2024届山东省莒县实验中学数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届山东省莒县实验中学数学高一下期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（ ） A ．1030人
B ．97人
C ．950人
D ．970人
2．设i 是虚数单位，复数1a i
i
-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．1-
C ．1
2
D ．2-
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S =
=，则12
3111a a a ++=( ) A ．
13
2
B ．
133
C ．5
D ．6
4．已知向量1a =，2b =
，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A
．
B
C ．2
D ．3
5．下列命题正确的是（ ）
A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台. 6．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
7．已知两条不重合的直线a 和b ，两个不重合的平面α和β，下列四个说法： ①若//a α，b β//，//a b ，则//αβ； ②若//a b ，a α⊂，则//b α；
③若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβ； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥，则b α⊥． 其中所有正确的序号为（ ） A ．②④
B ．③④
C ．④
D ．①③
8．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A ．15
B ．16
C ．30
D ．31
9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．设向量a 12=-（，）
，b m 1,,m =+-（）且a b ⊥，则实数的值为（） A ．2-
B ．2
C ．
1
3
D ．13
-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知P 为ABC ∆所在平面内一点，且23
55
A AP
B A
C =+，则:PAB ABC S S ∆∆=_____ 12．已知α是第二象限角，且1sin 3α=
，且sin 2πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
______. 13．已知数列{}n a 的前n 项和满足(
)2
*
2n S n n n =-∈N ，则4
a
=______．
14．已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：
x
1 2 3 ()f x
2 1 1 x
1
2
3
()g x
3 2 1
则当[()]2f g x =时，x =_____________.
15．已知向量,a b 满足()
21,b a a a b ==⊥-，则a 与2a b +的夹角的余弦值为__________．
16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，且34a =，则11a =_____． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,,,,AB AD AB DC E F ⊥分别为,PC DC 的中点,222PA DC AB AD ====.
(1)证明:平面PAD 平面EBF (2)求三棱锥P BED -的体积.
18．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．
（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率； （2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？
19．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为[)160,180、
[)180,200、[)200,220、[)220,240、[)240,260、[)260,280、[]280,300.
（1）求频率分布直方图中x 的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；
（3）在月平均用电量为[]220,300的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取11户居民，则应从月用电量在[)240,260居民中抽取多少户？ 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
12
n n n S +=，*n N ∈. （1）求证：数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T . 21．在数列{}n a 中，11a =，22a =，且()()111,2,0n n n a q a qa n q +-=+-≥≠； （1）设(
)*
1,n n n b a a n N
+=-∈，证明{}n
b 是等比数列；
（2）求数列{}n
a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与
6n a +的等差中项；
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
由分层抽样的办法可知在2000名学生中抽取的男生有103
20001030200
⨯=，故女生人数为20001030970-=，应选答案D ． 2、A 【解题分析】
()()()()()1111112
a i i a a i
a i i i i ---+---==++-， 10a ∴-=，1a =，故选A ．
3、A 【解题分析】
先通分13
11a a +，再利用等比数列的性质求和即可。

【题目详解】
1332221231322111132
a a S a a a a a a a a +++=+==． 故选A. 【题目点拨】
本题考查等比数列的性质，属于基础题。

4、C 【解题分析】
利用向量乘法公式得到答案. 【题目详解】 向量1a =，2b =
，a ，b 的夹角为45°
2
()11222
a c a a
b a a b ⋅=⋅+=+⋅=+⨯⨯
= 故答案选C 【题目点拨】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 5、C
【解题分析】
试题分析：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A 错；有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B 错；用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D 错；由棱柱的定义，C 正确；
考点：1、棱柱的概念；2、棱台的概念. 6、D 【解题分析】
利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案． 【题目详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．
//AD BC
∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题. 7、C 【解题分析】
根据线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论，逐项判断出各项的真假，即可求出． 【题目详解】
对①，若//a α，b β//，//a b ，则//αβ或α和β相交，所以①错误； 对②，若//a b ，a α⊂，则//b α或b α⊂，所以②错误；
对③，根据面面平行的判定定理可知，只有a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，且a 和
b 相交，则//αβ，所以③错误；
对④，根据面面垂直的性质定理可知，④正确．
故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查有关线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的命题的判断，意在考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论的理解和应用，属于基础题． 8、D 【解题分析】
根据分层抽样的定义和性质进行求解即可． 【题目详解】
根据分层抽样原理，列方程如下，
，
解得n ＝1． 故选：D ． 【题目点拨】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键． 9、C 【解题分析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案． 【题目详解】
由题意，第一循环：24N =，能被3整除，24
833
N =
=≤不成立， 第二循环：8N =，不能被3整除，817,73N N =-==≤不成立， 第三循环：7N =，不能被3整除，6
716,233
N N =-===≤成立， 终止循环，输出2N =，故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10、D 【解题分析】
根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m 的值． 【题目详解】
向量()12a =-，，b =（m +1，﹣m ），
当a ⊥b 时，a •b =0， 即﹣（m +1）﹣2m ＝0， 解得m 13
=-． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
35
【解题分析】
将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可． 【题目详解】 解：设32
,55
AN AC AM AB =
=，则根据题意可得，AP AM AN =+， 如图所示，作CH AB,NQ AB ⊥⊥，垂足分别为H,Q ，则
1
1
,2
2
ABC
PAB
S
AB CH S AB NQ =⋅⋅=⋅⋅ 又
35
NQ AN CH AC ==，
35PAB ABC
S
S ∴=
，故答案为35
． 【题目点拨】
本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题． 12、22
3
-
【解题分析】
利用同角三角函数的基本关系求出cos α，然后利用诱导公式可求出sin 2πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值. 【题目详解】
α
是第二象限角，则cos 3
α==-，
由诱导公式可得sin cos 23παα⎛⎫
-==-
⎪⎝⎭
.
