上海市徐汇区2019-2020学年中考数学仿真第三次备考试题含解析

上海市徐汇区2019-2020学年中考数学仿真第三次备考试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A ．a b 0+>
B ．ab<0
C ．a>b
D ．b a 0->
2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )
A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D ．以上均不正确
3． “保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（ ） 月用水量（吨） 4 5 6 9 户数（户） 3
4
2
1
A ．中位数是5吨
B ．众数是5吨
C ．极差是3吨
D ．平均数是5.3吨
4．如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，则BE 的长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若BF=8，AB=5，则AE 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．12
6．如图，直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2π﹣3
B ．π+3
C ．π+23
D ．2π﹣23
7．2017年扬中地区生产总值约为546亿元，将546亿用科学记数法表示为（ ） A ．5.46×108
B ．5.46×109
C ．5.46×1010
D ．5.46×1011
8．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．80（1+x ）2=100
B ．100（1﹣x ）2=80
C ．80（1+2x ）=100
D ．80（1+x 2）=100
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，且AO=BD=4，AD=3，则△BOC 的周长为（ ）
A ．9
B ．10
C ．12
D ．14
10．要使式子2
a a
+有意义，a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠
B ．
且0a ≠ C ．2a >-. 或0a ≠ D ．2a ≥- 且0a ≠
11．如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AD ∥BC ，以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧与BC 交于点E ，四边形AECD 是平行四边形，AB=3，则»AE 的弧长为（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．
32
π D ．3
12．如图，在ABC △中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE BC P ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )
A ．
DF AE
FC AC = B ．AD EC
AB AC
= C ．AD DE
DB BC
= D ．
DF EF
BF FC
= 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM=3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O ．若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是______．
14．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 是切点，AB 123OP 6＝，＝则劣弧AB 的长为 .（结果保留π）
15．在平面直角坐标系中，将点A （﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．
16．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣2
32
t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 17．不等式组1
x x m >-⎧⎨
<⎩
有2个整数解，则m 的取值范围是_____． 18．已知函数22y x x =--，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）先化简，再求值：
，其中x=1．
20．（6分）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AE=DF ，∠A=∠D ，AB=DC ．
（1）求证：四边形BFCE 是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE 是菱形．
21．（6分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BC 上，点F 在AD 上，BE=DF ，求证：AE=CF ．
22．（8分）综合与实践﹣﹣旋转中的数学
问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O ，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题： 观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB ，则AA′与CC′的数量关系是______；
操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD 保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O 逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O 旋转至AA′⊥A′D′时，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的长．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52
x =
为对称轴的抛物线2
y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若
3
4
AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；
（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.
24．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ,5AB DC ==,1AD =,9BC =,点P 为边BC 上一动点，作PH ⊥DC ,垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心，PH 为半径画圆，交射线PB 于点E . （1）当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；
（2）分别联结EH 和EA ，当ABE CEH ∆∆∽时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆
B 的半径r 的取值范围；
（3）将劣弧¼EH
沿直线EH 翻折交BC 于点F ,试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出次定值.
25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且»»»AF FC
CB ==，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D ． (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若CD=23，求⊙O 的半径．
26．（12分）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色
棋子的概率是3
8；如果往盒中再放进 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12
．求 x 和 y 的值．
27．（12分）如图，已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于
C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】
根据各点在数轴上位置即可得出结论． 【详解】
由图可知，b<a<0，
A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；
B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；
C. ∵b<a<0，∴a>b ，故本选项正确；
D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误. 故选C. 2．A 【解析】 【分析】
过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF ，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP 平分∠AOB 【详解】
如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
3．C
【解析】
【分析】
根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．
【详解】
解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；
B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；
C、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；
D、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
4．B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．
【详解】
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=1，
∴BE=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．5．B
【解析】
试题分析：由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB=4，再由勾股定理即可得出OA=3，进而得出AE=2AO=1．
故选B．
考点：1、作图﹣基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质
6．D
【解析】
分析：观察图形可知，阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.
