{3套试卷汇总}2019年上海市黄浦区九年级上学期数学期末复习检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm 【答案】B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
【详解】∵⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，
∴OP =4cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．
2．下列说法正确的是（ ）
A ．经过三点可以做一个圆
B ．平分弦的直径垂直于这条弦
C ．等弧所对的圆心角相等
D ．三角形的外心到三边的距离相等 【答案】C
【解析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可．
【详解】解：A 、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A 错误；
B 、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B 错误；
C 、等弧所对的圆心角相等，C 正确；
D 、三角形的外心到各顶点的距离相等，D 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
3．已知某函数的图象P 与函数2y x =-
的图象关于直线2x =对称,则以下各点一定在图象P 上的是（ ）
A ．()2,1-
B ．()1,2-
C ．()0,1-
D ．()2,1- 【答案】A
【分析】分别求出各选项点关于直线2x =对称点的坐标，代入函数2y x
=-
验证是否在其图象上，从而得出答案．
【详解】解：A ． 点()2,1-关于2x =对称的点为点()2,1-，
而()2,1-在函数2y x
=-上， ∴点()2,1-在图象P 上；
B ． 点()1,2-关于2x =对称的点为点()3,2-，
而()3,2-不在函数2y x
=-上， ∴点()1,2-不在图象P 上；
同理可C ()0,1- 、D ()2,1-不在图象P 上．
故选：A ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键． 4．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则下列说法：①0c ；②该抛物线的对称轴是直线1x =-；③当1x =时，2y a =；④当2m <-时，20am bm +>；其中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【分析】由题意根据二次函数图像的性质，对所给说法进行依次分析与判断即可.
【详解】解：∵抛物线与y 轴交于原点，
∴c=0，故①正确；
∵该抛物线的对称轴是：22
10-+-＝， ∴该抛物线的对称轴是直线x 1=-，故②正确；
∵x 1=，有y a b c =++，0c ，
∴当x 1=时，y a b =+，故③错误；
∵x m =，则有2y am bm =+，由图像可知2x <-时，0y >，
∴当m 2<-时，2am bm 0+>，故④正确.
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
5．函数y＝k
x
与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可．【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＜0时，反比例函数y＝k
x
在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符
合题意；
②当k＞0时，反比例函数y＝k
x
在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下
方，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握k对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键．
6．下列事件为必然事件的是（）
A．打开电视机，它正在播广告
B．a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0
C．明天太阳从西方升起
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【答案】B
【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；
B、∵a2≥0，
∴a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0是必然事件；
C、明天太阳从西方升起是不可能事件；
D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．注意掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．在▱ABCD中，∠A﹣∠B=40°，则∠C的度数为()
A．70°B．40°C．110°D．150°
【答案】C
【分析】由题意根据平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：由题意画出图形如下所示：
则∠A+∠B=180°，
又∵∠A﹣∠B=40°，
∴∠A=110°，∠B=70°，
∴∠C=∠A=110°．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°进行分析. 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，AC⊥BD，又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝1
2
AB＝1．
故选：B．【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=1
2
AB是解题关键．
9．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
【答案】D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
10．如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M．设BF ＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】B
【分析】求出
21
42
tan DBC
∠=
＝，
1
21
1
2
428
x
DH CD CH
x
AD
A
D
n D
A
ta H
-
-
=
∠==-
＝，y＝EF−EM−NF ＝2−BFtan∠DBC−AEtan∠DAH，即可求解．
【详解】解：
21
42
tan DBC
∠=
＝，
1
211
2
428
x
DH CD CH
x
AD
A
D
n D
A
ta H
-
-
=
∠==-
＝
y＝EF﹣EM﹣NF＝2﹣BFtan∠DBC﹣AEtan∠DAH＝2﹣x×
1
2
﹣x（
11
28
x
-）＝
1
8
x2﹣x+2，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解．11．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）
A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸
【答案】C
【分析】设⊙O的半径为r,在Rt△AEO中,AE=4,OE=r-2,OA=r,则有r2=42+（r-2）2,解方程即可．
【详解】设⊙O的半径为r,
在Rt△AEO中,AE＝4,OE＝r﹣2,OA＝r,
则有r 2＝42+（r ﹣2）2,
解得r ＝5,
∴⊙O 的直径为10寸,
故选C ．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识,解决本题的关键是学会利用利用勾股定理构造方程进行求解. 12．如图，AD ∥BE ∥CF ，AB=3，BC=6，DE=2，则EF 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【详解】∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB DE BC EF =． ∵AB=3，BC=6，DE=2，∴326EF =，∴EF=1． 故选C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AB=6，1cos 3
A =
，那么AC=_____． 【答案】2
【解析】如图所示，
在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=6,cosA=13
， ∴cosA=
13
AC AB =， 则AC=13AB=13×6=2， 故答案为2.