故答案为：. 【题目点拨】
本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 13、5 【解题分析】 利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求得n a ，进而求得4a 的值.
【题目详解】
当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，当1n =时上式也满足，故{}n a 的通项公式为23n a n =-，故4835a =-=. 【题目点拨】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查运算求解能力，属于基础题. 14、3 【解题分析】
根据已知，用换元法，从外层求到里层，即可求解. 【题目详解】
令(),()2,1,()1,3g x t f t t g x x =====. 故答案为:3. 【题目点拨】
本题考查函数的表示，考查复合函数值求参数，换元法是解题的关键，属于基础题. 15
【解题分析】
由()
a a
b ⊥-得1
4
a b ⋅=，结合条件，即可求出2a b +，a 的值，代入求夹角公式，即可求解．
【题目详解】
由()
a a
b ⊥-得221
,24434
a b a b a a b b ⋅=
+=+⋅+= a 与2a b +的夹角的余弦值为(
)2
223
cos<,2>=222a a b a
a b a a b a a b
a a b
⋅++⋅+=
=++. 【题目点拨】
本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题． 16、4或1024 【解题分析】
当1q =时得到114a =，当1q ≠时，代入公式计算得到2q =-，得到答案. 【题目详解】
比数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S a =
当1q =时：易知4n a =，代入验证，满足，故114a =
当1q ≠时：3
321
1(1)(2)013,21q S a a q q q q ∴-+=-===-- 81131024a a q ==
故答案为：4或1024 【题目点拨】
本题考查了等比数列，忽略掉1q =的情况是容易发生的错误.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见证明；（2）1
3
P BDE V -= 【解题分析】
(1)先证明//EF 面APD ，再证明平面PAD 平面EBF ；（2）由
P BDE P BDC E BDC V V V ---=-求解.
【题目详解】
（1）证明：由已知F 为CD 的中点，且2CD AB =，所以DF AB =，
因为//AB CD ，所以//AB DF ，
又因为AB DF =， 所以四边形ABFD 为平行四边形，
所以//BF AD ，
又因为BF ⊄面APD ，AD APD ⊂面
所以//BF 平面PAD .
在△PDC 中，因为E ,F 分别为PC ,CD 的中点，所以//EF PD ,
因为BF APD ⊄面，PD APD ⊂面，所以//EF 面APD ，
因为EF BF F =，
所以平面//APD 平面BEF
（2）由已知E 为PC 中点，2P BDC E BDC V V --=
又因为P BDE P BDC E BDC V V V ---=-，
所以P BDE V -=
12
P BDC V -⋅， 因为11212BDC S =⨯⨯=△，13P BDC BDC V S AP -=⋅△，23
P BDC V -=， 所以13P BDE V -=. 【题目点拨】
本题主要考查空间几何元素平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
18、（1）0.15（2）2400（3）25人
【解题分析】
(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；
(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；
(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得
应抽取的人数.
【题目详解】
（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯
（2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，
0.0004(20001500)0.2⨯-=，
0.0005(25002000)0.25⨯-=，
0.1+0.2+0.25=0.55>0.5， 所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)20002000400=24000.0005
-++=+. （3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯.
从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，
则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取25001002510000⨯
=(人). 【题目点拨】
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边
中点的横坐标即是众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
19、（1）0.0075x =；（2）众数为230度，中位数为224度；（3）3户.
【解题分析】
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得x 的值；
（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，可得出该城市所有居民月平均用电量的众数，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得该城市所有居民月平均用电量的中位数；
（3）计算出月用电量在[)240,260的用户在月平均用电量为[]220,300的用户中所占的比例，乘以11可得出结果.
【题目详解】
（1）因为()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，所以0.0075x =；
（2）月平均用电量众数的估计值为230度，
()()200.0020.00950.0110.450.5200.0020.00950.0110.0125++=<<+++， 故中位数[)220,240a ∈，所以，()0.452200.01250.5a +-⨯=，解得224a =， 故月平均用电量中位数的估计值为224度；
（3）月均用电量在[)220,240、[)240,260、[)260,280、[]280,300的用户分别为25户、15户、10户、5户，
其中，月均用电量为[)240,260的用户在月平均用电量为[]220,300的用户中所占的比例为153251510511
=+++， 所以在月均用电量为[)240,260的用户中应抽取311311⨯
=（户）. 【题目点拨】
本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数、众数，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.
20、（1）n a n =；（2）1
n n T n =
+． 【解题分析】 （1）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出答案； （2）利用裂项相消法即可求出答案．
【题目详解】
解：（1）∵()12
n n n S +=， 当1n =时，111a S ==，
当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()1122n n n n +-=
-n =， ∴n a n =，*n N ∈；
（2）∵11n n n b a a +=()11n n =+111
n n =-+， ∴11111122334n T ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎝⎭⎭11...1n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭
111n =-+1n n =+． 【题目点拨】
本题主要考查数列已知n S 求n a ，考查裂项相消法求和，属于中档题．
21、（1）略（2）1
11,1,{
1,
1.n n q q a q n q --+≠=-=（3）证明略
【解题分析】
本题源自等差数列通项公式的推导． （1）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得
11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （2）由（1）211a a -=，
32a a q -=，
……
21n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n a a q q --=+++（2n ≥）．
所以当2n ≥时，1
11,1,{
1,
1.n n q q a q n q --+≠=-=
上式对1n =显然成立． （3）由（2），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．
由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①
整理得323
()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）
．于是q = 另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---， 151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--==---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．
所以对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．。