排列组合应用题的解题技巧剖析

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2012-10教学实践
排列组合应用题是高中数学的教学难点，由于它联系实际、
生动有趣，一直受到各省高考命题组的青睐。

排列组合的应用题
变化多样，这就要求学生解题思路必须灵活，而能帮助学生解题
的理论，除了两个基本原理（分类计数原理和分步计数原理）外，
并无现成的统一方法可套用。

本文就该问题进行归纳与分析，以
期能对学习者有所启示。

一、画格子法
这是排列组合问题中一种最基本、最常用的方法，绝大多数
问题都可用这种方法解决。

这种画格子的方法实际上就是分步计
数原理。

例1.由数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的5位数？
分析：由于是5位数，故可画5个连续的格子来代替这个数
字。

解题时一般要求从最高的位置开始考虑，如本题所要求的是
个5位数，因此该数的万位必须非零，这就意味着最左边的格子
（万位）内所填数字可以有4种选择（如：1，2，3，4），故可在最左边
的格子内填上4。

对于第二个格子，由于第一个格子已经用了一个
数字，而题目要求数字无重复，故该格子（千位）内所填数字可以
有4种选择，可在该格子内填上4。

同理，第三个格子填3，第四个
格子填2，第五个格子填1。

按分步计数原理可知，本题所求数字
的个数为：n=4×4×3×2×1=96。

二、相邻问题捆绑法
某些排列组合问题中，要求某些元素必须相邻，对于这类问
题，解题的常用方法是：将相邻元素“捆绑”起来看作一个大元素，
然后再与其他元素“重新”排列或组合，从而达到求解目的。

例2.有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2
部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法有多少种？
分析：由于这2部手机必须相邻，所以将这两个元素“捆绑”
在一起看作一个大元素，则本题就看作是4台手机的排列问题
了。

“捆绑”的时候有A22种方法，4台手机有A36种方法，故此题的排
法有A22·A44=48种。

三、相离问题插空法
某些排列组合问题中，要求某些元素互不相邻，对于这类问
题，解题的常用方法是：先排好没有限制条件的元素，然后将这些
要求不相邻的几个元素插入上述元素的空当和两端。

例3.联欢会上要演出3个歌唱节目和5个舞蹈节目，如果歌
唱节目不能连排，那么有几种排节目的方法？
分析：由于歌唱节目不能连排，故先排5个舞蹈节目，有A55种
排法。

在这5个舞蹈节目的中间有4个空当，加上两端有2个空
当，共有6个空当可插入3个歌唱节目，有A36种排法，故此题的排
法有A55·A36=14400种。

四、分组问题分步法
某些排列组合问题牵涉分组，这时应灵活使用分步计数原
理。

经验如下：若n个元素分成p组，各组内的元素个数分别为
m1，m2，…，m p，其中有k组内元素数目相等，那么分组方案为
C m1n C m2n-m
1C m3n-m
1-m2
…C m p m p
A k k种；若n个元素分成p组后再要分给p个人，
则分组方案为
C m1n C m2n-m1C m3n-m1-m2…C m p m
p
A k k·A p p种。

例4.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰
有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2
个。

实际上可理解为把四个不同的小球分成三组，有一组有2个，
有两组有1个，则分组方法有
C14C13C22
A22种。

然后再把它们按组为单
位分给四个盒子，则有
C14C13C22A
22·A
44=144种。

五、交叉问题集合法
某些排列组合问题中，符合各个条件的部分有交集，对于这
类问题，解题的常用方法是：借用求集合元素个数的公式：card（A∪
B）=card A+card B-card（A∩B），然后依题意把这个card（A∪B）减
去即可。

例5.学校从10名学生礼仪队员中选6人列队参加校门口的
值日，其中甲要求不站第一，乙要求不站最后，请问共有多少种不
同的站法？
分析：从10名学生礼仪队员中选6人列队，在没有任何约束
条件下的站法有A610种。

不妨设A=｛甲站第一｝，B=｛乙站最后｝，则
A∪B=｛甲站第一或乙站最后｝，card（A∪B）=A59+A59-A48种。

故符合
题意的站法有A610-（A59+A59-A48）=122640种。

六、定序问题缩倍法
某些排列组合问题中，要求某些元素必须有一定的顺序，对
于这类问题，解题的常用方法是缩倍法。

即先求出所有元素的全
排列，然后除以各受约束元素的全排列。

例6.现有3个红球、2个黄球、3个白球，各个球除了颜色之
外无任何差别，将这8个球排成一排，共有多少种排法？
分析：8个球的全排列有A88种排法，由于同颜色球并无顺序
之分，所以按缩倍法可得A88÷（A33·A22·A33）=560种。

七、定位问题优选法
某些排列组合问题中，要求某些元素需要排在特定位置，对于
这类问题，解题的常用方法是优选法。

即优先排下这个（这些）特
殊元素，然后再排其他元素。

例7.2名指导老师与6名竞赛获奖学生照相留念，若指导老
师不站在两端，则共有多少种不同的排法？
分析：2名老师与6名学生共8人照相，由于老师受位置的条
件约束，故在除两端外的6个位置中优先排老师有A26种排法，然
后剩下的6个位置中排学生有A66种排法，因此本题共有A26·A66=
21600种排法。

本文就排列组合应用题进行归纳与分析，从7个方面为学习
者展示了解题技巧，但应注意的是，这些解题技巧并非彼此独立
的，要解决某一问题，有可能要同时运用到上述多种技巧来处理。

因此，要熟练掌握该问题，还是应该以练为主，练习得来的经验永
远是比背题型、背方法来得牢固。