人教A版高中必修二试题深圳中学 -第一学期期末考试试题.docx

深圳中学 2014-2015学年第一学期期末考试试题
科目：数学 模块：必修2（标准、实验、国际）
命题人：柯友生 审核: 刘斌直
注意事项：用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案答在答题卷．．．上，答在试题卷上无效 下列公式供选用：
1(')3V h S S =+台体, ''1()2S c c h =+正棱台侧 ,34
π3V r =⋅球.
一、选择题：（8小题，每题4分，共32分）
1．斜率为3，在y 轴上的截距为4的直线方程是( A ) A. 340x y -+= B.3120x y --= C. 340x y --= D. 3120x y --= 2．在空间，下列命题中正确的是 ( C ) A ． 没有公共点的两条直线平行 B ． 与同一直线垂直的两条直线平行 C ． 平行于同一直线的两条直线平行
D ．已知直线a 不在平面α内，则直线//a 平面α
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平面内的直线( D ) A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．平行或异面 4．直线
b ax y +=（b a +＝0）的图象可能是( D )
230y +=的直线方程为（ A ） (B) 250x y +-= (C) 250x y +-= (D)270x y -+=
6．右图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是( B )
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．四棱台
D ．三棱台
7．如图所示为一个平面四边形ABCD 的直观图，''//''A D B C ， 且 ''''A D B C =，则它的实际形状( B )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．菱形
D ．矩形
8．圆22
40x y x +-=在点P 处的切线方程为 ( D )
侧视图
俯视图正视图
C
D
1o
o
x
y x
y
D'C'B'
A'y'
x'
1
A
A ．20x +-
= B.40x -
= C.40x -+= D. 20x -+= 二、填空题：（5小题，每小题5分，共25分） 9
．空间两点12(2,3,5),(3,1,4)P P 间的距离12||PP = .
10．若圆1)2()1(2
2
=-+-y x 关于直线y x b =+对称，则实数b = .1 11．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 15π. 12．光线从点
(3,5)A -射到x 轴上，经反射以后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离
为 . 13．直三棱柱1111ABC A B C AC AB AA -==中，，
01160AC A B 且异面直线与所成的角为，
则CAB ∠等于 0
90
三、解答题：本大题共4小题，共43分.
14.（本小题满分10分）已知C 是直线1:3230l x y -+=和直线2:220l x y -+=的交点，
(1,3),(3,1)A B .
（1）求1l 与2l 的交点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积. 解：（1）解方程组 3230,
220,
x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩
得 1,
0.x y =-⎧⎨=⎩
所以1l 与2l 的交点C 的坐标为(1,0)C ----------------（4分） （2）设AB 上的高为h ，则 1
||2
ABC S AB h ∆=
g
||AB = AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为
31
,1331
y x --=-- 即40.x y +-=----------------------------------------------（7分）
点C 到40x y +-=的距离为
h =
=
因此，1 5.2ABC S ∆=
⨯=--------------------（10分） 15.（本小题满分10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1.AD C D ⊥ （1）求证：111ADC BCC B ⊥平面平面； （2
）若1AA AB =，求二面角1C AD C --的大小. 解：
11
1111 (1) C C ABC C C AD AD ABC AD C D DC CC C ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪
⎪
⇒⊥⎬⎪⎪
⎪=⎭
I 平面平面1AD CDC ⊥平面
111 AD BCC B AD ADC ∴⊥⎫⇒⎬⊂⎭
平面平面111ADC BCC B ⊥平面平面……（5分）
(2)11,,C D AD CD AD CDC ⊥⊥∴∠为二面角的平面角 在1Rt C CD ∆
中，01111
,,602
AA AB CD C D CDC =
∴=∠=Q 1C AD C ∴--二面角的大小为0
60.…………………………（10分）
16.（本小题满分11分）已知圆C:22
4210x y x y +-++=关于直线L : 210x y -+=
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
C
C
对称的圆为D.
（1）求圆D的方程
（2）在圆C和圆D上各取点P,Q, 求线段PQ长的最小值。

解：（1）圆C的方程为22
(2)(1)4,(2,1),2
x y C r
-++=-=
圆心：半径：
设圆D的方程为22
()()4,(,)(2,1).
x a y b a b L
-+-=-
则点与关于对称
6
11
1
5
22
12
21
210
5
22
b
a
a
a b
b
+⎧
⎧
=-
⋅=-⎪
⎪⎪⎪
-
∴⇒
⎨⎨
+-
⎪⎪=
-⨯+=
⎪⎪
⎩⎩
，
圆D
：22
612
()() 4.
55
x y
++-=-----------------------------（6分）（2）圆心(2,1) 2.
L
-到大于半径
C l
∴圆与相离，
设线段,,
CD C D
与圆圆直线l分别交于,,
M N F
，
则CD l
⊥，线段PQ l E
与交于点，
||||||
PQ PE EQ
∴=+
||||(||||)4
PE CP QE QD
+++-
=（）
||||4||||4
CE DE PE DF
≥+-≥+-
||4
CD
=-
4
=
当且仅当,
P M Q N
为为时，上式取""
=号
PQ
∴的最小值为 4.----------------------------------（11分）17．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O E
、分别为BD BC
、的中点，
2
CA CB CD BD
====，AB AD
==
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（3）求点E到平面ACD的距离．
解：（I）证明：连结OC
,,.
BO DO AB AD AO BD
==∴⊥
Q
,,.
BO DO BC CD CO BD
==∴⊥
Q
在AOC
∆中，由已知可得1,
AO CO
==
而2,
AC=222,
AO CO AC
∴+=
90,o
AOC
∴∠=即.
AO OC
⊥
,
BD OC O
=
Q I
AO
∴⊥平面BCD………………………………………………（4分）
（II）解：取AC的中点M，连结OM ME OE
、、，
由E为BC的中点知////
ME AB OE DC
，。

l
y
x
E
F
N
M
O
Q
P
D
C
C
∴
OEM ∠就是异面直线AB 与CD 所成的角或补角
在OME ∆中，11,1,222
EM AB OE DC =
=== OM Q 是直角AOC ∆斜边AC
上的中线，1
1,2
OM AC ∴==
12cos 4
EM
OEM OE ∴∠==
…………………………………（8分） （III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h ,
11
.33
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆
∆=∴⋅=⋅Q 在ACD ∆
中，2,CA CD AD ===
12
ACD S ∆∴=
=
而211,224
2CDE AO S ∆=
=⨯
⨯=
17CDE ACD AO S h S ∆∆
⋅∴=== ∴点E 到平面ACD ………………………………（12分）。