数学分析中的归纳与总结

数学分析中的归纳与总结
一、数学分析的现状
数学分析是高等学校数学类专业一门必修的重要基础课。

通过这门课程的学习，使学生获得微积分学的基本理论。

数学分析课在数学类专业中占有重要地位。

它兼有工具性和理论性，既是专业基础课，又是专业理论课。

本课程为各门后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计、基础物理、理论力学等提供必需的基础知识和基本能力及思维方法的训练，为以后的学习、研究和应用打好基础。

同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。

本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。

数学分析课程内容体系庞大，思想深邃，方法多样，技巧精妙，习题量大，学习时限长。

数学分析可以说是同学们本科阶段课时最长的一门课程，三学期，二百四十八学时，还配备了六十节的习题课。

学习数学分析的同学又都是一、二年级的同学，初进大学，对大学生活本身就还存在一个适应问题。

加之数学分析理论性较强，和同学们中学阶段学习的数形结合较为紧密的初等数学存在着一定的不同，同学们往往感到无所适从，无从下手，产生畏难情绪，学习时限长，学
生学习时总感到“只见树木，不见森林”，同学们对数学分析往往缺乏整体的认识和理解。

数学分析是一个庞然大物，课时多，内容杂。

因此，要驾驭好数学分析，每一位同学除必须下大力气之外，还需寻求适当的方法。

在数学分析的学习过程中，归纳与总结的应用不失为一种好的方法之一。

二、归纳总结的作用
一个善于学习的人，应该是一位善于归纳总结的人。

例如，一个农民，辛辛苦苦耕作一年，打了许多粮食，若不善于保存，让其发霉变质了，一年的辛苦就打了水漂。

只有善于收藏，才能衡量实际收获的多少。

同样，一个学生不停地学习，若不注意归纳总结，一边学习，一边忘记，就做了无用功，其收获甚少。

具体到我们数学分析而言，若将我们所学的数学分析比作一片森林，那么我们数学分析所学的每一个部分就是森林中的一棵树；每个部分研究的对象，就是那棵树的主干；其中的每一章就是这棵树主干上的一个主枝；每章中的每一节就是主枝上的分枝；每节中的各个要点就是分枝上的小枝；每个要点的内容就是这小枝上的树叶。

如果没有适当的归纳总结，没有清晰的思路，摆在我们眼前的只可能是一堆杂陈的树枝和树叶。

只有抓住主干，盯住主枝，再联想到小枝上的树
叶，则整棵树才会在我们的头脑中鲜活起来。

这种采用树结构或提纲式的方法进行归纳总结，是我们经常采用的且行之有效的方法之一。

如果说我们所学数学分析是一个整体，那么它的每个章节就是这个整体的一个局部。

瞎子摸象的故事形象地向我们展示了整体和局部的辨证关系。

只有在研究局部时，把它与整体联系起来，或在研究整体时注意到局部的细节，我们才既能全面把握住整体轮廓，又能准确地把握住局部细节。

事物的发展变化都是有其前因后果的，任何事物的存在都是与其周围的事物有着千丝万缕的联系。

如果我们学习研究每个章节内容的同时，注意到了它与其前后章节知识之间以及与其他学科知识之间的联系和异同，注意到了这些章节内容的前后演变过程，我们就不仅能更加准确地理解和掌握这一章节的精髓，而且能更加深入地探索其中的规律，将其各个部分用一根“红线”连接为一个有机的整体。

其实，我们学习的过程就是近距离地观察树木，是观察那些树叶和小枝，是学习局部的细节知识，站得不近，就看不清楚，学习不细致，就易漏掉许多细节；而归纳总结则是站在远距离观察树木，是观察其轮廓、把握整体的过程，站得不远，就观察不到整个轮廓。

那么做练习则是检查我们观察的结果。

有时过于注意细节，站得太近，就不容易把握住总体的整体轮廓，如同站在繁华的街道之中，不能了解一座城市的全貌一样。

只有处于整个城市的上空向下俯瞰，才能将城市的轮廓尽收眼底。

“不识庐山真面目，只缘身在此山中。

”
总之，归纳总结是学习过程中非常重要的一个环节。

归纳总结的过程是探寻知识内部规律和与外部联系的过程，也就是“悟”的过程，也就是我们通常所说的由“厚”到“薄”的过程。

在学习时，若能养成随时随地归纳总结的习惯，则可大大提高学习效率和学习成绩。

三、归纳总结在数学分析中的应用
数学分析这门课，概念严谨，论证繁琐。

在教学时，可根据教材的特点、结构，认真总结规律，使学生有章可循，学得懂，记得牢。

（一）认识数学分析的结构特点，勾勒出数学分析的基本轮廓。

数学分析尽管内容繁多，它由微分学、积分学及指出二者是一对矛盾的微积分基本定理、以及以此为基础的深化和应用几部分组成。

从整个理论架构和教学的角度看，我们可将它归结为“一条线索”、“两个字”、“三大基本功”、“四大支柱”、“五大综合运用能力”。

“一条线索”即“极限”，可以说极限思想贯穿于整个数学分析的始终。

导数是一种极限，是函数的改变量比上自变量的改变量，当自变量改变量趋向于0时的极限；定积分是一种特殊的和式的极限；级数可以归结到数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某类特殊和式的极限。

