数学同步优化指导(人教版选修4-5)课件：第3讲 2 课时 一般形式的柯西不等式

2 2 2 a a2 a a 1 － n 1 1 2 n 求证： ＋ ＋…＋ ＋ ≥ . a1＋a2 a2＋a3 an－1＋an an＋a1 2
思路点拨：分析待证的不等式两端，可见左端的形式是 一个无限的形式，而右端是常数，所以需要从左端的结构特 点进行入手，分析其形式，对比柯西不等式的一般形式，进 行合理变形，结合已知条件中 a1＋a2＋…＋an＝1，利用柯西 不等式转化证明．
1．在一般形式的柯西不等式的右侧中，等号成立的条件记 为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 提示：不可以．若bi＝0，而ai≠0，则k不存在．
2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最
小值为________．
解析：根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a 1 ＋b＋c) ＝1，所以 a ＋b ＋c ≥ . 3 1 答案：3
)
1 A.4 1 C.2
1 B.3 3 D.4
解 析 ： 方 法 一 ： 由 题 设 及 柯 西 不 等 式 得 |ax ＋ by ＋ cz|≤ a2＋b2＋c2x2＋y2＋z2＝20， a b c a b c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号，此时令 ＝ ＝ ＝k， x y z x y z a＋b＋c 1 1 易知 k＝2，∴ ＝k＝2.故选 C. x＋y＋z
第三讲
柯西不等式与排序不等式
二
一般形式的柯西不等式
1 ．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证 明． 2 ．会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式等一 些问题．
名称 形式 等号成立条件 三维形 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈ 当且仅当 b1＝b2＝b3＝
2 2 2 2 式柯西 R，则(a2 ＋ a ＋ a )· ( b ＋ b 1 2 3 1 2＋ 0 或存在一个实数 k 使 2 不等式 b2 ) ≥ ( a b ＋ a b ＋ a b ) 3 1 1 2 2 3 3
4R2 4R2 4R2 于是左边＝(a2＋b2＋c2) a2 ＋ b2 ＋ c2 ≥ 2R 2R 2R2 a· ＋b· ＋c· ＝36R2，当且仅当 b c a
a＝b＝c＝ 3R 时
取等号．
柯西不等式的一般形式的应用
已知 a1，a2，…，an 都是正实数，且 a1＋a2＋…＋an＝1.
2 2 2 a a2 a － a n 1 1 2 n 证明：左边＝ ＋ ＋…＋ ＋ a1＋a2 a2＋a3 an－1＋an an＋a1
得 ai＝kbi(i＝1,2,3)
一般形 式柯西 不等式
设 a1，a2，a3，…，an，b1， 当且仅当 bi＝0(i＝
2 b2，b3，…，bn 是实数，则(a1 1,2，…，n)或存在一个 2 2 2 ＋a2 ＋…＋ a )· ( b ＋ b 2 n 1 2＋…＋ 实数 k，使得 ai＝kbi 2 b2 ) ≥ ( a b ＋ a b ＋…＋ a b ) (i＝1,2，…，n) n 1 1 2 2 n n
用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
2．柯西不等式的两个变式 n ai2 i＝1 2 ai ≥ ，当且 bi n bi
i＝1
(1)设 ai∈R，bi>0(i＝1,2，…，n)，
n
i＝1
仅当 bi＝λai 时(1≤i≤n)等号成立．
(2)设 ai， bi 同号且不为 0(i＝1,2， …， n), 则
→
→
→ →
→ → →
→
→
→

→
→
→
方法三：由题意得 ax＋by＋cz
2 2 2 2 2 2 2 a ＋ x 2 b ＋ y 2 c ＋ z 1 1 ＝2(2ax＋2by＋2cz)≤2 ＋ ＋ 2 2 2
1 ＝4×(40＋40)＝20， a＋b＋c 当且仅当 2a＝x,2b＝y,2c＝z 时取等号，此时 ＝ x＋y＋z a＋b＋c 1 ＝2，故选 C. 2a＋2b＋2c
2 2 2 2
3 ．设x， y， z∈R，且满足 x2 ＋y2 ＋ z2 ＝ 5，则 x＋ 2y＋3z 的 最大值是______．
解析：(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)· (12＋22＋32)＝5×14＝ 70，所以(x＋2y＋3z)max＝ 70.
答案： 70
1．对柯西不等式一般形式的理解 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式 的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不 等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使
1．△ABC 的三边长为 a，b，c，其外接圆半径为 R. 求证：(a ＋b ＋c
2 2 2
1 1 1 )sin2A＋sin2B＋sin2C≥36R2.
证明：由三角形中的正弦定理得 a 1 4R2 sin A＝2R，所以sin2A＝ a2 . 1 4R2 1 4R2 同理sin2B＝ b2 ，sin2C＝ c2 .
答案：C
【授之以渔】
应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数． (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项 的次序．
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结
构，从而达到使用柯西不等式的目的． (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．
n
i＝1
n ai2 i＝1 ai ， b≥
i i＝1
aibi
n
当且仅当 bi＝λai 时，等号成立．
三维柯西不等式的应用
设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝ a＋b＋c 10，x ＋y ＋z ＝40，ax＋by＋cz＝20，则 ＝( x＋y＋z
2 2 2
方法二：设 P(a，b，c)，Q(x，y，z)，则|O P |＝ 10， → → |O Q |＝ 40，∴|OP||O Q |＝20. 又 OP· O Q ＝ax＋by＋cz＝20， ∴O P · O Q ＝|O P |· |O Q |， 即 O P ∥O Q ，且 O P 与 O Q 同向． a b c |O P | 1 a＋b＋c 1 ∴ x ＝ y ＝z ＝ ＝2.∴ ＝2.故选 C. → x＋y＋z |O Q |