2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)

2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合2{|20}A x x x =-->，{|(2)0}B x x x =->，则()(R B A =⋂ ) A ．(1,2)-
B ．(0,2)
C ．[2，)+∞
D ．[1-，0)
2．（5分）已知角(0,)απ∈，且1tan()47
πα+=，则sin (α= )
A ．3
5
B ．35
-
C ．
45 D ．45
-
3．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门．李杰同学从10门课程中任选3门，则含有劳动类课程的概率为( ) A ．13
.
15
B ．
2930 C ．1.2
D ．4.5
4．（5分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a n b =，对于数列{}n a ，{}n b ，则5
210
(log a b = )
A ．
193
209
B ．
209
193
C ．
209
289
D ．
289
209
5．（5分）若圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切的圆，被直线0x y -=
截得的弦长为则圆心到直线y x =的距离为( ) A ．4
B
．C
D ．2
6．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232(*)n n S a n N =-∈，则10
62(2
S a =- ) A ．243
B ．244
C ．245
D ．246
7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A ．F
B ．E
C ．H
D ．G
8．（5分）已知2F 是双曲线22
:127
x y C -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,3)A ，
当2APF ∆周长最小时，该三角形的面积为( ) A ．
12
5
B ．
16
5 C ．
185
D ．
245
9．（5分）设函数33
()33
f x ln x x =+-+，则()(f x )
A ．是偶函数，且在(,3)-∞-单调递增
B ．是奇函数，且在(3,3)-单调递减
C ．是奇函数，且在(3,)+∞单调递减
D ．是偶函数，且在(3,3)-单调递增
10．（5分）已知946x
y
=，则2
22()(x y x y
+= )
A ．25
B ．16
C ．9
D ．4
11．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，123AB AA ==，3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C EC D -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．22π
B ．26π
C ．24π
D ．28π
12．（5分）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2k 项，其中k 项为0，k 项为1，且对任意2m k ，1a ，2a ，⋯，m a 中0的个数不少于1的个数．若5k =，则形如“0001⋯”的不同的“规范01数列”的个数为( ) A ．16
B ．14
C ．12
D ．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = ． 14．（5分）安排3名志愿扶贫干部完成4个贫困村的脱贫工作每人至少完成1个村的脱贫工作，每个村的脱贫工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种．
15．（5分）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==
，12||z z -=12||z z += ． 16．（5分）设有下列四个命题：
1p ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
2p ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合． 3p ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
4p ：若直线//n 平面α，直线n ⊥直线b ，则直线b ⊥平面α．
则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧；②12p p ∧；③23p p ⌝∨；④34p p ⌝∨
三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos2cos2()cos22sin sin()1A A B B A A B ++-=++．
（1）求B ；
（2）若ABC ∆
ABC ∆的周长最大时，求它的面积．
18．（12分）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
（1）求相关系数r 的大小（精确到0.01)，并判断管理时间y 与土地使用面积x 的线性相关程度；
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
参考公式：
2
2
1
2
2
1
1
()()
()()()()()
()
()n
i
i i n
n
i
i
i i x
x y y n ad bc r K a b c d a c b d x
x y
y ===---==++++--∑∑∑，其中n a b c d =+++．
临界值表：
20()P K k
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：48522.02≈．
19．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>短轴的两个顶点与右焦点2F 的连线构成等边
三角形，离心率和长半轴的比值为3
4
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F ，与C 交于P ，Q 两点，当2PQF ∆的面积最大时，求直线PQ 的方程．
20．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11BCC B 为菱形，G 为其两对角线的交点，123BC =，122A C =，D ，E 分别为11A C ，1BB 的中点，顶点1B 在底面ABC 的射影O 为底面中心．
（1）求证：//DE 平面1ABC ，且1B C ⊥平面1ABC ； （2）求二面角1B AC C --的正弦值．
21．（12分）已知函数2()cos cos2f x x x a =-． （1）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性；
（2）证明：当18a =-时，9
0()8
f x ；
（3）若函数()f x 在区间[0，]π上有且只有两个零点，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin (cos 2x y ααα
=⎧⎨=⎩为参数），直线2C 的极坐标方程为6π
θ=-．
（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|1|3|1|f x x x =-++． （1）画出()y f x =的图象；
（2）求不等式()(1)f x f x >-的解集．
2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合2{|20}A x x x =-->，{|(2)0}B x x x =->，则()(R B A =⋂ ) A ．(1,2)- B ．(0,2)
C ．[2，)+∞
D ．[1-，0)
【解答】解：
{|1A x x =<-或2}x >，{|0B x x =<或2}x >，
{|12}R A x x ∴=-，()[1R B
A =-，0)．
故选：D ．
2．（5分）已知角(0,)απ∈，且1tan()47
πα+=，则sin (α= )
A ．3
5
B ．35
-
C ．
45 D ．45
-
【解答】解：因为tan 11
tan()41tan 7
πααα++==-，
所以解得sin 3tan cos 4ααα=
=-，可得4sin cos 3
α
α=-
， 又(0,)απ∈，22sin cos 1αα+=， 所以224sin sin ()13αα+-=，可得29
sin 25
α=
， 解得3sin 5
α=
． 故选：A ．
3．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门．李杰同学从10门课程中任选3门，则含有劳动类课程的概率为( ) A ．13
.