所以说极限理论是整个《数学分析》的基础。

“两个字”即“逼近”，很多数学方法都用到了“逼近”的思想，
在近似计算中，用容易求的割线代替曲线，用很短时间间隔的平均速度代替瞬时速度、用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积，用折线段的长度代替所求曲线的长度，用多项式代替连续函数等，这种逼近思想在理论和实际工作中大量运用。

“三大基本功”即熟练深刻地掌握求极限、求导数、求积分的各种方法，而每一种方法中又都包含若干种基本方法。

如求极限的方法至少有10多种，求导数的方法中尤其要十分熟练地掌握复合函数求导的方法。

事实证明，这三大基本功练好了，学习数学分析以及后续课程如微分方程（含偏微分方程）就不会有太大的困难，而且也能做到得心应手。

“四大支柱”是《数学分析》中最深刻、最基本、最能体现《数学分析》特色的四个定理，即确界原理、魏尔斯特拉斯逼近定理、泰勒定理、隐函数定理，它们支撑起《数学分析》的大厦。

“五大综合运用能力”即综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。

“五大综合运用能力”是从教材内容和教学规律出发总结出来的，充分注重五大综合运用能力的教学，教师就能做到居高临下，把握全局，学生就能做到对整个《数学分析》的思想和方法有一个整体的理解，做到融会贯通，而不至对数学分析这个“庞然大物”盲人摸象，条块分割，不得要领。

（二）对某些基本概念,找出共同点及不同点,以利学生对照掌握。

例如我们的积分概念，定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分，事实上都可以归结为黎曼积分，它们是黎曼积分随着几何形体的不同而呈现的不同的表现形式而已。

设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一块平面图形、一块曲面、一块空间区域等等），这个几何形体是可以度量的（也就是说它是可以求长的，或者是可以求面积的，可以求体积的等等），在这个几何形体Ω上定义了一个函数()M f ，将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块1∆Ω， ,2∆Ω，n ∆Ω，既然每一小块
都可度量，故它们皆有度量大小可言，把它们的度量大小仍记为i ∆Ω()n i ,,2,1 =，并令
{}的直径i n
i d ∆Ω=≤≤1max 在每一块中i ∆Ω任意取一点i M ，作下列和式（也称为黎曼和数，或积
分和数）：
()∑=∆Ωn i i i M f 1
如果这个和式不论对于Ω的怎样分划以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要
当0→d 时恒有同一极限I ，则称此极限为()M f 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为：
()⎰ΩΩ=d M f I
也就是 ()∑=→∆Ω=n
i i i d M f I 10lim 这个极限是与分法及i M 取法无关的。

现在我们将根据几何形体Ω的不同形态，进一步给出Ω上积分的具体表示式及名称。

1、如果几何形体Ω是一块可求长的直线段[]b a ,，那么[]b a ,上的积分就称为定积分，在直角坐标下记为
()dx x f b
a ⎰
2、如果几何形体Ω是一块可求面积的平面图形D ，那么D 上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为
()⎰⎰D dxdy y x f ,
3．如果几何形体Ω是一块可以求体积的空间几何体V ，那么V 上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,
4．如果几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为
()⎰l ds z y x f ,,
5．如果几何形体Ω是一可求面积的曲面片S，那么S上的积分就称为第一类曲面积分，记为
()ds
⎰⎰,,
f
y
x
z
S
这是它们的概念，由于它们都属于黎曼积分的范畴，它们的性质也是类似的。