详解：连接CD．
∵∠C=90°，AC=2，AB=4，
∴22
42
-3．
∴阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC
=
2
2
111
13223 222
ππ
⨯+⨯-⨯⨯
=
32
2
π
π
+
-
2π=-.
故选：D ．
点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的面积= S 半圆ACD +S 半圆BCD -S △ABC 是解答本题的关键. 7．C 【解析】 【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】
解：将546亿用科学记数法表示为：5.46×1010 ,故本题选C. 【点睛】
本题考查的是科学计数法，熟练掌握它的定义是解题的关键. 8．A 【解析】 【分析】
利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程． 【详解】
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨， 2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨， 即： 80（1+x ）2=100， 故选A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程． 9．A 【解析】 【分析】
利用平行四边形的性质即可解决问题. 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=3，OD=OB=
1
2
BD =2，OA=OC=4， ∴△OBC 的周长=3+2+4=9， 故选：A ． 【点睛】
题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分. 10．D 【解析】 【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件计算即可. 【详解】
有意义， ∴a+2≥0且a≠0， 解得a≥-2且a≠0. 故本题答案为：D. 【点睛】
二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0. 11．B 【解析】
∵四边形AECD 是平行四边形， ∴AE=CD ， ∵AB=BE=CD=3， ∴AB=BE=AE ，
∴△ABE 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AE u u u r
的弧长=6023
360
ππ⨯⨯=.
故选B. 12．A 【解析】
根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可. 【详解】
A.∵DE BC
P，
∴DF DE
FC BC
=，
AE DE
AC BC
=，
∴DF AE
FC AC
=，故A正确；
B. ∵DE BC
P，
∴AD AE
AB AC
=，故B不正确；
C. ∵DE BC
P，
∴AD DE
AB BC
=，故C不正确；
D. ∵DE BC
P，
∴DF EF
CF BF
=，故D不正确；
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．25
6
或
50
13
．
【解析】
由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴在Rt△ABC中，
2
cos cos4520102
2
AC BC C BC
=⋅=⋅︒=⨯=，
∵DE是△ABC的中位线，
∴
11
10252
22
CE AC
==⨯=，
∴在Rt△CFE中，
2
sin sin45525
2
EF CE C BC
=⋅=⋅︒=⨯=，5
FC EF
==.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，
5 tan
12
EF
EMF
MF
∠==，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴
11
2010
22
DE BC
==⨯=，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴
5 tan tan
12
DEO EMF
∠=∠=，
∴在Rt△ODE中，
525
tan10
126 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，2222
12513
ME MF EF
+=+=，
∴在Rt△MFE中，
5 sin
13
EF
EMF
ME
∠==，
∵∠DEO=∠EMF，
∴
5 sin sin
13
DEO EMF
∠=∠=，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，
550
sin10
1313 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
综上所述，DO的长是25
6
或
50
13
.
故本题应填写：25
6
或
50
13
.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
14．8π.
【解析】
试题分析：因为AB为切线，P为切点，
22
,63
6,12
,2
60,60
OP AB AP BP
OP OB OP PB
OP AB OB OP
POB POA
︒︒
∴⊥∴==
=∴=+=
⊥=
∴∠=∠=
Q
Q
劣弧AB所对圆心角
考点：勾股定理;垂径定理;弧长公式.
15．（0，0）
【解析】
【分析】
根据坐标的平移规律解答即可．
【详解】
将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），
故答案为（0，0）．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
16．24
【解析】
【分析】
先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20-4=16代入求得16s 时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离.
【详解】
y=60t ﹣23t 2
=32-(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s 时停止，滑行距离为600m ， 当t=20-4=16时，y=576，
600-576=24，
即最后4s 滑行的距离是24m ，
故答案为24.
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.
17．1＜m≤2
【解析】
【分析】
首先根据不等式恰好有2个整数解求出不等式组的解集为1x m -<<，再确定12m <≤.
【详解】
Q 不等式组1x x m >-⎧⎨<⎩
有2个整数解， ∴其整数解有0、1这2个，
∴12m <≤.
故答案为：12m <≤.
【点睛】
此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.