15
B ．
2930 C ．1.2
D ．4.5
【解答】解：从10门课程中任选3门，一共3
10
120C =种， 其中艺术类课程的选法有3
4
4C =种， 设“含有劳动类课程”为事件A ，则429
()112030
P A =-=
． 故选：B ．
4．（5分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a n b =，对于数列{}n a ，{}n b ，则5
210
(log a b = )
A ．
193
209
B ．
209
193
C ．
209
289
D ．
289
209
【解答】解：由题意可知数列{}n a 是等差数列，且15a =， 设其前n 项和为n S ，公差为d ， 则3013029303902S a d ⨯=+
=，解得16
29
d =
， 所以1616129
5(1)2929
n n a n +=+-⨯
=
， 所以5521010165129209
1610129289
a a log
b a ⨯+===
⨯+， 故选：C ．
5．（5分）若圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切的圆，被直线0x y -=
截得的弦长为则圆心到直线y x =的距离为( ) A ．4
B
．C
D ．2
【解答】解：设圆心坐标为(,3)a a ，则|3|r a =， 圆心到直线0x y -=
的距离|d a =
，
∴222|)|3|a a +=，解得||1a =，
所以圆心到直线y x =
=
=
故选：C ．
6．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232(*)n n S a n N =-∈，则10
62(2
S a =- ) A ．243
B ．244
C ．245
D ．246
【解答】解：12323()2n n n n S a S S -=-=--， 113(1)(2)n n S S n -∴+=+，
由1111232213a a a a =-⇒=⇒+=，
∴数列{1}n S +是首项与公比均为3的等比数列，
13n n S ∴+=，
65566533232243486a S S ∴=-=-=⨯=⨯=，
∴
105510622(31)(31)(31)(2431)(2431)
24424862242242S a ⨯-+-+-====--， 故选：B ．
7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A ．F
B ．E
C ．H
D ．G
【解答】解：根据几何体的三视图可知，该几何体一个三棱锥，一个四棱锥和三棱柱的组合体， 如图所示：
由直观图可知，该端点在侧视图中对应的点为F ． 故选：A ．
8．（5分）已知2F 是双曲线22
:127
x y C -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,3)A ，
当2APF ∆周长最小时，该三角形的面积为( ) A ．
12
5
B ．
165
C ．
185
D ．
245
【解答】解：设左焦点为1(3,0)F -，右焦点为(3,0)F ．
APF ∆周长为
111||||||||||(||2)||||||2||||2AF AP PF AF AP PF a AF AP PF a AF AF a ++=+++=+++++，
当且仅当A ，P ，1F 三点共线，即P 位于0P 时，三角形周长最小．
此时直线1AF 的方程为3y x =+，代入22
127
x y -=中，
可求得08(5P -，7
)5
，
故01
1011724
6362255
AP F
AFF F P F
S
S
S
=-=⨯⨯-⨯⨯=
． 故选：D ．
9．（5分）设函数33
()33
f x ln x x =+-+，则()(f x )
A ．是偶函数，且在(,3)-∞-单调递增
B ．是奇函数，且在(3,3)-单调递减
C ．是奇函数，且在(3,)+∞单调递减
D ．是偶函数，且在(3,3)-单调递增
【解答】解：由题意可得30
30x x +>⎧⎨->⎩
，解得33x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,3)-，
333
3
()33()3
3
f x ln x ln x f x x x -=++--=--+，
所以()f x 为奇函数，
由复合函数的单调性可知313
y ln x =+为减函数，33y ln x =-为减函数，
所以33
1()33
f x ln ln x x =+-+为减函数．
综上可知，()f x 是奇函数，且在(3,3)-单调递减． 故选：B ．
10．（5分）已知946x
y
==，则2
22()(x y x y
+= )
A ．25
B ．16
C ．9
D ．4
【解答】解：由946x y ==，得931664x log log ==，421
664
y log log ==，
∴61
43log x =，6142log y =，
∴22222222
22()211211
()x y x xy y x y x y x y xy x y
+++==++=+ 22666(4342)(46)16log log log =+==． 故选：B ．
11．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，123AB AA ==，3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C EC D -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．22π B ．26π