（三）对某些基本定理，理清其来龙去脉，以利掌握。

数学分析的定理多而且很抽象，深刻理解，正确运用定理是学好数学分析的关键。

例如柯西收敛或一致收敛定理，主要有数列、函数、数项级数、广义积分、函数项级数、函数列、含参变量广义积分的柯西收敛（或一致收敛）准则。

这些定理，所涉及的概念分布在教材的不同地方，时间跨度在三学期，学生往往理不清头绪，理解不透，不会应用，将其视为学习的难点。

若在教学中适当地总结，这些定理都来源于数列、函数收敛的柯西收敛准则，后面几个准则都是上述二准则的转化和延伸，就能使学生理清思路，找准重点，便于掌握。

至于“一致”二字无非是所找到的N 对x ∀均成立
1、数列收敛的柯西收敛原理
{}n x 收敛⇔0>∀ε，∃正整数N ，N n >∀，∀自然数p ，ε<-+n p n x x ⇔0>∀ε，∃正整数N ，N m n >∀,， ε<-m n x x
2、平面点列收敛的柯西收敛原理
{}n M 收敛⇔0>∀ε，∃正整数N ，N n >∀，∀自然数p ，
()ε<+p n n M M r ,
⇔0>∀ε，∃正整数N ，N m n >∀,，()ε<+p n n M M r ,
3、函数收敛的柯西收敛原理
()x f x x 0
lim →存在⇔0>∀ε，∃0>δ，δ<-<∀0'0x x ，δ<-<0''0x x ， ()()ε<-'''x f x f
()x f x x 0
0lim +→存在⇔0>∀ε，∃0>δ，δ<-<∀0'0x x ，δ<-<0''0x x ， ()()ε<-'''x f x f
()x f x x 0
0lim -→存在⇔0>∀ε，∃0>δ，00'<-<-∀x x δ，00''<-<-x x δ，
()()ε<-'''x f x f
()x f x ∞→lim 存在⇔0>∀ε，∃0>X ，X x >∀'，X x >''，
()()ε<-'''x f x f
()x f x ∞
→lim 存在⇔0>∀ε，∃0>X ，X x >∀'，X x >''， ()()ε<-'''x f x f
()x f x +∞→lim 存在⇔0>∀ε，∃0>X ，X x >∀'，X x >''，
()()ε<-'''x f x f
()x f x -∞→lim 存在⇔0>∀ε，∃0>X ，X x -<∀'，X x -<''，
()()ε<-'''x f x f
()x f 在0x 连续⇔0>∀ε，∃0>δ，δ<-∀0'x x ，δ<-0''x x ，
()()ε<-'''x f x f
4、数项级数收敛的柯西收敛原理 ∑∞
=1
n n u 收敛⇔0>∀ε，∃正整数N ，N n >∀，∀自然数p ε<++++++p n n n u u u 21 ⇔0>∀ε，∃正整数N ，N m n >∀,()m n > ε<+++++n m m u u u 21
5、广义积分收敛的柯西收敛原理
()dx x f a
⎰
+∞
收敛⇔0>∀ε，∃0>X ，X x >∀'
，X x >'
'，()ε
<⎰'
''x x
dx x f
()dx x f b
a ⎰()为奇点a x =收敛⇔0>∀ε，∃0>δ，δ<<∀''',0x x ()ε<⎰++'
''
x a x a dx x f
6、函数列、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理
(){}x S n 在X 上一致收敛⇔0>∀ε，∃正整数()εN ，N n >∀，∀自然
数p ，X x ∈∀，()()ε<-+x S x S n p n
⇔0>∀ε，∃正整数()εN ，N m n >∀,，X x ∈∀，()()ε<-x S x S m n
()x u n n ∑∞
=1
在X 上一致收敛⇔0>∀ε，∃正整数()εN ，N n >∀，∀自
然数p ，X x ∈∀，()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21
⇔0>∀ε，∃正整数()εN ，N m n >∀,()m n >，X x ∈∀， ()()()ε<+++++x u x u x u n m m 21 7、含参变量广义积分一致收敛的柯西收敛原理 ()dx y x f a ⎰+∞
,关于[]d c y ,∈一致收敛
0>∀⇔ε，()a X >∃ε，X X X >∀'
''
,，[]d c y ,∈∀，()⎰'
''
,X X
dx y x f ε< ()dx y x f b
a ⎰,()为奇点a x =关于[]d c y ,∈一致收敛
⇔0>∀ε，∃()0>εδ，δ<<∀''',0x x ，[]d c y ,∈∀，
()ε<⎰
++'
''
,x a x a dx y x f
其来龙去脉可用框图表示如下：
（四）、对复杂的无从下手的题型，总结解题思路，以便寻找解题方法。

