2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题19不等式选讲含解析

专题19不等式选讲
解答题
1.(2021•高考全国甲卷•理T23)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--
．
（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若
()()
f x a
g x +≥，求a 的取值范围．
【解析】（1）可得2,2
()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨
-≥⎩
，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+--=+-≤<⎨⎪
⎪≥⎪⎩
，画出函数图像如下：
（2）()|2|f x a x a +=+-，
如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，
()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，
则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，1|2|42a +-=，解得112a =或5
2-（舍去），
则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移
112个单位，11
2
a ∴≥.
2.(2021•高考全国乙卷•文T23)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若
()f x a
>-，求a 的取值范围．
【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的
距离之和，
则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .
（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，
333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，
所以3a a +>-或3a a +<，解得32
a >-
.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
.3.(2021•河南郑州三模•理T23)已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣4|．（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出函数f （x ）的图象；
（Ⅱ）若对∀x ∈R ，f （x ）≤t 恒成立，t 的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c ＝m ，求
的最小值．
【解析】（Ⅰ），图象如图所示，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）max ＝3，则t ≥3，故m ＝3，即a +2b +3c ＝3，由
柯
西
不
等
式
有
，
，
∴
的最小值为3，当且仅当a +c ＝b +c ＝1时等号成立．
4.(2021•河南开封三模•文理T23)已知函数，g （x ）＝|x ﹣1|．
（1）求函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值；
（2）已知θ∈[0，2π），求关于θ的不等式的解集．
【解析】（1）由已知可得，
当且仅当
即
时等号成立，
所以函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值为．
（2）由已知，原不等式可化为
，
①当时，，原不等式化为sin θ﹣cos θ＞2，此时无解，
②当
时，
，原不等式化为sin θ+cos θ＜﹣1，
即，所以，，
综上所述，不等式的解集为（π，）．
5.(2021•河南焦作三模•理T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．
（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，
当﹣1≤x≤时，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，
当x＞时，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，
综上f（x）＝，则对应的图象如图：
（Ⅱ）当a＝0时，不等式不成立，
当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移﹣a个单位得到y＝f（x+a）的图象，
此时对任意x＜1时，y＝f（x+a）总在y＝f（x）的上方，不满足条件．
当a＞0时，y＝f（x+a）的图象最多平移到与y＝f（x）的图象交于点（1，﹣2）的位置，此时a＝2，
此时a的取值范围是（0，2].
6.(2021•四川内江三模•理T23)已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．
（1）求a+b的最小值；
（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．【解析】（1）因为a＞0，b＞0，
所以，
所以a+b＝（a+b）（（4+）＝，
当且仅当且，即a＝，a+b的最小值；
（2）若a+b≥|2x﹣2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则，
当x时，原不等式可化为2x﹣1+4x+2，
所以；
当时，原不等式可化为﹣2x+4+3x+2，
所以，
当x时，原不等式可化为﹣2x+8﹣3x﹣2，
所以﹣，
综上，x的取值范围[﹣]．
7.(2021•安徽蚌埠三模•文T23)已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值
为1，
（1）求实数m的值；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．
【解析】（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，当x（x﹣1）≤0时取到等号，
∴f（x）max＝m﹣1＝1，
∴m＝2．
（2）证明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，
∴ab≤1，
∴++＝+＝≥4，
当且仅当a＝b＝1时取等号．
8.(2021•贵州毕节三模•文T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜x+4；
（Ⅱ）若k是f（x）的最小值，已知m＞0，n＞0，且（k+1）m+n＝1，求证：k2mn≤m+n．【解析】（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
故当x＞2时，f（x）＜x+4⇔2x﹣1＜x+4，解得：x＜5，
∴2＜x＜5．
当﹣1≤x≤2时，f（x）＜x+4⇔3＜x+4，解得x＞﹣1，
∴﹣1＜x≤2．
当x＜﹣1时，f（x）＜x+4⇔﹣2x+1＜x+4，解得x＞﹣1，
∴此时x无解．
综上，f（x）＜x+4的解集为{x|﹣1＜x＜5}；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）≥3，∴k＝3．
由（k+1）m+n＝1，得4m+n＝1，
要证k2mn≤m+n，即9mn≤m+n，即证，
就是证，
又∵m＞0，n＞0，
∵，
当且仅当，即时取“＝”，
∴k2mn≤m+n成立．