C ．24π
D ．28π
【解答】解：如图，
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(0C ，30)，1(0D ，0，23)，(3E 323)， 设△11CC D 的外心为G ，则(0G 33)，
设球O 的球心为(O a ，半径为R ，则||||OC OE R ==，
22233(3)3R a a ∴=++=-+， 解得1a =，则27R =，
∴球O 的表面积为2428R ππ=．
故选：D ．
12．（5分）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2k 项，其中k 项为0，k 项为1，且对任意2m k ，1a ，2a ，⋯，m a 中0的个数不少于1的个数．若5k =，则形如“0001⋯”的不同的“规范01数列”的个数为( ) A ．16
B ．14
C ．12
D ．9
【解答】解：当5k =时，数列中共有10项，其中5项为0，5项为1， 若对任意2m k ，1a ，2a ，⋯，m a 中0的个数不少于1的个数，
则00a =，101a =，而形如0001⋯的规范01数列的前4项为0001，且101a =，
所以当50a =时，6a ，7a ，8a ，9a 中任意有一项为0即可，共有1
4
4C =种， 当51a =且60a =时，则7a ，8a ，9a 中任意有一项为0即可，共有1
3
3C =种， 当51a =且61a =时，则7a 必为0，8a ，9a 中有一项为0即可，共有1
2
2C =种， 综上，满足题意的共有4329++=种， 故选：D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = 2 ．
【解答】解：由题可知，2(2)28a b -=，
224||4||||cos120||28a a b b ∴-⋅︒+=，即21
4442||()||282
b b ⨯-⨯⨯⨯-+=，
解得，||2b =．（负值舍去） 故答案为：2．
14．（5分）安排3名志愿扶贫干部完成4个贫困村的脱贫工作每人至少完成1个村的脱贫工作，每个村的脱贫工作由1人完成，则不同的安排方式共有 36 种．
【解答】解：根据题意，3名志愿扶贫干部完成4个贫困村的脱贫工作，其中1名志愿者必须完成2个贫困村的工作，其他2人其他2个村的脱贫工作，
分2步进行分析：
①将4个贫困村分为3组，有2
4
6C =种方法， ②将分好的三组安排给三名志愿者，有3
3
6A =种情况， 则有6636⨯=种不同的安排方式； 故答案为：36．
15．（5分）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12||z z -=12||z z += 2 ．
【解答】解：因为12||||2z z ==，12||z z -=， 所以222112212||2||22412z z z z z z -+=-+=， 则1224z z =-，
所以222121122||||2||4444z z z z z z +=++=-+=， 故12||2z z +=． 故答案为：2．
16．（5分）设有下列四个命题：
1p ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
2p ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合． 3p ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
4p ：若直线//n 平面α，直线n ⊥直线b ，则直线b ⊥平面α．
则下述命题中所有真命题的序号是 ②④ ． ①14p p ∧；②12p p ∧；③23p p ⌝∨；④34p p ⌝∨
【解答】解：命题1p 为真命题．事实上，共点的三条直线可能在同一个平面内，也可能不在同一平面内．如三棱锥，从同一顶点出发的三条侧棱就不在同一平面内．
命题2p 为真命题．公理三知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且仅有一条过该点的公共直线．若两个平面有三个不共线的共同点，则这两个平面必定重合． 命题3p 为假命题．若三个平面两两相交，则交线交于一点或互相平行．
命题4p 为假命题．直线//n 平面α，直线n ⊥直线b ，则直线b 与平面α相交，平行，或在平面α内．
综上可知，1p 为真命题，2P 为真命题，3P 为假命题，4P 为假命题，14p p ∧为假命题，12
p p ∧
为真命题，23p p ⌝∨为假命题，34()p p ⌝∨为真命题． 故答案为：②④．
三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos2cos2()cos22sin sin()1A A B B A A B ++-=++．
（1）求B ；
（2）若ABC ∆
ABC ∆的周长最大时，求它的面积． 【解答】解：（1）因为cos2cos2()cos22sin sin()1A A B B A A B ++-=++， 所以cos2cos2()cos22sin sin()1A C B A C ππ+--=-+， 可得cos2cos2cos22sin sin 1A C B A C +-=+，
可得：22212sin 12sin 12sin 2sin sin 1A C B A C -+--+=+， 可得222sin sin sin sin sin A C B A C --+=， 由正弦定理可得：222a c b ac +-=-，
