八年级下期中复习教案

八年级下数学期中复习 二次根式 学习目标要求：
1． 了解二次根式的概念，理解()0≥a a 是一个非负数，会求被开方数中字母的取值范
围。

2．
.理解和掌握二次根式的性质,正确区分2(0)a a =≥()
()
00a a a a a ⎧≥⎪==⎨
-⎪⎩。

3. 利用二次根式的概念与性质解决实际问题． 学习重点：二次根式的概念与性质．
考点一．正确理解二次根式的概念：a （a ≧0）.
例一 下列式子一定是二次根式的是（ C E ）
A ．
B. C.
D. E. 方法规律：被开方数是以式子形式出现的，要对式子进行分析，挖掘出哪些隐含条件是非负数，然
后根据定义进行判断。

巩固练习：
1. 下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
2. 判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由.
考点二．正确理解二次根式的概念：a ≧0 。

例三：()2
20,x x y y --+=已知求 的值。

答案：()2
1
20.1, 3..3
x x y x y y --+≥===根据组成方程组解得即
方法归纳：根据)2
0,0.a a a ≥≥≥≥的性质，得到非负数相加等于0，只有每一个非负数
等于0，从而把问题转化为解方程组或不等式组。

巩固练习：
1.2440y y -+=，求xy 的值.
2. 若1a b -+()2005
_____________a b -=.
3. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值.
二次根式乘除
)0,0a b =≥≥和)0,0a b =≥对二次根式进行化
简。

1．化简求值：
已知22a b ==
二次根式加减
目标要求：理解掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能正确地合并同类二次根式，熟
练地进行二次根式的四则混合运算。

1.化简求值：
（1）、22
121a b a b a ==+-+已知，的值。

7的小数部分为a ，整数部分为b ，求b-b
3
的值。

3.若m 5x+3y 的值.
勾股定理
知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab
练习1.如图，已知：，，于P. 求证：.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.
知识点二：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

知识点三：勾股定理及其逆定理的基本用法
例题。

若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解
知识点四：勾股定理的应用
例题2、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
平行四边形
知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）：
ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧.
54321
）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；
（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（
2.平行四边形的判定（难点）：
.
3. 矩形的性质：
因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧.3;
2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形． ⇒四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧.321
角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；
（有通性；）具有平行四边形的所（ A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A
D B
C
A
D B
C O
C
D
A
O
C
D
A
B A B
C
D O
6. 菱形的判定：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪
⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；
）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（
8. 正方形的判定：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.
C
D
B
A
O
菱形。

中心对称图形又是轴对称图形。

②
(b 、c
为两条对角线的长)
正 方 形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。

①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。

①
(a 为边
长)； ②(b 为
对角线长)
例题1如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）
A . 3
B .3.5
C .2.5
D .2.8
【解析】设CE 的长为x ,因为EO 垂直平分AC ，所以AE =CE =x ,所以ED =4-x , 在Rt △CED 中，由勾股定理得CD 2+ED 2=CE 2，22+（4-x ）2=x 2,解得x =2.5. 【答案】C .
【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。

2.如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，得到△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论： ①S 1+S 2=S 3+S 4 ② S 2+S 4= S 1+ S 3
③若S 3=2 S 1，则S 4=2 S 2 ④若S 1= S 2，则P 点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
A
B D
E
O
解析：过点P 分别向AD 、BC 作垂线段，两个三角形的面积之和42S S +等于矩形面积的一半，同理，过点P 分别向AB 、CD 作垂线段，两个三角形的面积之和31S S +等于矩形面积的一半. 31S S +=42S S +,又因为21S S =，则32S S +=ABCD S S S 2
1
41=+,所以④一定成立 答案：②④．
点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选.
3.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B`处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB`与AD 的交点C`BC ∶AB 的值为 ▲ .
【解析】连接CC ′，根据题意可知∠AEF =90°，又C 、C ′关于EF 对称，所以CC ′⊥EF ，所以AE ∥CC ′，又AC ′∥EC ，所以四边形AECC ′是平行四边形，又∠B =∠AB ′E =90°，所以四边形AECC ′是菱形，所以∠EAC =∠ECA ，又∠EAC =∠BAE ，所以∠EAC =∠ECA =∠BAE =30°，在Rt △ABC 中，BC ：AB 3．
【答案】3
（2012北京，19，5）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点E ，9045302BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，
22BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．
【解析】利用特殊的度数解直角三角形，并求其面积。

