知：A、xy2的次数为3，符合题意；B、x3+y3不是单项式，不符合题意；C、x3y的次数为4，不符合题意；D、3xy的次数为2，不符合题意.故选A.
考点：单项式的次数.
【答案】C
【解析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．故选C.
【答案】C
【解析】∵（m﹣n）2=8，∴m2﹣2mn+n2=8 ①
∵（m+n）2=2，∴m2+2mn+n2=2 ②
①+②得，2m2+2n2=10，∴m2+n2=5.故选C.
考点：完全平方公式，求代数式的值.
【答案】B
【解析】根据积的乘方和幂的运算法则可得：
(-2x2)3=(-2)3(x2)3=-8x6.故选B.
考点：积的乘方和幂的运算
【答案】C
【解析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案.
A.6a﹣5a=a，故此选项错误；
B.a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C.﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；
D.2（a+b）=2a+2b，故此选项错误.
故选C.
考点：去括号与添括号，合并同类项.
【答案】D
【解析】根据整式的混合运算法则对各选项分别进行计算，即可判断：
A、（﹣p2q）3=﹣p6q3，故本选项错误；
B、12a2b3c）÷（6ab2）=2abc，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4，故本选项正确.
故选D.
考点：整式的混合运算，积的乘方和幂的乘方，整式的乘法，同底数幂的乘法和除法.
【答案】A
【解析】∵x2＋16x＋k是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2＋16x＋k=0根的判别式Δ=0.
∴Δ=162－4×1×k=0，解得k=64.故选A.
也可配方求解：x2＋16x＋k=（x2＋16x＋64）－64＋k= （x＋8）2－64＋k，
要使x2＋16x＋k为完全平方式，即要－64＋k=0，即k=64.
考点：完全平方式.
【答案】B
【解析】x2+6x+2=x2+6x+9﹣9+2=（x+3）2﹣7.故选B.
考点：配方法的应用.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2.
∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2.
故选C.
考点：完全平方公式的几何背景
【答案】D
【解析】由题意得5x＋2×4＝a，所以x＝（cm）．故选D.
点评：本题要注重结合图形来分析问题，以提高综合解决问题的能力．
【答案】C
【解析】根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积：S =（x+a）2=x2+2ax+a2.故选C.
考点：整式的混合运算.
【答案】36
【解析】由同类项的定义可得a－3＝3，5－b＝3，所以a＝6，b＝2．因而a b＝62＝36．
答案：36
点评：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，这是两个单项式成为同类项
必须具备的条件，即
【答案】5
【解析】先根据整式的混合运算的法则把原式化简，再把代入进行计算即可：
原式=6x2＋3xy－2x2＋2xy=4x2＋5xy.
当时，原式=4＋5×=5.
考点：整式的混合运算（化简求值）.
【答案】6
【解析】将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，
将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b）=2×3=6.
考点：代数式求值.
【答案】4mn.
【解析】根据已知两数的和和其中一个加数，求另一个加数，用减法．列式计算：
A=（m＋n）2－（m2－2mn＋n2）==4mn.
考点：代数式的加减法，完全平方公式.
【答案】±6.
【解析】根据两平方项项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可：
∵x2﹣kx+9=x2﹣kx+32，∴﹣k=±2×3，解得k=±6.
考点：完全平方式.
【答案】97.
【解析】根据如图所示的操作步骤，列出代数式：(x+5)2-3，将x=5代入计算即可：(5+5)2-3=97.
考点：代数式求值.
【答案】13.
【解析】根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值：
x2+y2= x2+y2+2xy﹣2xy=（x+y）2﹣2xy=（﹣5）2﹣2×6=25﹣12=13.
考点：代数式求值，完全平方公式.
【答案】2n＋2
【解析】
试题分析：第一个图案中正三角形的个数为： 4＝2×1＋2；
第二个图案中正三角形的个数为：6＝2×2＋2；
第三个图案中正三角形的个数为：8＝2×3＋2；。