空间解析几何习题

空间解析几何习题
习题0—1
1．在空间直角坐标系中，画出下列各点：
)2,1,2(),4,3,0(),4,0,0(-。

2．求点),,(c b a 关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。

3．自点),,(0000z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

4．一边长为a 的立方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。

5．求点)5,3,4(-P 到各坐标轴的距离。

6．在yOz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。

7．证明：以三点)9,1,4(A ，)6,1,10(-B ，)3,4,2(C 为顶点的三角形是等腰三角形。

习题0—2
1．设向量a 与x 同和y 轴的夹角相等，而与z 同的夹角是前者的两倍，求向量a 的方向余弦。

2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？（1）0cos =α；（2）1cos =β；（3）0cos cos ==βα
3．分别求出向量)5,3,2(),1,1,1(-==b a 及)2,1,2(--=c 的模，并写出单位向量000,,c b a 。

4．设向量)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(===k j i ，证明k j i ,,两两正交。

习题0—3
1．设b a ,为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？（1）||||b a b a -=+；（2）
|
|||b b
a a =。

2．设c b a v c b a u -+=+-=3,2，试用c b a ,,表示v u 32-。

3．在A B C ?中，设M ，N ，P 分别为BC ，CA AB 的中点，试用AB CA BC ===c b a ,,表示向量AM ，N B ，CP 。

4．设MB AM =，证明：对任意一点O ，有)(2
1
+=。

5．已知两点)2,1,0(1M 和)0,1,1(2-M ，用坐标表示式表示向量21M M 及212M M -。

6．向量k j i a 744+-=的终点B 的坐标为（2，-1，7），求它的始点A 的坐标，并求a 的模及其方向余弦。

7．已知三力)5,4,3(),4,3,2(),3,2,1(321-=--==F F F 同时作用于一点，求合力F 的大小和方向余弦。

8．求平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量。

习题0—4
1．判别下列结论是否成立，为什么？
（1）若0=?b a ，则O a =或O b =；（2）)()(c b a c b a ?=?；（3）222||||)(b a b a =?。

2．设k j i b k j i a -+=--=2,23，求（1）b a ?及b a ?；
（2）b a ?的夹角的余弦。

3．设向量a 和b 的夹角π?3
2
=，又3||=a ，4||=b ，试计算)2()23(b a b a +?-。

4．已知c b a ,,为单位向量，且满足O c b a =++，计算a c c b b a ?+?+?。

5．已知向量c b a ,,满足条件O c b a =++，证明a c c b b a ?=?=?。

6．求与k j i a 863++=及x 轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？
7．设质量为100千克的物体从点)8,1,3(1M 沿直线移动到)2,4,1(2M ，计算重力所作的功（长度单位为米，重力的方向为z 轴负方向）。

8．已知72||,26||,3||=?==b a b a ，计算b a ?。

9．已知5||,3||==b a ，问λ为何值时b a λ+与b a λ-互相垂直？10．已知向量k j i b k j i a 3,32+-=+-=和j i c 3-=，计算（1）b c a c b a )()(?-?；（2）)()(c b b a +?+；（3）c b a ??)(。

11．已知k j j i 3,3+=+=OB OA ，求OAB ?的面积。

习题0—5
1．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求这动点的轨迹方程。

2．动点到点)0,0,(1a F -与到点)0,0,(2a F 距离的平方和等于常量24a ，求动点轨迹方程。

3．方程0242222=++-++z y x z y x 表示什么曲面？
4．动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方程。

习题0—6
1．平面01111=+++D z C y B x A 与平面02222=+++D z C y B x A 平行（但不重合）的条件是什么？
2．指出下列平面的特殊位置，并画出各平面：（1）0=x ；（2）013=-y ；
（3）0632=--y x ；
（4）03=-y x ；（5）1=+z y ；（6）056=-+z y x 3．求过点（3，0，-1）且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程。

4．求过点M （2，9，-6）且与连接坐标原点的线段OM 垂直的平面方程。

5．求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

6．一平面过z 轴且与052=-+z y x 的夹角为
3
π
，求它的方程。

7．一平面过点（1，0，-1）且平行于向量)1,1,2(=a 和)0,1,1(-=b ，求平面方程。

8．分别按下列条件求平面方程
（1）平行于xOz 而且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；
（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）。

习题0—7
1．求点（1，2，1）到平面01022=-++z y x 的距离。

2．求过点（4，-1，3）且平行于直线
5
1
23-=
=-z y x 的直线方程。

3．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：（1）37423z y x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）
4
3
1232--=
+=-z y x 和3=++z y x 。

4．求过两点1M （3，-2，1）和2M （-1，0，2）的直线方程。

5．用对称式方程及参数方程表示直线=++=+-421
z y x z y x 。

6．求直线?
=--=++00
3z y x z y x 和平面01=+--z y x 间的夹角。

7．求过点M （1，2，-1）且与直线
-=-=+-=1432
t z t y t x 垂直的平面方程。

8．求二直线?
=---=-+-01230
9335:1z y x z y x L 和?
=-++=+-+018830
2322:2
z y x z y x L 的夹角的余弦。

9．直线?
=+-=+-2355
235z y x z y x 在平面125915=+-z y x 内吗？
10．求过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

11．求过点（3，1，-2）且通过直线
1
2354z
y x =+=-的平面方程。

12．求与直线??
+=+-==t
z t y x 211
及112211-=
+=+z y x 都平行且过原点的平面方程。

13．求点（-1，2，0）在平面012=+-+z y x 上的投影。

14．求点P （3，-1，2）到直线?
=-+-=+-+0420
1z y x z y x 距离。

15．求直线?
=---=+-09220
42z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程。

习题0—8
1．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）2=x ；（2）1+=x y ；
（3）422=+y x ；（4）122=-y x ；
2．指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？（1）?
-=+=3215x y x y ；
（2）??
==+319
42
2y y x 3．将xOz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

4．将xOz 坐标面上的圆922=+z x 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

5．将x O y 坐标面上的双曲线369422=-y x 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

习题0—9
1．画出下列方程所表示的曲面：（1）2
222??
=+??? ??-a y a x ；
（2）19
42
2=+-y x ；
（3）14
92
2=+y x ；
（4）02=-z y 2．说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）19
942
22=++z y x ；
（2）14
22
2
=+-z y x
（3）1222=--z y x ；
（4）222)(y x a z +=-
3．画出下列方程表示的曲面：（1）14
922
2=++z y x ；
（2）9
432
2y x z +
=；（3）64416222=-+z y x 。

习题0—10
1．画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）?
==21
y x ；
（2）=---=0
42
2y x y x z ；
（3）=+=+2
22222a
z x a
y x 。

2．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
=-+=++0
16
22
22
222y z x z y x 的柱面方程。

3．求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）。

4．将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）==++x y z y x 0222；（2）?
==+++-04)1()1(22z z y x
5．求螺旋线
===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

6．求曲线
=+-=-+-++0
10
332322z y z x yz y x 在zOx 面上的投影曲线的方程。

7．指出下列方程所表示的曲线
（1）=+++3
25222x z y x
（2）==++1
3094222z z y x ；
（3）-==+-3
254222x z y x ；
（4）==+-+4
08422y x z y ；
（5）??
=-=-0214
92
2x z y 。