14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上的点，如果5AB =，3AE =，连接CE 与对角线BD 交于点F ，则:BEF BCF S S ∆∆=_______．
【答案】2:5
【分析】由平行四边形的性质得AB ∥DC ，AB ＝DC ；平行直线证明△BEF ∽△DCF ，其性质线段的和差求得25BE EF DC FC ==，三角形的面积公式求出两个三角形的面积比为2：1．
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，
∴△BEF ∽△DCF ，
∴BE EF DC FC
=， 又∵BE ＝AB−AE ，AB ＝1，AE ＝3，
∴BE ＝2，DC ＝1，
∴
25
BE EF DC FC ==， 又∵S △BEF ＝12•EF •BH ，S △DCF ＝12
•FC •BH ， ∴12215
2BEF DCF EF BH EF FC FC B S S H ⋅⋅===⋅⋅， 故答案为2：1．
【点睛】
本题综合考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．
15．如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“
”的概率是，在一定时间段内，A ，B 之
间电流能够正常通过的概率为 ．
【答案】.
【解析】根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是，
即某一个电子元件不正常工作的概率为，
则两个元件同时不正常工作的概率为；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为1-=.
故答案为：.
16．如图，AB是⊙Ｏ的直径，BC与⊙Ｏ相切于点B，AC交⊙Ｏ于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．
【答案】80
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°.
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．一元二次方程x2=x的解为．
【答案】x1=0，x2=1．
【解析】试题分析：首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
18．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________． 【答案】15 【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案. 详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为
15.故答案为15
. 点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB 为ABC ∆外接圆O 的直径，点P 是线段CA 延长线上一点，点E 在圆上且满足2·PE PA PC =，连接CE ，AE ，OE ，OE 交CA 于点D .
（1）求证：PAE PEC ∆∆∽.
（2）过点O 作OM PC ⊥，垂足为M ，30B ∠=︒，12AP AC =
，求证：OD PD =. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）构造全等三角形，先找出OD 与PA 的关系，再用等积式找出PE 与PA 的关系，从而判断出OM ＝PE ，得出△ODM ≌△PDE 即可．
【详解】（1）证明：∵2·PE PA PC =，
∴PE PC PA PE
=， ∵APE EPC ∠=∠，
∴PAE PEC ∆∆∽.
（2）证明：连接BE ，
∴OBE OEB ∠=∠，
∵OBE PCE ∠=∠，
∴OEB PCE ∠=∠，
∵PAE PEC ∆∆∽，
∴PEA PCE ∠=∠，
∴PEA OEB ∠=∠，AB 为直径，
∴90AEB =︒∠，
∴90OEB OEA ∠+∠=︒， ∵90PEA OEA ∠+∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，
设圆O 半径为r ，在RT ABC ∆中， ∵30B ∠=︒， ∴1
2CA AB r =
=，3CB r =， ∵OM PC ⊥， ∴OM
BC ，
∴QMA BCA ∆∆∽，又O 为AB 中点， ∴13
22
OM CB r -
=，1122AP AC r ==，
∵2·PE PA PC =， ∴3
2
PE r OM =
=， 又OMD PED ∠=∠，ODM PDE ∠=∠， ∴ODM PDE ∆∆≌， ∴OD PD =.