例：对任意项级数的收敛判别法，可总结出如下的审敛程序框图
（五）、对基本论证计算，总结其一般方法，以利学生触类旁通
例：极限的论证计算，其一般方法可归纳如下
1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01
lim =∞→n
n 证：要使
ε<-01
n ，只须ε1>n ，故
0>∀ε，11+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01
n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
例、证明：0!
lim =∞→n a n
n ，0>a
证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤
()ε<⋅≤+⋅==-n
a k a n k a a k a n a n a k
k
n
n
!1!!0! ，ε!1
k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!
n a n
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()
n
n n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞
→ 解：
()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()n
n n n n n 41
125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>
∴ ()()n n n 41
2642125312
>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅ 两边开n 2次方： ()()121
21412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n n
n
n n n
由两边夹：()()
1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞
→n
n n n
4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p
p
n l S →()∞→n
证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n
记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n
再记n n l S α+=()n n l l l βα+=⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛
+=11，其中0→=l
n
n αβ()∞→n 则有()p n p
p
n l S β+=1。

若取定自然数p K >，则当1<n β时
()()()K
n p n K
n βββ+≤+≤-111
()()()K
n p
p
n p n p
K
n p
l S l l βββ+≤=+≤-111
由两边夹得证。

5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易
求极限
例、求极限()
1sin lim 2+∞
→n n π
解：()1sin lim 2+∞
→n n π=()
πππn n n n -++∞
→1sin lim 2
=()()
ππn n n
n -+-∞
→1sin 1lim 2
=()01sin
1lim 2
2
=++-∞
→π
ππn n n
n
6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→，其中K 是自然数
解：令 ()111-+=K
x y
当1<x 时，有 ()x x x K
+≤+≤-1111，所以00→⇒→y x 利用复合函数求极限法则可得 ()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→()()K
y y K K Ky y
y y
K y K y 112
1
lim
1
1lim
20
=
++-+
=-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算
例、2122sin 21lim 2sin 2lim
cos 1lim 2
02
2
020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2
cos
1cos 1lim
0x x
x --→
解：x cos 1-～221
x ，2cos 1x -～2
221⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅x ()0→x
2cos 1cos 1lim 0x x x --→422121lim 2
2
0=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=→x x
x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2
11n
n n x x x +
=
+， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞
→lim 存在，并求此极限。

证明：0>n x 2
11n n n x x x +=
+2212=⋅≥n
n x x
022212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x x x
x x x ，n n x x ≤+1
且 2≥n x ，∴n n x ∞
→lim 存在
令 =l n n x ∞
→lim ，有 2
1
l l l +=，22=l ，2=l
10、利用海涅定理解决极限问题
例、试证明函数()x
x f 1sin =当0→x 时极限不存在 证：取02
21→+
=
π
πn x n ，021
→=
π
n y n ()∞→n
而 ()1=n x f ，()0=n y f ，得证 11、把求极限问题化为导数问题计算 例、求极限()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→，其中K 是自然数
解：()x
x K
x 1
1lim
1
-+→1'1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x K K 1= 12、利用洛必达法则求极限
例、()π
π
--→x x tgx 202
lim 解：令=A ()π
π
--→x x tgx 202
lim ln ln =A ()ππ
--→x x tgx 202
lim ()π
π--→=x x tgx 20
2
ln lim ()t g x x x ln 2lim 02
ππ-=-→()1
02
2ln lim --→-=ππ
x tgx
x ()t g x x x
x 2
202
22s e c lim
--→--=ππ
()21c o s s i n 221lim 2
02-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→x x x x ππ02s i n 24lim 2
02=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛--→x x x πππ 所以()1lim 0202
===--→e A tgx x x π
π
13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算 例、设n
n n S n 21
2111+
++++=
，求n n S ∞→lim 解：n n n S n 212111+++++= n
i n n i +⋅
=∑=11
11，n n S ∞→lim 2ln 1110=+=⎰dx x
14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题
例、求⎰+∞→1
1lim dx x
x n
n
解：由第一积分中值定理
⎰
⎰+=
+1
1
011
1dx x dx x x n n
n ξ1
1
11+⋅
+=
n n ξ，()10≤≤n ξ 所以⎰+∞→1
01lim dx x
x n
n 0=
15、利用收敛级数的必要条件求极限
例、求!
lim n x n
n ∞→
解：已知指数函数的幂级数展开式∑∞
==0!
n n
x
n x e 对于一切R x ∈收敛
而收敛级数的一般项趋于0，故得!
lim n x n
n ∞→0=
16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
例、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-∞
→x x x x 11ln lim 2
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=22
2101211x x x x x 2
2112
1x x o ⎪⎭⎫
⎝⎛-=
原式2
1
=
17、利用柯西收敛准则处理极限问题 例、用Cauchy 收敛准则证明111
135
21
n x n =++++
-无极限. 证: 取010,05
N ε=>∀>,任取,n N p n >=,有
211
11
.2123
414144
n p n n n n n x x x x n n n n n ε+-=-=
+++
≥>=>++-- 故由Cauchy 收敛准则知,{}n x 为发散数列.。