9.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣m|x+1|．
（1）若m＝﹣2，求不等式f（x）≥8的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|x+2|+2|x+1|＝，
当x≤﹣2时，﹣3x﹣4≥8，解得x≤﹣4；
当﹣2＜x＜﹣1时，不等式无解；
当x≥﹣1时，3x+4≥8，解得x≥．
综上，不等式的解集为（﹣∞﹣4]∪[，+∞）．
（2）关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，
即为|x+2|≤m（|x+1|+|x+3|），
由于|x+1|+|x+3|≥|x+1﹣x﹣3|＝2，当且仅当﹣3≤x≤﹣1时，等号成立，
所以m≥，
记g（x）＝，
当x≥﹣1时，g（x）＝＝；当x≤﹣3时，g（x）＝＝．
则g（x）＝，
所以g（x）∈[0，]，
所以m≥，
所以实数m的取值范围为[，+∞）．
10.(2021•四川泸州三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x2﹣2x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝+，求证：
．
【解析】（Ⅰ）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
∴f（x）＝|x+6|﹣x2+2x﹣2，
不等式f（x）≥6等价于|x+6|﹣x2+2x﹣2≥6，即或，解得1≤x≤2或∅，
∴不等式f（x）≥6的解集为[1，2]；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，
当时，，
∴，
又∵a，b，c为正实数，a+b+c＝4，
∴
，
∴，当且仅当时等号成立，原命题得证．11.(2021•宁夏中卫三模•理T23．)设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，
正数a，b满足+＝Mab．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．
【解析】（1）分三类讨论如下：
①当x＜﹣1时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；
②当﹣1≤x≤时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，
③当x＞时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）＝﹣，
综合以上讨论得，f（x）的最大值M＝3；
（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，
所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
又因为+＝Mab＝3ab≥2•，
所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
显然①②相互矛盾，
所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．
12.(2021•江西南昌三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣3|+2|x﹣1|．
（Ⅰ）求f（x）的最小值m；
（Ⅱ）已知a＞0，b≥0，若a+2b＝m时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值．【解析】（Ⅰ）因为，
所以当x＝1时，f（x）min＝m＝2，
（Ⅱ）因为m＝2，所以a+2b＝2，则a+2（b+t）＝2t+2，
又因为，所以，
则，所以，则t＝1或t＝﹣3（舍），
当且仅当a＝2（b+1），即a＝2，b＝0时，等号成立．
13.(2021•江西上饶三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）若_____，求a的最小值．
①不等式f（x）≥a2+3a有解；②不等式f（x）≥a2+5a恒成立．请从上述两种情形中
任选一种作答．
【解析】（1）f（x）＝，
因为f（x）≥2，
当x≤﹣2时，﹣4≥2不成立，解得x∈∅；
当﹣2＜x＜2时，由2x≥2，得1≤x＜2；
当x≥2时，由4≥2恒成立，解得当x≥2；
综上，f（x）≥2解集为[1，+∞）；
（2）若选①不等式f（x）≥a2+3a有解，
则f（x）max≥a2+3a，
由（1）知，f（x）max＝4，
所以a2+3a﹣4≤0，解得﹣4≤a≤1；
所以a min＝﹣4；
若选②不等式f（x）≥a2+5a恒成立，
则f（x）min≥a2+3a，
由（1）知，f（x）min＝﹣4，
所以a2+5a+4≤0，解得﹣4≤a≤﹣1；
所以a min＝﹣4．
14.(2021•安徽宿州三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为m，且正实数a，b满足2a+b＝m，求证：a2+4b2≥．【解析】（Ⅰ）|x﹣2|与|x+1|的零点分别是x＝2，x＝﹣1，整个定义域被划分成3个区间，分别讨论如下：
1）当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x+2+x+1＝3，f（x）≤1的解集为空集∅，
2）当﹣1＜x≤2时，f（x）＝﹣x+2﹣x﹣1＝﹣2x+1，﹣2x﹣2x+1≤1，x≤0，取交集得f （x）≤1的解集为[0，2]，
3）当2＜x时，f（x）＝x﹣2﹣x﹣1＝﹣3，f（x）≤1的解集为[2，+∞），
对以上三种情况的结果取并集，不等式f（x）≤1的解集为[0，+∞），
（II）证明：分段函数的最值在分段点处取得，由此可以比较函数在三个分段区间上的最大值，取最大者得m＝3．
由2a+b＝3，，原不等式等价于，
即17（a2+4b2）≥4（2a+b）2，做差比较证明（a﹣8b）2≥0，这是显然的．
15.(2021•安徽马鞍山三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|2x+3|．
（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；
（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）函数f（x）＝|2x+3|．
不等式f（x）≤5﹣f（x﹣3），即|3x+3|+|3x﹣3|≤5，
等价于或或，
解得：﹣2≤x≤2，
所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+|x+a|≤x+5，即|x+a|≤2﹣x，
所以|x+a|≤2﹣x在[﹣1，1]上有解，
即﹣2≤a≤2﹣2x在[﹣1，1]上有解，
所以﹣2≤a≤4．
实数a的取值范围：[﹣2，4]．
16.(2021•江西九江二模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．
【解析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等价为或或，
解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3，
所以原不等式的解集为[，3]；
（Ⅱ）证明：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，
f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），
因为|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，当（ax﹣2）（ax+2）≤0时，取得等号，所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，
