椭圆的标准方程y【精选】

过椭圆
x2 2

y2
1 的右焦点作一条
斜率为１的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为______________.
小结：
1.椭圆的标准方程
焦点在X轴
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
焦点在X轴
y2 y2
a2
b2
y2 a2

x2 b2
1(a
b

0)
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系 步骤二：设坐标 步骤三：列方程 步骤四：代坐标 步骤五：化简
如何建立适当的直角坐标系？
建立直角坐标系
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。)
y
P
x
·F1 o
·F2
y
F2
o
x
F1
椭圆上的点到两个焦点的距离 之和记为2a ； 两焦点之间的距离：焦距， 记为2c,即:F1F2＝2c.
所以设它的标准方程为
.
由椭圆的定义知：
y 2 x2 1(a b 0) a2 b2
2a= ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 2 10
22
22
.
y
∴a=
10 ，又c=2 ∴b2=a2－c2=6
所以所求椭圆方程为
y2 x2 1
10 6
则| PF1 | | PF2 | 2a
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
化简方程
化简 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项 (x c)2 y2 2a (xc)2 y2
两 边 平 方 得: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
§2.21椭圆的标准方程
问：太阳系“九大行星”都有哪些？
水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王 星、海王星和冥王星
新的天文发现不断使“九大行星”的传统观 念 受到质疑。天文学家先后发现冥王星与太阳 系其他行星有一些不同之处。
冥王星所处的轨道在海王星之外，属于 太阳系外围的柯伊伯带，这个区域一直 是太阳系小行星和彗星诞生的地方。
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a+b=10，c 2 5
(2)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
走进高考：
（海南２００９高考（理）第２０题第一问）
已知椭圆的中心为直角坐标系xoy的原点， 焦点在Ｘ轴上，它的一个顶点到两个焦点的距 离分别是7和1. 求椭圆的方程．
（海南２００８高考（文）第１５题）
即: b x +a y =a b 2 2 2 2 b2x2 a2y2 a2b2
22
焦点在X轴
x2 y2 a2 b2 1(a b 0).
x2 y2 a2 b2 1(a b 0).
焦点在Y轴
y2 a2

x2 b2
1(a
b

0)
y
P
F· o x2
a2

y2 b2
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
例题讲解
例1、 (1)已知椭圆的方程：x2 y2 1 ，请填空： 25 16
a=_5_，b=__4，c=_3_，焦点坐标为__（_±__3_，_0_）___，焦距等于__6.
若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、x右2 y焦2 1点， 9 16
解（1） k-2>0 3-k>0 k-2≠3-k
解得 2<k<3 且k≠2.5
(2） k-2>0 3-k>0 3-k>k-2
解得 2<k<2.5
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），
（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和
等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、 （0，2），并且椭圆经过点 ( 3 , 5 )
∴a=5, c=4
∴b2=a2－c.2=52－42=9
所以所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），
并且椭圆经过点 ( 3 , 5 ) 22 解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)

0)
谢 谢 ！
！
1(a b 0)
x2 a2

y2 b2
1(a
b

0)
2．怎样根据已知条件求椭圆的标准方程？
(1)确定焦点所在的位置，选择标准方程的形
式；
(2)求解a、b的值，写出椭圆的标准方程．
课后作业
习题
2.21 x2
a2

y2 b2
1(a
b

0)
3，4
y2 a2

x2 b2
1(a
b
并且CF1=2,则CF2=__8_.
x2 y2 1 9 16
（2） 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成a=__，
b=_4_，c=_3_
7
x2 y2 1
9
16
例题讲解
探究: 若方程 x2 y2 1 表示椭圆，求k的取值范围; k 2 3k
若表示焦点在Y轴的椭圆，求K的取值范围;
设点坐标
y
P
·F1 o
·x
F2
设P(x,y）是椭圆上任意一点，
椭圆的焦点坐标为 F1（-c,0） F2（c,0）
列等式, 代坐标
∵P(x,y)为椭圆上的任意一点，
F1(-c,0)、F2(c,0)
PF1 PF2 2a
y
P
·F1 o
·x
F2
PF1 PF2 2a
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
f1f22cyxp设pxy是椭圆上任意一点椭圆的焦点坐标为f1c0f2c0of1f2apfpf221??aycxycx22222???????列等式代坐标yapfpf221?则pxy为椭圆上的任意一点f1c0f2c0apfpf221??xof1f2paycxycx22222??????aycxycx22222??????aycxycx22222??????方程化简方程aycxycx22222??????化简2222ycx2aycx??????移项2222222yyccxxyyccxx4a4a4a4ayyccxx
22 22 2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2 (x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2
22 22
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
设a2 c2 b2(b 0)
P
F2
x
F1
.
(3)若椭圆满足: a＝5 , c＝3 焦点在x轴, 求它的标准方程
解:当焦点在x轴时,
椭圆的标准方程为
x2 y2 1
25 16
Hale Waihona Puke 当焦点在Y轴时， 椭圆的标准方程为
x2 y2 1
16 25
求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定形：求a, b的值.
课堂练习：
22
.
(3)若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,(焦点在x轴), 求它的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为
.
∵2a=10, 2c=8
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
1(a
b
0).
1
·F2
x
两类标准方程的对照表
定义 图形
方程 焦点
|PF1|+|PF2|=2a (2a>2c>0)
y
P
y
F2 P
F1 o F2 x
ox
F1
x2 a2

y2 b2
1
a

b

0
F(±c，0)
y2 a2

x2 b2
1
a
b 0
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
b2=a2-c2
在2006年8月24日于布拉格举行的第26届 国际天文联会中通过的第5号决议中，冥 王星被划为矮行星，并命名为小行星 134340号，从太阳系九大行星中被除名, 所以现在太阳系只有八颗行星。
椭圆的定义 ? 想一想我们是怎么画椭圆的？
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭 圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦点
方程 (x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
得 a2 cx a (xc)2 y2
两边再平方得：a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y 4 2
∵ c=2，且 c2= a2 - b2
∴ 4= a2 - b2 ……①
又∵椭圆经过点 3 ，5
2 2
∴
(
5 2
)
2

(
3 2
)2
1
a2
b2
……②
联立①②可求得：a2 10, b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1 10 6
解：(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，