二次函数与一元二次方程

新知探究
➢ 随堂练习 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)
可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢 出后经过的时间.
（1）画出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
y 19.6
O 1 234 x
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➢ 随堂练习 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)
y y=x2+2x-13
的图象，可以看出图象与x轴有 -5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x 两个交点，由本节知识可知，方
程有两个根，一个在-5和-4之间，
另一个在2和3之间.
x1≈-4.7 ，x2≈2.7.
-10 -11
-13
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应用图象求方程x2+2x-10=3的近似根. y y=x2+2x-10
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二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
O 12 x
（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有无交点和
一元二次方程根的判别式有何关系？
由（3）可知：Δ=b2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点，交点 横坐标等于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根；Δ=0时，图象与
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二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
O 12 x
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标 和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
由问题（1）（2）可归纳得出： y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点的坐标等于一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
两个交点，由本节知识可知，
方程有两个根，一个在-5和-4之
间，另一个在2和3之间.
-10 -11
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不用求根公式，利用二次函数y=x2+2x-10的图象估
计方程x2+2x-10=0的根.怎样估算？ 利用计算器探索两根的近似值，
y y=x2+2x-10
过程如下：
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x
2a
, 0
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我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动 时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示， 其中h0 (m)是抛出时的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小 球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所 示，那么（1） h与t的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有 几种求解方法？与同伴进行交流. （1）h=-5t2+40t
拓通准备
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式是什么？ Δ = b2 - 4ac， 当Δ > 0时，方程有两个不等实根； 当Δ = 0时，方程有两个相等实根； 当Δ < 0时，方程无实根.
拓通准备
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐 标是什么？
-b
+
b2 2a
-
4ac
, 0
-b - b2 - 4ac
可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢
出后经过的时间. （3）方程-4.9t2+19.6t=0， -4.9t2+19.6t=14.7的根的
实际意义分别9.6t=0的根表示踢出时间 y
和落地时间，如图点A、B.
19.6 C D
如图是二次函数y=x2+2x-10 的图象，可以看出图象与直线 x=3有两个交点.
x1≈-4.7 ，x2≈2.7.
x=3 -5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x
-10 -11
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➢ 随堂练习
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的
近似根.
y
如图是二次函数y= -2x2+4x+1
x轴有一个交点，交点横坐标等于一元二次方程ax2+bx+c=0的根；
Δ<0时，图象与x轴无交点，一元二次方程ax2+bx+c=0无实根.
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在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面 的高度是60 m？你是如何知道的？
解：由前面解答可知h=-5t2+40t， 令h=-5t2+40t=60，解得t=2或t=6. 所以，2 s和6 s时小球离地面的高度是60 m.
可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢 出后经过的时间.
（2）当t=1， t=2时，足球距地面的高度分别是多少？ 当t=1时，足球距地面的高度是14.7m； 当t=2时，足球距地面的高度是19.6m.
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➢ 随堂练习
一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)
二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
O 12 x
（2）一元二次方程x2+2x=0， x2-2x+1=0有几个实数 根？用判别式验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
第一个方程有两个实根：x=0或x=-2. 第二个方程有两个相等实根：x=1. 第三个方程没有实根.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 在-5和-4之间的根，可以看出x≈-4.3.
x 2.1 2.2 2.3 2.4
-10 -11
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
在2和3之间的根，可以看出x≈2.3.
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应用图象求方程x2+2x-10=3的近似根. 如图是二次函数y=x2+2x-13
方程-4.9t2+19.6t= 14.7的根表示足球离14A.7
B
地面高为14.7 m时的时间，如图点C、D. O 1 2 3 4 x
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不用求根公式，利用二次函数y=x2+2x-10的图象估
计方程x2+2x-10=0的根.怎样估算？
y
y=x2+2x-10
如图是二次函数y=x2+2x-10
的图象，可以看出图象与x轴有 -5 -4 -3-2-1O 1 2 3 4 x
的图象，可以看出图象与x轴有两 个交点.
x1≈-0.2 ，x2≈2.2.
-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x -2 -4
y= -2x2+4x+1
课堂小结
1.二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元 二次方程的根有什么关系？
2.如何利用二次函数图象估计一元二次方程 的近似根？
布置作业
教材习题2.10第1题. 教材习题2.11第1题.
（2）小球经过8秒后落地.
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二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象
如图所示：
y
y
y
1 -2 O 1 x
1 O 12 x
2 1
O 12 x
（1）每个图象与x轴有几个交点？ 第一个图象与x轴有2个交点. 第二个图象与x轴有1个交点. 第三个图象与x轴没有交点.
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