行列式定义间的等价性及某些性质的证明

行列式定义间的等价性及某些性质的证明在数学中，行列式是由一组数字组成的方阵，它可以用于表示向量之间的线性关系和线性方程组的解。

这些方阵能够揭示许多有用的性质，并且有许多定义，它们之间存在着等价性。

本文旨在讨论行列式定义间的等价性及其某些性质的证明。

定义一：行列式是由矩阵的每一行的元素的乘积的累积的积，以及每一列元素的乘积的累积的积组成的。

记作D，则
D=[a11a12...a1n|a21a22...a2n|...|an1an2...ann]，其中a11、
a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。

定义二：行列式是由矩阵的每一行的元素的代数和，以及每一列元素的代数和组成的。

记作D，则
D=[a11+a12+...+a1n|a21+a22+...+a2n|...|an1+an2+...+ann]，其
中a11、a12…an1、an2…ann分别表示方阵中的每一个元素。

义一和定义二是行列式的另外两种定义，它们之间存在着等价性，也就是说，相同的行列式拥有相同的值。

实际上，它们之间的关系可以表示成如下形式：D=D1=D2
下面我们将详细说明一下它们之间的联系：
首先，考虑定义一和定义二之间的关系。

由定义一可以看出，行列式的值实际上是每一行元素乘积的累积积以及每一列元素乘积的
累积积的总和。

而定义二表明，行列式的值是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和。

两者之间的等价性可以从另一层角度来看：由定义一可知，每一行乘积的累积积和每一列乘积的累积积之
和正是每一行元素的代数和以及每一列元素的代数和的总和，这正是定义二的内容。

接下来，我们将证明行列式的一些重要性质。

首先我们来证明变换性质。

假设有一个任意维数n的行列式D，那么D的值通过行交换或者列交换都不会变化，仍然保持不变。

给出下式：D=D1=D2，其中D1是行交换后的行列式，而D2则是列交换后的行列式，因此可以认为D1=D2，这也就证明了变换性质。

我们还可以证明行列式的总和性质。

假设有一个任意维数n的行列式D，并令D1、D2和D3为三个不同的行列式，则有：D=D1+D2+D3，这就证明了行列式的总和性质。

最后，我们来证明行列式的乘积性质。

对于一个任意维数n的行列式D，设由行列式D1、D2和D3组成，则有：D=D1*D2*D3。

这正是证明行列式的乘积性质所要求的。

经过上述讨论，我们已经论证了行列式定义间的等价性以及其一些性质的证明。

由此可见，行列式的定义以及相关性质对于研究线性方程组和线性变换有着重要的意义。