吉林省长春市高三数学下学期模拟测试试题 文 新人教A版

吉林省吉大附中2012-2013学年度第二学期模拟测试
高三数学 （文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数(1)z a i =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
2. 设集合{}
03M x x =<≤，{}
01N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．//,m n m n αα⊥⇒⊥ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒ D ． ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒
4. 若曲线22y x =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则切线l 的方程为（ ） A ．034=++y x B ．490x y +-= C ．034=+-y x D ．420x y --=
5.已知函数88,1,
()0,1,
x x f x x -≤⎧=⎨
>⎩2()log g x x =，
则()f x 与()g x 两函数图象的交点个数为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
6. 已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点
A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若
1
25
3
AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3
7. 若函数(2),2,()1()1, 2.2
x a x x f x x -≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．13(,
]8
-∞
C ．(0,2)
D ．13[
,2)8
8. 已知数列{}n a 中，1a b =（0b >），111
n n a a +=-
+（*
n ∈N ），能使n a b =的n 可以等于（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在答题卡相应位置的横线上。

9. 命题“000,x
x e x ∃∈>R ”的否定是 ．
10．已知向量(1,1)=a ，3⋅=a b ，+=a b =a ，=b ． 11. 在直角坐标系xOy 中，设集合{}
(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点
(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于 ．
12. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ． 13. 执行如图所示的程序框图,输出的T = ．
第12题图 第13题图
14. 已知函数()sin f x x ω=，()sin(2)2
g x x π
=+，有下列命题：
①当2ω=时，()()f x g x 的最小正周期是2
π； ②当1ω=时，()()f x g x +的最大值为
98
； ③当2ω=时，将函数()f x 的图象向左平移
2
π
可以得到函数()g x 的图象.
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，4
cos 5
B =． （Ⅰ）若3b =，求sin A 的值；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，求b ，c 的值 16．（本小题满分13分）
随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）求频率分布直方图中x 的值及身高在170cm 以上的学生人数；
（Ⅱ）将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，
C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B 组中至少有1人
被抽中的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点．
（Ⅰ）求证：AD PC ⊥； （Ⅱ）求三棱锥A PDE -的体积；
（Ⅲ）AC 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若
不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知等比数列{}n a 的公比1q >，
1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*
N ）．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，
且与抛物线2y =有共同的焦
点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP ，
BP 与直线3y =分别交于,G H 两点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段GH 的长度的最小值；
（Ⅲ）在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得TPA ∆的面积为1，若存在求出点T 的坐标，若不存在，说明理由． 20.(本小题满分14分)
已知函数2
()ln f x x x ax =+-．
（Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）设11n a n
=+
（*n ∈N ），求证： 22
2
12123()ln(1)2n n a a a a a a n n ++
+---
-<++．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
A
吉林省吉大附中2012-2013学年度第二学期模拟测试高三数学参考答案 （文科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．x ∀∈R ，x
e x ≤ 10．
12
12．11π 13．20 14． ①②
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为4
cos 5
B =
，又0B π<<，
所以3sin 5
B ==．……………………………………2分
由正弦定理，得 sin 2
sin 5
a B A
b ==．……………………………………6分 （Ⅱ）因为1
sin 32
ABC S ac B ∆==，
所以13
2325
c ⨯⨯=．
所以5c =．……………………………………………………………………9分
由余弦定理，得 2
2
2
2cos b a c ac B =+-
224
252255
=+-⨯⨯⨯
13=．
所以b =……………………………………………………………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知
515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++
所以1
[150.14]0.065
x =
-⨯=．……………………………………3分 身高在170cm 以上的学生人数为
100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=（人）．……………………………5分
（Ⅱ） A ，B ，C 三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此应该从A ，B ，C 三组中每组各抽取
630360⨯
=（人），620260⨯=（人），610160
⨯=（人）．…………………8分
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设A 组的3位同学为1A ，2A ，3A ，
