高考大题标准练(四).docx

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高考大题标准练(四)
满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考主观题高分！
1.(12分)已知向量a=与b=共线，且有函数y=f(x).
(1)若f(x)=1，求cos的值.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f(B)的取值范围.
【解析】(1)因为a与b共线，
所以=，
y=sin cos+cos2
=sinx+(1+cosx)=sin+，
所以f(x)=sin+=1，
即sin=，
cos=cos2π=2cos2π-1
=2sin2-1=-.
(2)已知2acosC+c=2b，由正弦定理得：
2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)，
2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
所以cosA=，
所以在△ABC中，A=π，f(B)=sin+，
因为A=π，
所以0<B<，π<B+π<，
所以<sin≤1，1<f(B)≤，
所以函数f(B)的取值范围为.
2.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=2BE=4.
(1)求证:CE∥平面PAD.
(2)在棱AB上是否存在一点F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.
【解析】(1)设PA中点为G,连接EG,DG,
因为PA∥BE,且PA=4,BE=2,
所以BE∥AG且BE=AG,
所以四边形BEGA为平行四边形,
所以EG∥AB,且EG=AB,
因为正方形ABCD,所以CD ∥AB,CD=AB, 所以EG ∥CD,且EG=CD, 所以四边形CDGE 为平行四边形, 所以CE ∥DG.
因为DG ⊂平面PAD,CE ⊄平面PAD, 所以CE ∥平面PAD.
(2)如图建立空间直角坐标系
,
则B(4,0,0),C(4,4,0),E(4,0,2), P(0,0,4),D(0,4,0),
所以
=(4,4,-4),
=(4,0,-2),
=(0,4,-4). 设平面PCE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1
),
令x 1=1,则
所以m =(1,1,2),
可设F(a,0,0),则
=(4-a,0,2),
=(4,-4,2), 设平面DEF 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),
令x2=2,则
所以n=.
由平面DEF⊥平面PCE,得m·n=0,
即2++2a-8=0,
a=<4,点F,
可得:=.
3.(12分)从集合的所有非空真子集中等可能地取出一个.
(1)求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率.
(2)记所取的子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
【解析】(1)非空真子集的个数为n=27-2=126,
符合条件的子集:三元集有9个,四元集有5个,五元集有3个,6元集有2个, 故m=9+5+3+2=19,所以P==.
(2)ξ的可能取值为1,2,3,4,5,6,
P(ξ=1)==.P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
分布列为:
E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×==.
4.(12分)若各项为正的等比数列{a n}的前n项和为S n,其中a1=,且-,,成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)设数列{b n}满足b n log3(1-)=1,求适合b1b2+ b2b3+…+ b n=的正整数n的值.
【解析】(1)设数列{a n}的公比为q,由a n>0,得q>0.由-,,成等差数列,
所以=-+,
即=-+,解得:-3+=,
即3q2+2q-1=0.解得:q=,或q=-1(舍去).
所以a n=a1=·=2·.
(2)由(1)得===1-,
故log3(1-)=log3=-n-1,
所以b n==-.b n==-.
b1b2+ b2b3+…+ b n=++…+=-.
依题意得:-=.
解得n=100,满足条件的n值为100.
5.(13分)已知点H,点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ 上,且满足·=0,=-.
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C.
(2)过定点D作直线交轨迹C于A,B两点,E是D点关于坐标原点O 的对称点,求证∠AED=∠BED.
(3)在(2)中,是否存在垂直于x轴的直线l′,被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l′的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设M(x,y),P(0,y′),Q(x′,0),(x′>0),
因为=-,·=0,
所以(x,y-y′)=-(x′-x,-y),
且(3,y′)·(x,y-y′)=0,
所以x′=x,y′=-y,3x+yy′-y′2=0.
所以y2=4x(x>0),
所以动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).
(2)①当直线l垂直于x轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED.
②当直线l与x轴不垂直时,依题意,可设直线l的方程为
y=k(x-m)(k≠0,m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则A,B两点的坐标满足方程组:
消去x并整理,得ky2-4y-4km=0,
所以y1+y2=,y1y2=-4m.
设直线AE和BE的斜率分别为k1,k2,
则k1+k2=+
=
=
=
==0.
因为tan∠AED+tan(180°-∠BED)=0,
所以tan∠AED=tan∠BED,
因为0<∠AED<π,0<∠BED<π,
所以∠AED=∠BED.
综合①②可知∠AED=∠BED.
(3)假设存在满足条件的直线l′,其方程为x=a,AD的中点为O′,l′与以AD为直径的圆相交于点F,G,FG的中点为H,则O′H⊥FG,O′点的坐标为. 因为|O′F|=|AD|=
=,
|O′H|==|2a-x1-m|,
所以|FH|2=|O′F|2-|O′H|2=(a-m+1)x1+a(m-a).
所以|FG|2=(2|FH|)2=4[(a-m+1)x1+a(m-a)],
令a-m+1=0,得a=m-1,
此时,|FG|2=4(m-1).
所以当m-1>0时,即m>1时,满足条件的直线l′存在,其方程为x=m-1, 当0<m≤1时,满足条件的直线l′不存在.
6.(14分)已知函数f=ln+x3-x2-ax.
(1)若x=为f的极值点,求实数a的值.
(2)若y=f在上为增函数,求实数a的取值范围.
(3)若a=-1时,方程f-=有实根,求实数b的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=+3x2-2x-a
=.
因为x=为f(x)的极值点,
所以f′=0,
所以3a+(3-2a)-(a2+2)=0,且a+1≠0,所以a=0.
又当a=0时,f′(x)=x(3x-2),从而x=为f(x)的极值点成立.
(2)因为f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以≥0在[1,+∞)上恒成立.
若a=0,则f′(x)=x(3x-2)>0,所以f(x)在[1,+∞)上为增函数成立.
若a≠0,由ax+1>0对x>1恒成立知a>0,
所以3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为x=-.
因为a>0,所以-<,
从而g(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以只要g(1)≥0即可,即-a2+a+1≥0,
所以≤a≤,
又因为a>0,所以0<a≤.
综上,0≤a≤.
(3)若a=-1,方程f(1-x)-(1-x)3=,
可得ln x-(1-x)2+(1-x)=,
即b=xln x-x(1-x)2+x(1-x)=xln x+x2-x3在x>0上有解.
即求函数g(x)=xln x+x2-x3的值域.
b=x(ln x+x-x2),
令h(x)=ln x+x-x2,有h′(x)=+1-2x=,
因为x>0,所以当0<x<1时,h′(x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数;当x>1时, h′(x)<0,从而h(x)在(1,+∞)上为减函数,
所以h(x)≤h(1)=0,而h(x)可以无穷小.
所以b的取值范围为(-∞,0].
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