高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2 (2)

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
§1.6 微积分基本定理
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2
＋x ，则ʃ1
0(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋
1)d x ＝F (1)－F (0)． 梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb
a f (x )d x ＝F (
b )－F (a )；
③符号表示：ʃb
a f (x )d x ＝F (x )|b
a ＝F (
b )－F (a )． (2)常见的原函数与被积函数关系 ①ʃb
a c d x ＝cx |
b a (
c 为常数)． ②ʃb a x n
d x ＝
⎪
⎪⎪1n ＋1x n ＋1b
a (n ≠－1)． ③ʃ
b a sin x d x ＝－cos x |b
a . ④ʃb
a cos x d x ＝sin x |b
a .
⑤ʃb a 1x
d x ＝ln x |b
a (
b >a >0)． ⑥ʃb a e x d x ＝e x |b
a . ⑦ʃ
b a
a x
d x ＝
⎪
⎪⎪a x ln a b
a (a >0且a ≠1)． ⑧ʃ
b a
x d x ＝
⎪
⎪⎪233
2x b
a (
b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
答案 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．
梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb
a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃ
b a f (x )d x ＝－S 下．
(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb
a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb
a f (x )d x ＝0.
1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )
2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )
3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )
类型一 求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分． (1)ʃ1
0(2x ＋e x
)d x ；
(2)ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
－3cos x d x ；
(3)
π
220
(sin
cos )d ;22
x x
x -⎰
(4)ʃ3
0(x －3)(x －4)d x .
考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ1
0(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1
0 ＝(1＋e 1
)－(0＋e 0
)＝e.
(2)ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x
－3cos x d x
＝(ln x －3sin x )|2
1
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin x
2－cos x 22
＝1－2sin x 2cos x
2＝1－sin x ， ∴
π
π
2
2
20
0(sin cos )d (1-sin )d 22
x x x x x -=⎰
⎰
π
20
(cos )|x x =＋
＝⎝
⎛⎭⎪⎫π2
＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1.
(4)∵(x －3)(x －4)＝x 2
－7x ＋12， ∴ʃ3
0(x －3)(x －4)d x ＝ʃ3
0(x 2
－7x ＋12)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x 30
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 计算下列定积分． (1)ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 2＋1x d x ；
(2)
π
2
22
(cos sin )d 22
x x
x -⎰
； (3)ʃ9
4
x (1＋x )d x . 考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 2＋1x d x
＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3＋ln x 21
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－13＋ln 1
＝ln 2－5
6.
(2)
π2
22
(cos sin )d 22
x x
x -⎰
π20
cos d x x =⎰
＝sin x π20
|＝1. (3)ʃ9
4x (1＋x )d x ＝ʃ9
4(x ＋x )d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23
32x ＋12x 294
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×329＋12×92
－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3
24＋12×42＝2716
.
命题角度2 求分段函数的定积分
例2 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x ≤0，
cos x －1，x >0，
求
π
2
1
()d ;f x x -⎰
(2)计算定积分ʃ2
1|3－2x |d x . 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 (1)
π
2
1
()d f x x -⎰
＝ʃ0－1
x 2d x ＋π2
(cos 1)d ,x x -⎰
又因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3′＝x 2
，(sin x －x )′＝cos x －1，
所以原式＝
⎪
⎪⎪13x 30
－1＋(sin x －x )π
2
0| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋13＋⎝
⎛⎭⎪⎫sin π2－π2－(sin 0－0)
＝43－π
2. (2)ʃ2
1|3－2x |d x
3
2
2
31
2
(32)d (23)d x x x x =-+-⎰⎰
＝(3x －x 2
)3
21
|＋(x 2
－3x )232
|＝12
. 反思与感悟 分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2 (1)ʃ1
－1e |x |
d x ＝________. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 2
e －2 解析 ʃ1
－1e |x |
d x ＝ʃ0
－1e －x
d x ＋ʃ10
e x
d x ＝－
e －x |0－1＋e x |1
0 ＝－e 0
＋e 1
＋e 1
－e 0
＝2e －2.
(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋e x
，0≤x ≤1，x －1
x ，1<x ≤2，求ʃ2
0f (x )d x .
考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 ʃ20f (x )d x
＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x d x
＝(x 2＋e x )|1
0＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x 21 ＝(1＋e)－(0＋e 0
)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1－ln 1
＝e ＋3
2
－ln 2.
类型二 利用定积分求参数
例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt
0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ2
1(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数
答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，2
解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2
－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ2
1
(kx ＋1)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得2
3≤k ≤2.
引申探究
1．若将例3(1)中的条件改为ʃt
0f (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
t 2，求t .
解 由ʃt
0f (x )d x ＝ʃt
0(2x －1)d x ＝t 2
－t ， 又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t 2＝t －1，∴t 2
－t ＝t －1，得t ＝1.
2．若将例3(1)中的条件改为ʃt
0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．
解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14
(t >0)，
当t ＝12时，F (t )min ＝－14
.
反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．
跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ1
0(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________． (2)设函数f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)．若ʃ1
0f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)
3
3
解析 (1)f (x )＝ʃ1
0(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2
)|1
0＝－2x ＋2(x ∈(0,1])． ∴f (x )的值域为[0,2)． (2)∵ʃ1
0f (x )d x ＝ʃ1
0(ax 2
＋c )d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c .
又f (x 0)＝ax 2
0＋c ，
∴a 3＝ax 2
0，即x 0＝33或－33
.
∵0≤x 0≤1，∴x 0＝
33
.
