高考数学第一轮复习之数列通项公式的求法

n n n 1
n +1 n 数列通项公式的求法
2019/10/24
I. 题源探究·黄金母题
【例 1】已知数列{a }满足 a = 1 , a = 2a +1(
n ∈ N *
) ．
【例 2】已知数列{a }的前 n 项的和为 S = n 2 - 2n
+ 3 ，则数列的通项公式为 ．
n
精彩解读
【试题来源】例 1：人教 A 版必修 5P 33A 组 T 4 改编；例 2：人教 A 版必修 5P 45 练习 T 2 改编． 【母题评析】例 1、例 2 考查数列通项公式的求法．
【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来求解；或利用 a n 与 S n 的关系， 用作差法求数列的通项公式．
II. 考场精彩·真题回放
【例 3】【2017 高考新课标 1 文 17】记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，已知 S 2=2，S 3=-6．
（1） 求
{a n }的通项公式；
（2） 求 S n ，并判断 S n +1，S n ，S n +2
是否成等差数列． 【例 4】【2017 高考新课标 2 文 17】已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 等比数列{b n }的前 n 项和为T n ，
a 1 = -1,
b 1 = 1, a 2 + b 2 = 2
(1)若 a 3 + b 3 = 5 ，求{b n }的通项公式；
（2）若T = 21，求 S ．
【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
【考试方向】这类试题在考查 题型上，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易； 也可以为解答题，往往与等差
（比）数列、数列求和、不等 式等问题综合考查，难度中等．
【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数 列（等差数列、等比数列）来
3
3
求其通项公式．
【例 5】【2017 高考新课标 3 文 17】设数列{a n }满足
a 1 + 3a 2 + + (2n -1)a n = 2n ．
（1） 求
{a n }的通项公式；
⎧ a
（2） 求数列
⎩ ⎭ ⎫ 的前 n 项和．
⎨ 2n +1⎬
III. 理论基础·解题原理
如果数列{a n }的第 n 项 a n 和项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通 项公式．即 a n =
f (n) ．不是每一个数列都有通项公式．不是每一个数列只有一个通项公式．
IV.题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．
【技能方法】
数列的通项的常见求法：
1.公式法：若在已知数列中存在：a
n+1
-a
n
=d (常数)或a
n+1
a
=q,(q ≠ 0) 的关系，可采用求等差数列、
n 等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：S n =
f (a
n )或S
n
=
f (n) 的关系，
可以利用项和公式a
⎧S1 =
(n = 1)
，求数列的通项．
n ⎨
S -
⎩n S n-1
(n ≥ 2)
2.累加法：若在已知数列中相邻两项存在：a n -a n-1 =f (n) (n ≥ 2) 的关系，可用“累加法”求通项．
3.累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：
a n a n 1
= g (n )(n ≥ 2) 的关系，可用“累乘法”求通项．
4. 构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列（等比数列）求解．
5. 归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 a n 与项数 n 的关系，猜想数列的通
项公式，最后再证明．
V. 举一反三·触类旁通
考向 1 公式法求数列的通项
使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知 S n =
f (a n )或S n = f (n ) ．
解题步骤：已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量 a 1 , d (q ) ，再代入等差（比）
数列的通项公式；已知 S = f (a )或S = f (n ) 的关系，可以利用项和公式 a
⎧S1 =
(n 1) ，求n n n
S - n ⎨ ⎩ n S n -1
n n 1 n +1 n (n ≥ 2)
数列的通项． 【例 1】已知数列{a } 满足 a
= 2a + 3⨯ 2n ， a = 2 ，求数列{a } 的通项公式． n n +1 n 1 n
【例 2】已知数列{ a }， S 是其前 n 项的和，且满足 a = 2 ，对一切 n ∈ N * 都有 S = 3S + n 2 + 2
成立，设b n = a n + n ．
（1）求 a 2 ；（2）求证：数列{ b n }
是等比数列；
1 1 （3）求使
b 1
b
2
+
1