即f（x）+f（﹣x）≤0．
17.(2021•江西上饶二模•理T23．)设函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|+2ax，a∈R．
（1）若，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当a＝时，不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|﹣|x+1|+x＞0，
则或或，
解得x≤﹣1或﹣1＜x＜0或x＞1，
∴不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；
（2）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|+2ax ＝0，得|2x ﹣1|﹣|x +1|＝﹣2ax ，
设g （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|＝，h （x ）＝﹣2ax ，
如图，
要使y ＝g （x ）与y ＝﹣2ax 有3个不同交点，则﹣3＜﹣2a ＜﹣1，即＜a ＜．
∴实数a 的取值范围是（
，
）．
18.(2021•江西鹰潭二模•理T23．)设x ，y ，z ∈R ，z （x +2y ）＝m ．（1）若x 2+2y 2+3z 2的最小值为4，求m 的值；
（2）若
，证明：m ≤﹣1或m ≥1．
【解析】（1）x 2+2y 2+3z 2＝（x 2+z 2）+2（y 2+z 2）≥2xz +4yz ＝2（xy +2yz ），当且仅当x ＝y ＝z ，上式取得等号，由题意可得2（xy +2yz ）＝2m ＝4，∴m ＝2．
（2）证明：∵a 2+b 2≥2|ab |，∴2（a 2+b 2）≥（a +b ）2，∴
，
∴|m |≥1，可得m ≤﹣1或m ≥1．
19.(2021•吉林长春一模•文T23．)已知0,0, 4.a b a b >>+=
(I)求证:;
(Ⅱ)求证:
1212
223
a b
++
+.
【解析】(1)证明:因为0,0a b >>,
22
2222
4
a b a b ab
+++
()2
2
a b +=,(当且仅当2a b ==时取等号)(5分)(2)因为4a b +=,所以26,
a b ++=所以()221111*********a a b b
a b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(112
3
623
+=+
,)2a b +=时取等号(10分)20.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T23．)已知a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，a +b ≤2ab ．（Ⅰ）求证：a +b ≥2ab ；（Ⅱ）求a 与b 的值．
【解析】（Ⅰ）证明：∵a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，∴（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ＝（ab ）3+4ab ，
则a +b ≥2ab ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a +b ≥2ab ，又a +b ≤2ab ，∴a +b ＝2ab ，又取等号时，（ab ）3＝4ab ，即ab ＝2，
联立
，解得
或
．
21.(2021•安徽淮北二模•文T23．)设函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|（a ＞0）．（Ⅰ）证明：f （x ）≥2；
（Ⅱ）若f （1）＜4，求实数a 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）证明：∵f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|＝，
∴f （x ）在（﹣∞，﹣）单调递减，在[﹣，]单调递减，在（，+∞）上单调递
减，
∴f （x ）min ＝f （）＝
+≥2，当且仅当x ＝且a ＝2时取最小值，
∴f （x ）≥2；
（Ⅱ）∵f（1）＝|2﹣a|+|1+|＜4（a＞0），
∴|2﹣a|＜3﹣，∴3﹣＞0，解得：a＞①，
当a≤2时，有2﹣a＜3﹣，∴a＜﹣2或a＞1，结合①得：1＜a≤2，
当a＞2时，有a﹣2＜3﹣，∴2＜a＜，
综上：实数a的取值范围是（1，）．
22.(2021•宁夏银川二模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．
（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；
（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．
【解析】（1）当a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，
①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴无解，
②当﹣1＜x＜1时，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，
③当x≥1时，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，
综上所述：不等式f（x）＞0的解集为（，3）．
（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，
∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|，
∴g（x）max|＝|a+b|＝2，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝2，
∴+＝（+）（a+b）×＝（++5）×≥（2+5）×＝，
当且仅当＝，即b＝2a时取等号，
∴+的最小值为．
23.(2021•山西调研二模•文T23)(1)证明：2+1≥
(2)若>0，>0，求B+2+2+1的最大值.
【解析】(1)证明：∵≥r2，当且仅当=时，等号成立，
∴令=1，则有
2≥r1，当且仅当=1时，等号成立，即2+1≥
2+1≥(r1)22，当且仅当=1时，等号成立，
(2)解：由(1)得2+1≥
∴B+2+2+1=(r1)(22(r1)(r1)22+，
又∵(r1)22+2≥=2(+1)⋅，=时，等号成立，即+1= 2，即=12时，等号成立，
∴(r1)(r1)22+2≤=，即B+2+2+1≤
∴当=1=2时，B+22取得最大值，且最大值为
【解析】(1)≥r2，令=1即可得证；
(2)利用(1)的结论可得B+2+2+1≤
本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题．
24.(2021•河南郑州二模•文T23．)已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，
等价为或或，
解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，
所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，
即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，
而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，
当x＝2时，上式取得等号，
所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，
解得1≤a≤2，
即a的取值范围是[1，2]．。