1．若ʃa 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D
解析 ʃa 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11x
d x
＝x 2|a 1＋ln x |a
1＝a 2
－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2. 2．
π
23
(12sin )d 2
θ
θ-⎰
等于( )
A ．－
32 B ．－12 C.12 D.32
考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析
π23
(12sin )d 2
θ
θ-⎰
π3
=cos d θθ⎰＝sin θπ30
|＝
32
. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
，0≤x ≤1，
2－x ，1<x ≤2，
则ʃ2
0f (x )d x 等于( )
A.34
B.4
5 C.56
D ．不存在
考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C
解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ2
1(2－x )d x ＝
⎪
⎪⎪13x 31
0＋
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221
＝56
.
4．已知函数f (x )＝x n
＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ3
1f (－x )d x ＝________. 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 2
3
解析 ∵f (x )＝x n
＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx
n －1
＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2，
∴f (x )＝x 2
＋2x ，则f (－x )＝x 2
－2x ， ∴ʃ3
1f (－x )d x ＝ʃ3
1(x 2
－2x )d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 231
＝9－9－13＋1＝23.
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x －2π，0≤x ≤π
2
，cos x ，π
2<x ≤π，计算：ʃπ
0f (x )d x .
解 ʃπ
f (x )d x π
π
2
π0
2
()d ()d f x x f x x =
+⎰
⎰
ππ
2
π0
2
=(4-2π)d cos d ,x x x x +⎰⎰
取F 1(x )＝2x 2
－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以
ππ
2
π0
2
(4-2π)d cos d x x x x +⎰
⎰
＝(2x 2
－2πx )π
20
|＋sin x ππ2
|
＝－12
π2
－1，
即ʃπ
0f (x )d x ＝－12
π2－1.
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题
1．ʃ21⎝
⎛⎭
⎪⎫e x
＋1x d x 等于( )
A ．e 2－ln 2
B ．e 2
－e －ln 2 C ．e 2
＋e ＋ln 2
D ．e 2
－e ＋ln 2
考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D
解析 ʃ21⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x
＋1x ＝(e x ＋ln x )|21
＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2
－e ＋ln 2. 2．若
π2
(sin cos )d x a x x -⎰
＝2，则实数a 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－ 3
D. 3
考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析
π2
(sin cos )d x a x x -⎰
＝(－cos x －a sin x )π20
| ＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.
3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x
d x ，S 3＝ʃ21
e x
d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
考点 利用微积分基本定理求定积分
题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 B
解析 因为S 1＝ʃ21
x 2d x ＝
⎪⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73
， S 2＝ʃ211
x d x ＝ln x |2
1＝ln 2，
S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e(e －1)．
又ln 2<ln e ＝1，且7
3<2.5<e(e －1)，
所以ln 2<7
3<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.
4．ʃ3
0|x 2
－4|d x 等于( ) A.213 B.22
3 C.233
D.253
考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C
解析 ∵|x 2
－4|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4，2≤x ≤3，4－x 2
，0≤x ≤2，
∴ʃ3
0|x 2
－4|d x ＝ʃ3
2(x 2
－4)d x ＋ʃ2
0(4－x 2
)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 32＋
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎫4x －13x 320
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(9－12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0
＝－3－83＋8＋8－83＝233
.
5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1
－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 1
2x ；
②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2
.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
考点 微积分基本定理的应用
题点 微积分基本定理的综合应用
答案 C
解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112
sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2
－1)d x ≠0，
所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；
对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，
所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．
6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )
A ．－13
B ．－1 C.13 D ．1 考点 利用微积分基本定理求定积分
题点 利用微积分基本定理求定积分
答案 A
解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，
∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 1
0 ＝13
＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13
. 二、填空题
7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1
－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分
题点 分段函数的定积分
答案 sin 1－23
解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x
＝ ⎪
⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23
. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1
－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.
考点 微积分基本定理的应用
题点 利用微积分基本定理求参数
答案 －1或13
解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，
2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，
由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13
. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．
考点 微积分基本定理的应用
题点 微积分基本定理的综合应用
答案 13
解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝
S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________.
考点 微积分基本定理的应用
题点 利用微积分基本定理求参数
答案 1
解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.
又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，
所以f (0)＝a 3.
因为f (f (1))＝1，所以a 3
＝1，
解得a ＝1.
11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176
，则f (x )的解析式为________．
考点 微积分基本定理的应用
题点 利用微积分基本定理求参数
答案 f (x )＝4x ＋3
解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x
＝12
a ＋
b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x
＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176
. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，
13a ＋12b ＝176，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.
∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用
题点 微积分基本定理的综合应用
答案 π4
解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0
＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4
时， 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题
13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 考点 微积分基本定理的应用
题点 微积分基本定理的综合应用
解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x
－a
＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，
F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x
＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|1
＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.
所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.
四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，
1－x 2，0<x ≤1，
则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.
3π－812 B.4＋3π12 C.4＋π4 D.－4＋3π12
考点 分段函数的定积分
题点 分段函数的定积分
答案 B
解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ10
1－x 2d x ， ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝
⎪⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ10
1－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4
， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12
. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x
2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.
考点 微积分基本定理的应用
题点 微积分基本定理的综合应用
(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x
2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x
， 即[x 2f (x )]′＝1x
， 所以x 2
f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，
即x 2f (x )－ln x ＝c .
又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，
即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，
所以2c －c ＝1，所以c ＝1.
所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e
-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >1
2
e -， 所以
f (x )在(0，1
2e -)上单调递增，在(12e
-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 1
2(e )f -＝e 2
， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2
， 即2ln x ≤e x 2
－2.。