可得2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +--===-，
因为(0,)B π∈， 所以23
B π=
． （2）因为ABC ∆
23B π
=
=3b =， 所以由余弦定理知，2222223
92cos ()()()2()24
a c
b a
c ac B a c ac a c a c +==+-=+-+-=+，
当且仅当a c ==时，等号成立，
所以23a c +，此时ABC ∆
的周长最大值为3+3ac =， 所以ABC ∆
的面积11sin 322S ac B ==⨯=
18．（12分）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
（1）求相关系数r 的大小（精确到0.01)，并判断管理时间y 与土地使用面积x 的线性相关程度；
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
参考公式：
2
2
()()
()()()()()
n
i
i x
x y y n ad bc r a b c d a c b d ---==++++∑，其中n a b c d =+++．
临界值表：
20)k
参考数据：48522.02≈． 【解答】解：（1）由题意可得1234535x ++++=
=，911142620
165
y ++++==，
∴5
1
()()(2)(7)(1)(5)0(2)1102437i i i x x y y =--=
-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，
5
5
2
2222222221
1
()
()[(2)(1)012][(7)(5)(2)104]1940i
i
i i x
x y
y ==--=-+-+++⨯-+-+-++=∑∑，
∴0.84r =
≈，
∴管理时间y 与土地使用面积x 具有较强的相关性．
（2）由题意可知：
∴2
300(140604060)2510.828200100180120
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
∴有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3， 3464
(0)()5125P X ===
； 12
34148(1)()55125P X C ==⨯=
； 2234112
(2)()55125P X C ==⨯
=
； 311
(3)()5125
P X ===
； 所以X 的分布列为：
64481213()0123
1251251251255
E X ∴=⨯
+⨯+⨯
+⨯=． 19．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y
C a b a b
+=>>短轴的两个顶点与右焦点2F 的连线构成等边
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F ，与C 交于P ，Q 两点，当2PQF ∆的面积最大时，求直线PQ 的方程．
【解答】解：（1）由题可知，2a b =，e a =
所以2
c =
， 把2a b =，2
c =代入222a b c =+， 得24a =，
所以2
2
14
a b ==，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
（2）设直线l 的方程为：3x my =-，(P P x ，)P y ，(Q Q x ，)Q y ， 联立22
314
x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)2310m y my +--=，
所以2234p Q m y y m +=
+，2
1
4
P Q y y m =-+， 设P Q y y >，则22121
||()3()42
PQF P Q P Q P Q S F F y y y y y y =-=+-
2222
222
12448(1)
3(4)4(4)m m m m m +=+=+++， 因为22222222
2222(4)[(1)3](1)6(1)99(1)6121111
m m m m m m m m m +++++++===+++++++，
当且仅当229
(1)1
m m +=+，即22m =时，上式取等号，
此时2
PQF S
取得最大值为2，
所以直线l 的方程为23x y =±-，即230y x ±--=．
20．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11BCC B 为菱形，G 为其两对角线的交点，123BC =，122A C =，D ，E 分别为11A C ，1BB 的中点，顶点1B 在底面ABC 的射影O 为底面中心．
（1）求证：//DE 平面1ABC ，且1B C ⊥平面1ABC ； （2）求二面角1B AC C --的正弦值．
【解答】（1）证明：①取1AA 中点M ，因为D ，E 分别为11A C ，1B B 的中点，
所以1//DM AC ，//EM AB ， 又DM
EM M =，1
AC AB A =，所以平面//DME 平面1ABC ，
又DE ⊂平面DME ，所以//DE 平面1ABC ； ②侧面11BCC B 为菱形，所以11BC B C ⊥，