18．x≤﹣1．
【解析】
试题分析：∵22y x x =--=2
(1)1x -++，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，故答案为x≤﹣1．
考点：二次函数的性质．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．
【解析】
【分析】
这道求代数式值的题目，不应考虑把x 的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值．
【详解】
解：原式=•﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=1时，原式==．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
20．（1）证明见试题解析；（2）1．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
试题解析：（1）∵AB=DC，∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中{AC DB A D AE DF
=
∠=∠
=
，∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=1，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=1，
∴当BE=1时，四边形BFCE是菱形，
故答案为1．
【考点】
平行四边形的判定；菱形的判定．
21．见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．（1）AA′=CC′；（2）成立，证明见解析；（3）AA′=2213
2
【解析】
【分析】
（1）连接AC、A′C′，根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；
（2）连接AC、A′C′，证明△A′OA≌△C′OC，根据全等三角形的性质证明；
（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，根据相似多边形的性质求出B′C′，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）AA′=CC′，
理由如下：连接AC、A′C′，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，
∵A′B′∥AB，
∴点A、A′、C′、C在同一条直线上，
由矩形的性质可知，OA=OC，OA′=OC′，
∴AA′=CC′，
故答案为A A′=CC′；
（2）（1）中的结论还成立，AA′=CC′，
理由如下：连接AC、A′C′，则AC、A′C′都经过点O，
由旋转的性质可知，∠A′OA=∠C′OC ，
∵四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′都是矩形，
∴OA=OC ，OA′=OC′，
在△A′OA 和△C′OC 中，
{OA OC
A OA C OC OA OC =∠=∠'='''
，
∴△A′OA ≌△C′OC ，
∴AA′=CC′；
（3）连接AC ，过C 作CE ⊥AB′，交AB′的延长线于E ，
∵矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D′， ∴AB BC A B B C =''''，即683B C =''
， 解得，B′C′=4，
∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，
∴四边形B′ECC′为矩形，
∴EC=B′C′=4，
在Rt △ABC 中，22AB BC +=10， 在Rt △AEC 中，22AC CE -21
∴21﹣3，又AA′=CC′=B′E ，
∴2213-． 【点睛】
本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性
质是解题的关键．
23．（1）2
55y x x =-+.；（2）点G 坐标为()13,1G -；2931767317,
G ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.（3）261k =-+. 【解析】
分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；
（2）作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，求出直线l 的解析式，再分两种情况分别求出G 点坐标即可；
（3）根据题意分析得出以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点，P 为MN 的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可． 详解：（1）由题可得：5,
225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩
解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.
（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34
AF MQ FB QN ==.
32MQ =Q ，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152
BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，
∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122
DG y x =-+，
2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32
x x ∴==. 52
x >Q ，3x ∴=，()3,1G ∴-. ②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.
1211922G G y x ∴=-+，21195522
x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=.
52x >Q ，x ∴=G ∴⎝⎭
.
综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G ⎝⎭
. （3）由题意可得：1k m +=.
1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.
11x ∴=，24x k =+，()
24,31B k k k ∴+++.
设AB 的中点为'O ， P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.
OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴
⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PN PM BN
∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()
2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>.
