射洪县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

射洪县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
2． 设集合S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜a ＜﹣1 B ．﹣3≤a ≤﹣1 C ．a ≤﹣3或a ≥﹣1 D ．a ＜﹣3或a ＞﹣1 3． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，﹣2）
4． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，26
5． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.
6． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的
1
2
，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的
16
7． 如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A
． B ．1
﹣ C
． D ．1
﹣
8． 用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ） A ．1
B ．7
C ．﹣7
D ．﹣5
9． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ） A
．﹣ B
．﹣ C
．﹣ D
．﹣
或﹣
10．函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 12．在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C D
二、填空题
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
14．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
15．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
16．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（
）= ．
17．若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．
18．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
三、解答题
19．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=ax++b （a ＞0）
（Ⅰ）求f （x ）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=，求a ，b 的值．
20．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
（1）求C R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A C，求实数a的取值范围．
21．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF.
（1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
22．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；
（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？
23．平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；
（2）圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．
24．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
25．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．
26．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a +
+++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
射洪县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
2．【答案】A
【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，
∴，解得：﹣3＜a＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题．
3．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，
采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C 中编号间隔为5， 故选：C ．
5． 【答案】B
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为2
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=，所以122V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1 7． 【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣
，由几何概型
公式可得该点取自阴影部分的概率是；
故选：B ．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
8． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2
+0.3x+2 =（（（（（x ﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2， ∴v 0=a 6=1，
v 1=v 0x+a 5=1×（﹣2）﹣5=﹣7， 故选C ．
9． 【答案】B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）=
=0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
10．【答案】C
【解析】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P==
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键11．【答案】C
【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．
因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．
可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．
故选C．
12．【答案】B
【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

二、填空题
13．【答案】26
【解析】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：
三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．
∴几何体的体积V==26．
故答案为：26．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
14．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
15．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
16．【答案】4．
【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，
∴f′（）=3cos+4sin=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
17．【答案】a≤﹣1．
【解析】解：由x2﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．18．【答案】3
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：
f（1）=，∴a++b=①
f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②
由①②得：a=2，b=﹣1
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
那么：A∩B={x|6≥x≥3}．
∴C R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}．
（2）C={x|x≤a}，
∵A C，
∴a≥6
∴故得实数a的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE.
又B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC.
（2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形，
又EB＝EF＝2，
∴AF＝FC＝2，
设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y，
在△AED中，由余弦定理得
DE2＝AE2＋AD2－2AD·AE cos A.
，
即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×1
2
∴x2－y2＝4－2y，①
由切割线定理得DE2＝DF·DC，
即x2＝y（y＋2），
∴x2－y2＝2y，②
由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝ 3.
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…
当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）
∴…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：（1）由圆C1的参数方程为（φ为参数），可得普通方程：（x﹣2）2+y2=4，即x2﹣4x+y2=0．
由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ2=4ρsinθ，∴直角坐标方程为x2+y2=4y．
（2）联立，解得，或．
∴圆C1与圆C2相交，交点（0，0），（2，2）．
公共弦长=．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设AA 1=h ，
由题设=﹣=10，
∴
即
，解得h=3． 故A 1A 的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A 1D 1∥BC ，
∴∠O 1BC 为异面直线BO 1与A 1D 1所成的角（或其补角）．
在△O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3，
∴AA 1=BC 1=， =，
∴
，
则cos ∠O 1BC===．
∴异面直线BO 1与A 1D 1所成角的余弦值为
．
【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．
25．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f （x ）=2cosx （sinx+cosx ）﹣1=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1
=sin2x+2×
﹣1 =sin2x+cos2x
=sin （2x+
），
∵x ∈[0，
]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f （x ）min =
…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f （B ）=
sin （+）=1，
∴sin （+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
26．【答案】（1）1n a n
=，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*|8,n n n N ≥∈，…………15分。