又1B O ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AB B O ⊥， 又O 为正三角形ABC ∆的中心，所以CO AB ⊥，且1CO B O O =，
所以AB ⊥平面1CB O ，又1B C ⊂平面1CB O ， 所以1B C AB ⊥，又1AB BC B =，
所以1B C ⊥平面1ABC ；
（2）解：以O 为坐标原点，Ox ，OC ，1OB 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为O 为边长为2的正ABC ∆的中心，
所以223OC =⨯
所以1(1,(1,C B A B -， 设1(C m ，n ，)p ，由11BB CC =，
则((,)m n p -=
，解得1,m n p =-==
，
所以1(C -，
故14326
(2,0,0),(0,
,),(1,33
AB AC CA ===-， 设平面1BAC 的法向量为(,
,)n x y z =， 则有120
4303n AB x n AC
y ⎧⋅==⎪⎨
⋅=+=⎪⎩
， 令1y =-，则z ，所以(0,1,n =
-， 设平面1
AC C 的法向量为(,,)m a b c =， 则有143030m AC m CA a ⎧⋅=
=⎪⎨⎪⋅=-=⎩
，
令1b =-，则3a =，2c =，所以(3,1,2)m =-，
所以||122
|cos ,|||||236
n m n m n m ⋅+<>=
==⨯，
所以二面角1B AC C --的正弦值为222
1(
)22
-=．
21．（12分）已知函数2()cos cos2f x x x a =-． （1）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； （2）证明：当18a =-时，9
0()8
f x ；
（3）若函数()f x 在区间[0，]π上有且只有两个零点，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）2()2cos (sin )cos2cos (2sin 2)sin 2(2cos21)f x x x x x x x x '=-+-=-+．
当(3x π∈，2)(23
ππ
⋃，)π时，()0f x '>，
当(0x ∈，)(32ππ
⋃，2)3π时，()0f x '<，
()f x ∴在区间(3π，)2
π
和2(3π，)π上单调递增，
在区间(0,)3π和(2
π
，2)3π上单调递减．
（2）证明：当18a =-时，21
()cos cos28
f x x x =+，
由（1）知()f x 在区间[0，]π的最大值为(0)f 、()2
f π
、()f π中的最大者，
而1()28
f π=，
故()f x 的最大值为98，最小值为2()()033
f f ππ
==，
而()f x 是周期为π的周期函数，故90()
8
f x ．
（3）()f x 在[0，]π上有且只有两个零点，可得()0f x =在[0，]π上有两组解．
2()cos cos2g x x x =，()g x 的单调性与性质均与()f x 相同．
(0)()1g g π∴==，21
()()338
g g ππ==-，()02g π=，
()g x 在[0，]π上的图像如图所示：
∴在[0，]π上，当01a <时，或18
a =-时，
()y g x =与y a =的图像有且只有两个交点，
即[0a ∈，1]或1
8
a =-时，()f x 在[0，]π上有且只有两个零点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin (cos 2x y ααα
=⎧⎨=⎩为参数），直线2C 的极坐标方程为6π
θ=-．
（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．
【解答】解：（1）已知曲线1C 的参数方程为sin (cos 2x y α
αα
=⎧⎨=⎩为参数），根据2cos212sin αα
=-转换为普通方程为：221y x =-+； 直线2C 的极坐标方程为6
π
θ=-
330x y +=．
（2）设直线l 的方程为3
3
y x b =-+，由于直线l 与抛物线相切， 故2213
3y x y x b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩
，
整理得23
2103
x x b -+-=， 利用2
3()42(1)03
b =--⨯⨯-=， 解得2524
b =
， 故直线的方程为325324
y x =-
+． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|1|3|1|f x x x =-++． （1）画出()y f x =的图象；
（2）求不等式()(1)f x f x >-的解集．
【解答】解：（1）根据题意，42,1
()|1|3|1|24,1142,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=+-⎨⎪+>⎩
，
则对应图象如图：
（2）设()()(1)g x f x f x =--，
则4,1
62,10()|1|3|1||2|3||2,012,124,2
x x x g x x x x x x x x x -<-⎧⎪+-<⎪⎪
=-++---=<⎨⎪<⎪⎪⎩，
若()(1)f x f x >-，即()0g x >，必有620x +>，
解可得
1
3 x>-，
故不等式的解集为
1
(
3
-，)
+∞．
第21页（共21页）。