B 组的2位同学为1B ，2B ，
C 组的1位同学为1C ，则从6名学生中抽取2人有15种可能：
12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ， 22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．
其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：
11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ， 22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，
21(,)B C ．
所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93
155
P ==． ……………………………13分 17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，
所以PD AD ⊥．………………………………………………………………2分 又因为ABCD 是矩形，
所以AD CD ⊥． ………………………………………………………………3分 因为PD
CD D =，
所以AD ⊥平面PCD ． 又因为PC ⊂平面PCD ，
所以AD PC ⊥． ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解：因为AD ⊥平面PCD ，
所以AD 是三棱锥A PDE -的高． 因为E 为PC 的中点，且4PD DC ==， 所以111
(44)4222
PDE PDC S S ∆∆=
=⨯⨯⨯=．………………………………………7分 又2AD =， 所以11824333
A PDE PDE V AD S -∆=
⋅=⨯⨯=．………9分 （Ⅲ）取AC 中点M ，连结EM ，DM ，
因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以//EM PA ．
又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，
A
C
所以//PA 平面EDM ．…………………………………………………12分
所以1
2
AM AC =
=． 即在AC 边上存在一点M ，使得//PA 平面EDM ，AM
…………………………………………………………14分
18. （本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为1a 和4a 的一个等比中项，
所以21432a a ⋅==．
由题意可得232
332,12.a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩…………………………………………………………2分
因为1q >，所以32a a >．
解得23
4,
8.a a =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………4分
所以3
2
2a q a =
=． 故数列{}n a 的通项公式2n n a =．………………………………………………6分 （Ⅱ）由于2log n n b a =（n ∈*
N ），所以2n n n a b n =⋅． 231122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅． ①
23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+
+-⋅+⋅． ②
①-②得 231122222n n n S n +-=⋅+++
+-⋅
12(12)
212
n n n +-=-⋅-．
所以 1
122
2n n n S n ++=-+⋅．…………………………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（I
）由已知得，抛物线的焦点为
，则c =1b =．
由2
2
2
a b c -=，可得2
4a =．
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=．…………………………………………4分 （Ⅱ）直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而3(2,3)G k
-．
由22
(2),1.4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=．………………………………6分 设11(,)P x y ，则212164(2)14k x k --=+ ． 所以2
12
2814k x k
-=+，从而12414k y k =+． 即222
284(
,),1414k k
P k k -++又(2,0)B ， 则直线PB 的斜率为14k
-
． 由1(2),
43.y x k y ⎧
=--⎪⎨⎪=⎩
得122,3.x k y =-+⎧⎨
=⎩ 所以(122,3)H k -+．
故33
||2122124GH k k k k
=
-+-=+-． 又0k >
，
31212k k +≥=． 当且仅当
312k k =，即1
2k =时等号成立． 所以当1
2
k =时，线段GH 的长度取最小值8．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当GH 的长度取最小值时，1
2
k =．
则直线AP 的方程为220x y -+=，此时(0,1)P
，||AP =．
若椭圆C 上存在点T ，使得TPA ∆的面积等于1，则点T 到直线AP
所以T 在平行于AP 且与AP
l 上．
设直线1
:2
l y x t =
+． 则由221,2 1.4
y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22
2220x tx t ++-=．………………………………………10分
2248(1)0t t ∆=--≥．即22t ≤．
由平行线间的距离公式，得
=， 解得0t =或2t =（舍去）．
可求得)2T
或(2
T -．…………………………………………13分 20. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数2()ln (0)f x x x ax
x =+->，
则'
1
()2f x x a x
=
+-(0)x >．………………………………………………3分 因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数， 所以'
()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．
即1
20x a x +-≥在(0,)+∞上恒成立． 所以1
2x a x
+≥．
因为当0x >
时，1
2x x
+≥
当且仅当
12x x =
，即2
x =时等号成立．
所以a ≤
故实数a
的取值范围是(-∞．…………………………………………………7分
（Ⅱ）令3a =，则2
()ln 3f x x x x =+-．
'
1()23f x x x =+-2231(21)(1)
x x x x x x
-+--==．
当1x >时，'
()0f x >，
所以()f x 在(1,)+∞上是增函数．
所以1(1)(1)2f f n +>=-．
所以2111
ln(1)(1)3(1)2n n n +++-+>-．
所以2111
3(1)(1)2ln(1)n n n
+-+<++．
即2
132ln(1)n n a a n
-<++．…………………………………………………10分
所以2
1132ln(11)a a -<++，
2
221
32ln(1)2a a -<++，
2
33132ln(1)3
a a -<++，
……
2
1
32ln(1)n n a a n
-<++． 所以22
2
12123()n n
a a a a a a ++
+---
- 22
2
1122(3)(3)(3)n n a a a a a a =-+-++-
23
1
(2ln )(2ln )(2ln
)12
n n
+<++++
++ 2ln(1)n n <++．
故所证不等式成立．……………………………………………………………14分。