+⋅⋅⋅+
b
n
40 81
成立的最小正整数n 的值．
【例 3】数列{ a }的前 n 项和为S ，a =1，a
= 2S ( n∈N *)，求{ a }的通项公式．
n n 1
n+1 n n 考向 2 累加法求数列的通项
使用情景：在已知数列中相邻两项存在：a
n -a
n-1
=f (n) (n ≥ 2) 的关系；
解题步骤：先给递推式a
n -a
n-1
=f (n) (n ≥ 2) 中的n 从2 开始赋值，一直到n ，一共得到n -1个式子，
再把这n -1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项．
【例 4】已知数列{a
n } 满足a
n+1
=a
n
+ 2n + 1，a
1
= 1 ，求数列{a
n
} 的通项公式．
【例 5】已知数列{a
n
} 满足a n+1
a
n
+ 2⨯3n +1，a
1 = 3 ，求数列{a
} 的通项公式．
n
【例6】已知数列{a }，{b }，a
= 1，a =a
+2n-1，b =a
n-1
+1
，S 为数列{b }的前n 项和，T 为
n n 1
数列{S n}的前n 项和．
n n 1
a a n
n n n n
n+1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n 项和S n；
（3）求证：T n >
n - 1 ． 2 3
考向 3 累乘法求数列的通项
使用情景：若在已知数列中相邻两项存在：
a n a n -1
= g (n )(n ≥ 2) 的关系．
解题步骤：先给递推式
a n a n 1
= g (n )(n ≥ 2) 中的 n 从 2 开始赋值，一直到 n ，一共得到 n -1个式子，再把这 n -1个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项．
【例 7】【2018 河南平顶山高二第一学期期末调研考试】定义数列{a n } 如下：a 0 = 1，a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 时，
a 2
b 2 b 有a n = a n -1 + n -1 ．定义数列{b n } 如下： b 0 = 1， b 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时，有b n = b n -1 + n -1 ，则 2017 = a n -2
b n 2
a
2018 （）
【例 8】已知数列{a
n } 满足a
1
= 1，a
n
=a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
+ + (n -1)a
n -1
(n ≥ 2) ，求{a
n
} 的通项公式．
【例9】已知数列{a n}满足a1=
2
n+1 =
3 , a
n n 1
a n , 求a
n
考向 4 待定系数法求数列的通项
【例 10】已知数列{a
n
} 满足a
n 1
1
2a
n
+ 3⨯5n，a
=6，求数列{a n}的通项公式．
} 满足a 【例 11】已知数列{a
n
n+1
3a
n
+ 5⨯2n + 4，a
1 = 1 ，求数列{a
} 的通项公式．
n
} 满足a
【例 12】已知数列{a
n
n+1
2a
n
+ 3n2 + 4n + 5，a
= 1 ，求数列{a
n
} 的通项公式．
考向 5 对数变换法求数列的通项
【例13】已知数列{a } 满足a = 2⨯3n ⨯a5 ，a = 7 ，求数列{a } 的通项公式．
n n+1 n 1 n
考向 6 迭代法求数列的通项
【例 14】已知数列{a } 满足a
=a3(n+1)2n，a
= 5 ，求数列{a } 的通项公式．
n n+1 n 1 n
考向 7 换元法求数列的通项
【例 15】已知数列{a
n
} 满足a
n+1 =1
(1+ 4a + 16 n
)，a
1
= 1 ，求数列{a
n
} 的通项公式．
考向 8 不动点法求数列的通项【例 16】已知数列{a } 满足
a
1
= 21a n - 24 ，a = 4 ，求数列{a } 的通项公式． n n +1
1
4a n +1
考向 9 归纳法求数列的通项
使用情景：已知数列的首项和递推公
式． 解题步骤：观察、归纳、猜想、证
明．
【 例 17 】 【 2018 江 苏 省 姜 堰 、 溧 阳 、 前 黄 中 学 高 三 4 月 联 考 】 已 知 数 列 {a n } 满 足
C 1 C 2 C 3 C n *
a n = C n + n +1 + n +2 + n +3 + … + n +n ，n ∈ N ．
2 22 2
3 2n （1） 求 a 1 ， a 2 ， a 3 的值；
（2） 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．
8(n +1) 8
【例 18】已知数列{a n } 满足 a n +1 = a n + (2n +1)2 (2n + 3)2 ，a 1 = 9 ，求数列{a n } 的通项公式． 【例 19】在数列{ a }中， a = 6 ，且 a - a = a n -1 + n +1 (n ∈ N *, n ≥ 2) ．
n 1
（1） 求 a 2 , a 3 , a 4 的值；
n
n n 1 n
（2）猜测数列{ a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．。