北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系

【知识要点】 一、锐角三角函数：

正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b

A a

tan =;

正弦：．．．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即c

a sin =A ;

余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c

A b cos =;

余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即c

A b cot =;

注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).

（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.

（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

1、三角函数和角的关系

tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。 cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。 2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系 若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；

)90sin(cos A A ∠-︒=

②)90cot(tan A A ∠-︒=；

)90tan(cot A A ∠-︒=

（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝1

3)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA

二、解直角三角形：

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；

(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

(3)边与角之间的关系：

;

cot ,

tan ,

cos ,

sin a

b

A b

a

A c

b

A c

a

A ====

;cot ,tan ,cos ,

sin b

a B a

b B c

a B c

b

B =

=

=

=

(4)面积公式:c ch ab 2

12

1S ==∆(h c 为C 边上的高);

(5)直角三角形的内切圆半径

2

c

b a r -+=

(6)直角三角形的外接圆半径c R 2

1=

三、解直角三角形的应用：

1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．

当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．

2、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．

)。用字母i 表示，即A l

h

i tan ==

◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

图1

图 3

图4

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

【基础训练】 锐角三角函数定义 一、填空题

1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B'AC ′∽______，从而AC

B A B

C C B )

()(='=''，又可得 ①

='

'

'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②

='

'

B A

C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______；

图

2

h

③

=

'

'

'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．

第1题图

2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

第2题图

①斜边

)(sin =A ＝______， 斜边

)(sin =B ＝______； ②斜边

)(

cos =A ＝______， 斜边

)

(

cos =B ＝______；

③的邻边

A A ∠=)

(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______．

3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos

、tan

都是

____________．又称为

的____________．

4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sinA ＝______，cosA ＝______，tanA ＝______， sinB ＝______，cosB ＝______，tanB ＝______．

5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sinA ＝______，cosA ＝______，tanA ＝______， sinB ＝______，cosB ＝______，tanB ＝______．

6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sinA ＝______，cosA ＝______，tanA ＝______，