【答案】过点D 作DF ⊥AC ∵∠CED =45°，DF ⊥EC ，DE =2
∴EF =DF =1 又∵∠DCE =30° ∴DC =2
∵∠AEB =45°，∠BAC =90°，BE =2 ∴AE =2
∴AC =2+1+3=3+3
∴S 四边形ABCD =
11339
2(33)1(33)222
+⨯⨯++⨯⨯+= 【点评】本题考查了已知特殊角（如45°、30°）和其邻边的长度，利用这些条件构造直角三角形，求出
其它边的长度。

（2012，黔东南州，10）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连结PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90º，得线段PE ，连结BE ，则∠CBE 等于（ ）
A 、75º
B 、60º
C 、 45º
D 、 30º 解析：过点
E 作E
F ⊥AF ，交AB 的延长线于点F ，则∠F =90°， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD =AB ，∠A =∠ABC =90°， ∴∠ADP +∠APD =90°，
由旋转可得：PD =PE ，∠DPE =90°， ∴∠APD +∠EPF =90°， ∴∠ADP =∠EPF ， 在△APD 和△FEP 中，
E
A
B
D
C
F
∵，
∴△APD ≌△FEP （AAS ）， ∴AP =EF ，AD =PF ， 又∵AD =AB ，
∴PF =AB ，即AP +PB =PB +BF ， ∴AP =BF ，
∴BF =EF ，又∠F =90°， ∴△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠EBF =45°，又∠CBF =90°， 则∠CBE =45°． 答案：C ．
点评：本题考查了三角形知识的综合应用，学生需要具备一定的推理能力，难度较大.
一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．
⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零
当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数
一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-
k
b
，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k
b
，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00
b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨
⎧<<0
b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；
当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.
一次
函数
()0k kx b k =+≠
k ，b
符号
0k > 0k <
0b > 0b < 0b = 0b > 0b <
0b = 图象
O
x y
y
x O
O
x y
y
x O
O
x y
y
x
O
性质
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，
b ），
.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0
b<0 b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 X 为全体实数 图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k ）
（0，b ）和（-k
b
，0） 走 向
k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限
k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。

（从左向右下降） 倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 图像的 平 移
b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.
6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠
（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k 练习
3 函数y =(k -1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A.0<k B.1>k C.1≤k D.1<k
4 若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y=mx+n 的图象不经过 （ ）
5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】
A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩
，
B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩，
C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩
， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，
y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那（ ）
A ．0k >，0b >
B ．0k >，0b <
C ．0k <，0b >
D ．0k <，0b <
y =kx +b （k ,b 是常数，k ≠0）的图象如图9所示，则不等式kx +b ＞0的解集是（ ）
A ．x ＞-2
B ．x ＞0
C ．x ＜-2
D ．x ＜0
y
y kx b =+
2
8.如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例
函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+
B ．2y x =+
C ．2y x =-
D ．2y x =--
9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）
C.轮船比快艇先出发2小时
D.快艇不能赶上轮船
1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②
0a >；
③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）
D 、a ＜0
11.函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是
（ ）
12、一次函数y=kx ＋b 的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

13函数5x -x 的取值范围是___________．
14．函数y=kx+b （k ≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y 轴于点（0，-1），•则其解析式是_________ ．
四边形综合题
1.在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，
如图（1），易证 EG=CG 且
第4题
x (小时)
y (千米)
轮船
快艇
8
6
160
o
2
480O
x
y A B
1- y x =-
2
x
0 2-
x
y
O
3
2y x a =+
1y kx b =+
EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．
【解答】解：（1）EG=CG，EG⊥CG．（2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
又∵BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1
2
FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1
2
∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．（2分）
【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．
2.以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；
（2）①∠HAE=90°+a，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE 2
AB，DC
2
CD，平行四边形的性质得出
AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG；
③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．
解答：（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．
（2）解：①∠HAE=90°+a，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=
2
2
AB，DC=
2
2
CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDC，
∴HE=HG．
③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．。