0k >Q ，1k ∴==-+. 点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．
24．（1）x=1 （2）
55928r << （1）3EH EF = 【解析】
【分析】
(1)作AM ⊥BC 、连接AP ，由等腰梯形性质知BM=4、AM=1，据此知tanB=tanC=34
，从而可设PH=1k ，则CH=4k 、PC=5k ，再表示出PA 的长，根据PA=PH 建立关于k 的方程，解之可得；
(2)由PH=PE=1k 、CH=4k 、PC=5k 及BC=9知BE=9−8k ，由△ABE ∽△CEH 得
=AB CE BE CH
，据此求得k 的值，从而得出圆P 的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；
(1)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，
由PH=1k、HC=4k、PC=5k知sinC=3
5
、cosC=
4
5
，据此得出NC=
16
5
k、HN=
12
5
k及PN=PC−NC=
9
5
k，
继而表示出EF、EH的长，从而出答案．
【详解】
(1)作AM⊥BC于点M，连接AP，如图1，
∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，∴BM=4、AM=1，
∴tanB=tanC=3
4
，
∵PH⊥DC，
∴设PH=1k，则CH=4k、PC=5k，∵BC=9，
∴PM=BC−BM−PC=5−5k，
∴AP2=AM2+PM2=9+(5−5k) 2，∵PA=PH，
∴9+(5−5k) 2=9k2，
解得：k=1或k=17
8
，
当k=17
8
时，CP=5k=
85
8
>9，舍去；
∴k=1，
则圆P的半径为1．
(2)如图2，
由(1)知，PH=PE=1k、CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴BE=BC−PE−PC=9−8k ，
∵△ABE ∽△CEH ， ∴=AB CE BE CH ，即=58984k k k
- ， 解得：k=1316
， 则PH=3916 ，即圆P 的半径为3916
， ∵圆B 与圆P 相交，且BE=9−8k=52
， ∴52
<r<598； (1)在圆P 上取点F 关于EH 的对称点G ，连接EG ，作PQ ⊥EG 于G ，HN ⊥BC 于N ，
则EG=EF 、∠1=∠1、EQ=QG 、EF=EG=2EQ ，
∴∠GEP=2∠1，
∵PE=PH ，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1，
∴∠GEP=∠4，
∴△EPQ ≌△PHN ，
∴EQ=PN ，
由(1)知PH=1k 、HC=4k 、PC=5k ，
∴sinC=
35 、cosC=45
， ∴NC=165
k 、HN=125 k ， ∴PN=PC−NC=95
k ， ∴EF=EG=2EQ=2PN=185 k ，22125HN EN + ，
∴3
EH EF ， 故线段EH 和EF 的比值为定值．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线. 25．(2)1
【解析】
试题分析：（1）连结OC ，由»FC
=»BC ，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC ，而∠OAC=∠OCA ，则∠FAC=∠OCA ，可判断OC ∥AF ，由于CD ⊥AF ，所以OC ⊥CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是⊙O 的切线；
（2）连结BC ，由AB 为直径得∠ACB=90°，由»AF =»FC
=»BC ,得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以
∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，利用含30°的直角三角形三边的关系得Rt △ACB 中，
利用含30°的直角三角形三边的关系得，AB=2BC=8，所以⊙O 的半径为1． 试题解析：（1）证明：连结OC ，如图， ∵»FC
=»BC ∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA
∴OC ∥AF
∵CD ⊥AF
∴OC ⊥CD
∴CD 是⊙O 的切线
（2）解：连结BC ，如图
∵AB 为直径
∴∠ACB=90°
∵»AF =»FC
=»BC ∴∠BOC=13
×180°=60° ∴∠BAC=30°
∴∠DAC=30°
在Rt △ADC 中，CD=23 ∴
AC=2CD=13
在Rt △ACB 中，BC=
33AC=33×13=1 ∴AB=2BC=8
∴⊙O 的半径为1. 考点：圆周角定理, 切线的判定定理，30°的直角三角形三边的关系
26．x=15,y=1 【解析】 【分析】
根据概率的求法：在围棋盒中有x 颗黑色棋子和y 颗白色棋子，共x+y 颗棋子，如果它是黑色棋子的概率
是38
，有38x x y +＝成立．化简可得y 与x 的函数关系式； （2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y 颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为12
，结合（1）的条件，可得38101102x x y x x y ⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪++⎩
＝＝，解可得x=15，y=1． 【详解】
依题意得，
38101102x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪++⎩
， 化简得，53010x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 解得，1525x y =⎧⎨=⎩
.， 检验当x=15,y=1时，0x y +≠，100x y ++≠，
∴x=15,y=1是原方程的解，经检验，符合题意.
答：x=15,y=1.
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 27．（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标
为(1,2)--或(1,4)-
或3(1,
2-或3(1,)2
-. 【解析】 分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+.
∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，
∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩
， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.
（注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()22
2213610PC t t t =-+-=-+，
①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．。