人教版数学高一人教B版必修四学案1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
知识点一 正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π
2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.
思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？
梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是由通过点(π
2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.
知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？
思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π
2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？
思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π
2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？
思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π
2上正切函数值是增大的吗？
思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π
2，k ∈Z 的图象与性质见下表：
解析式
y ＝tan x
图象
定义域 值域 周期 奇偶性
单调性
在开区间________________内都是增函数
类型一 正切函数的定义域
例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝1
1＋tan x ；
(2)y ＝lg(3－tan x ).
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.
类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间
例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π
4的单调区间及最小正周期.
反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π
2＋
k π<ωx ＋φ<π
2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的单调区间.
命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9
).
(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)
反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π
2
＋k π)，k ∈Z ，故在
⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭
⎫π2，3π2上都是增函数.
跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.
类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x
1－tan x ；
②y ＝x tan 2x ＋x 4.
(2)求y ＝3tan(2x ＋π
3)的图象的对称中心.
反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝
k π
2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.
跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1
tan x ；
(2)f (x )＝lg|tan x |.
类型四 正切函数的图象及应用
例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；
②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫
x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；
(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.
1.函数y ＝tan(2x ＋π
6)的最小正周期是( )
A.π
B.2π
C.π2
D.π
6
2.函数f (x )＝tan(x ＋π
4)的单调递增区间为( )
A.(k π－π2，k π＋π
2)，k ∈Z
B.(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z
C.(k π－3π4，k π＋π
4)，k ∈Z
D.(k π－π4，k π＋3π
4
)，k ∈Z
3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x
2
D.y ＝－tan x
4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2
5.比较大小：tan 1________tan 4.
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π
2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支
正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质
(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .
(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π
|ω|.
(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π
2
＋k π(k ∈Z ))的图象．
思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二
思考1 {x |x ∈R 且x ≠π
2＋k π，k ∈Z }．
思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．
思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．
梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π
2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究
例1 解 (1)要使函数y ＝1
1＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧
1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，
所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π
2，k ∈Z }．
(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π
3＋k π(k ∈Z )，
根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π
3
(k ∈Z )，
所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π
3，k ∈Z }．
跟踪训练1 ⎣
⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π
4(k ∈Z )．
例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π4，
由k π－π2<12x －π4<k π＋π
2(k ∈Z )，
得2k π－π2<x <2k π＋3
2
π(k ∈Z )，
所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3
2π，k ∈Z ， 周期T ＝
π
⎪⎪⎪
⎪
－12＝2π.
跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在
x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π
2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π
2
，k ∈Z .
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π
2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >
例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠k π＋π2，
tan x ≠1，
得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π
4
(k ∈Z )，
即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π
4，k ∈Z }，不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π
4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，
则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )， ∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π
2(k ∈Z )，
得x ＝k π4－π
6
(k ∈Z )．
故所求函数图象的对称中心为点
(k π4－π
6
，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得
y ＝⎩⎨⎧
tan x ，k π≤x <k π＋π
2
(k ∈Z )，
－tan x ，－π
2
＋k π<x <k π(k ∈Z )，
其图象如图所示．
由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π
2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π
2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.
跟踪训练5 解 (1)∵ω＝1
2，
∴周期T ＝πω＝π
1
2＝2π.
令x 2－π3＝k π
2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π
3
(k ∈Z )，
∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π
3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π
3；
令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3
.
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π
3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π
3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)． 当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。