人教A版数学必修一第1部分第一章1.31.3.1第一课时函数的单调性.pptx

6．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有 ( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
解析：若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则必有 2k－1<0，∴k<12. 答案：C
7．函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则 f(34)与
f(a2－a＋1)的大小关系为 f(34)______f(a2－a＋1)． 解析：a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34>0. ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(a2－a＋1)≤f(34)． 答案：≥
②y＝ax，a>0 时，单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)； a<0 时，单调增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
③y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调减区间为(－∞， m]，单调增区间为[m，＋∞)；a<0 时，单调增区间为(－ ∞，m]，单调减区间为[m，＋∞)．
2．确定函数的单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过 程中不要忽略了函数的定义域．
单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
[一点通] 1．确定函数单调区间的方法 (1)作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断 函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确． (2)常见函数的单调区间： ①y＝ax＋b，a>0时，单调递增区间为(－∞，＋∞)； a<0时，单调递减区间为(－∞，＋∞).
证明：设 x1，x2 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋＋21－xx22＋＋21
＝x1＋x21－xx21＋1. ∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴x1＋x21－xx21＋1>0, 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． ∴y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数.
条件
结论
定义
增 设函数f(x)的定义域
都有 f(x1)<
函 为I，对于定义域I内
f(x2)
数某个区间D上的 任意减 函两个自变量的值x1，
都有
f(x1)>
数 x2，当x1<x2时
f(x2)
f(x)在区间D上 是 增函数
f(x)在区间D上 是 减函数
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，
∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
[一点通] 证明或判断函数单调性的方法主要是 定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利 用定义法证明或判断函数单调性的步骤是
那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)，单区调间性D叫
做函数y＝f(x)的.
单调区间
观察下列函数图象：
问题1：该函数f(x)的定义域是什么？ 提示：[－3,5]． 问题2：该函数f(x)的最高点和最低点的纵坐标分别 是多少？ 提示：2，－1.5. 问题3：函数y＝f(x)的值域是什么？ 提示：f(x)∈[－1.5,2]．
[例 2] 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函 数的单调区间．
[思路点拨] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
[精解详析]
y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，
x≥0， x＜0，
即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，
x≥0， x＜0.
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，
问题2：甲、乙图中，若x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大 小关系是什么？
提示：甲图中，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)； 乙图中，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)． 问题3：丙图中，若x1<x2，f(x1)<f(x2)，则自变量x 属于哪个区间？
提示：[0，＋∞)．
1．增函数与减函数的定义
[例 1] 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． [思路点拨] 根据增函数的定义证明．
[精解详析] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42
＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4.
函数的最大值与最小值
条件
结论
(1)对于任意的x∈I，都有 设函数y＝
f(x)≤M
f(x)的定义 域为I，如
(2)存在x0∈I，使
f(x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有
果存在实
f(x)≥M
数M满足 (2)存在x0∈I，使 f(x0)＝M
M是函数y＝f(x) 的最大值
M是函数y＝f(x) 的最小值
(2 分) (4 分)
(8 分)
由①②可知，0<a<23， 即所求 a 的取值范围是(0，23)．
(11 分) (12 分)
[一点通] 解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围 问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转 化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数， 则对任意x1，x2∈D，且f(x1)<f(x2)，有x1<x2；若函数y ＝f(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定 义域．
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理解 教材 新知
知识点一 知识点二
第
1.3
把握
一 章
1.3.1
第 一
热点 考向
考点一 考点二 考点三
课
时 应用创新演练
观察下列函数图象：
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？ 提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大． 乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小． 丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝1x
D．y＝－x2＋4
解析：B在R上为减函数.C在(－∞，0)上和(0，＋∞)上 为减函数．D在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为 减函数． 答案：A
2．利用单调性的定义，证明函数 y＝xx＋ ＋12在(－1，＋∞) 上是减函数．
1．函数单调性定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值， 不能以特殊值代替；
(2)有大小，必须确定两个值x1，x2的大小关系，一 般令x1<x2；
(3)同属一个单调区间．
2．求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时，通常要先确定函数的 单调性，同时要注意函数的定义域．
8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减 函数，求实数a的取值范围． 解：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即a≤－3. ∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞). (2)函数 y＝x2－2x－3 的对称轴方程是 x＝1，并且图像开口向 上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)． (3)f(x)＝3|x|＝3－x，3x，x≥x0<，0. 由一次函数的单调性可得：f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单 调增区间是[0，＋∞)．
5．作出函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3，
x≤1， x＞1
的图象，并
指出函数的单调区间．
解：f(x)＝－x－x－232＋，3，
x≤1，
x＞1
的图象如图所示．
由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]； 单调递增区间为[2，＋∞).
[例3] (12分)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减 函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．
3．已知函数y＝f(x)的图象，如图所示． 试写出函数y＝f(x)的单调区间．
解：观察图象可知，函数y＝f(x)的图象在区间[－2,1] 和[4,6]上均是上升的，在区间[1,4]上是下降的，所以 函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2,1]，[4,6]，单调递 减区间是[1,4]．
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝5x； (2)y＝x2－2x－3； (3)y＝3|x|.
[思路点拨] 不等式f(1－a)<f(2a－1)为抽象不等 式，不能直接解．考虑到函数的单调性，可将函数值 的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为 具体不等式来求解．
[精解详析] 由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1. 解得 0<a<1. ① 又 f(x)在(－1,1)上是减函数， 且 f(1－a)<f(2a－1)， ∴1－a>2a－1，即 a<23. ②
1．函数的单调性是函数在定义域的某个子集 上的性质．这个子集可以是整个定义域，也可以 是定义域的真子集．
2．若函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A、B 上都是 增(减)函数，一般不能简单认为 f(x)在 A∪B 上是增(减)函 数．如 f(x)＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是 减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减 函数．事实上，取 x1＝－1<1＝x2，有 f(－1)＝－1<1＝f(1)， 不符合减函数的定义．
3．若x1>x2，f(x1)>f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函 数；若x1>x2，f(x1)<f(x2)，则函数y＝f(x)是单调 减函数，即若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)，则函 数y＝f(x)是增(减)函数．