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM ＝PE ．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，G 是AC 上一动点，AG ，DC 的延长线交于点F ，连接AC ，AD ，GC ，GD ．
（1）求证：∠FGC ＝∠AGD ； （2）若AD ＝1．
①当AC ⊥DG ，CG ＝2时，求sin ∠ADG ； ②当四边形ADCG 面积最大时，求CF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝4
5
；②CF＝1．
【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC ＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；
（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；
②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，△ACG的的底边AC 上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．
【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，CD⊥AB，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）①如图，设AC与GD交于点M，
∵AG AG
，
∴∠GCM＝∠ADM，
又∵∠GMC＝∠AMD，
∴△GMC∽△AMD，
∴GC
AD
＝
CM
DM
＝
2
6
＝
1
3
，
设CM＝x，则DM＝3x，由（1）知，AC＝AD，
∴AC ＝1，AM ＝1﹣x ， 在Rt △AMD 中， AM 2+DM 2＝AD 2，
∴（1﹣x ）2+（3x ）2＝12， 解得，x 1＝0（舍去），x 2＝6
5
， ∴AM ＝1﹣
65＝245
， ∴sin ∠ADG ＝AM AD
＝24
56
＝4
5；
②S 四边形ADCG ＝S △ADC +S △ACG ， ∵点G 是AC 上一动点，
∴当点G 在AC 的中点时，△ACG 的底边AC 上的高最大，此时△ACG 的面积最大，四边形ADCG 的面积也最大，∴GA ＝GC ， ∴∠GAC ＝∠GCA ， ∵∠GCD ＝∠F+∠FGC ，
由（1）知，∠FGC ＝∠ACD ，且∠GCD ＝∠ACD+∠GCA ， ∴∠F ＝∠GCA ， ∴∠F ＝∠GAC ， ∴FC ＝AC ＝1．
【点睛】
本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键．
21．解方程:()12213x x +=
()2()()23430x x x -+-=
【答案】（1）11x =，212x =
；（2）123
35
x x ==，
【分析】（1）先移项，再利用配方法求解即可． （2）合并同类项，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）2213x x +=
22310x x -+=
()()2110x x --=
解得11x =，21
2
x =
（2）()()2
3430x x x -+-=
()()3430x x x -+-= ()()5330x x --=
解得12335
x x ==， 【点睛】
本题考查了一元二次方程的计算，掌握利用配方法求方程的解是解题的关键． 22．如图，抛物线4m ≤与直线
交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y
轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D. （1）求抛物线的解析式；
（2）当m 为何值时，2BPD
OBDC S S
=四边形；
（3）是否存在点P,使△PAD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）y=x 1+4x-1；（1）∴m=,-1，或-3时S 四边形OBDC =1SS △BPD
【解析】试题分析：（1）由x=0时带入y=x-1求出y 的值求出B 的坐标，当x=-3时，代入y=x-1求出y 的值就可以求出A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（1）连结OP ，由P 点的横坐标为m 可以表示出P 、D 的坐标，可以表示出S 四边形OBDC 和1S △BPD 建立方程
求出其解即可．
（3）如图1，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论．
试题解析：
∵y=x-1，∴x=0时，y=-1，∴B（0，-1）．
当x=-3时，y=-4，∴A（-3，-4）．
∵y=x1+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，∴
∴∴抛物线的解析式为：y=x1+4x-1；
（1）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m1+4m-1），D（m，m-1）
如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m1，
∴PD=1-4m-m1-1+m=-3m-m1，
∴
解得：m1=0（舍去），m1=-1，m3=
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=1-4m-m1+1-m=1-4m-m1，
解得：m=0（舍去）或m=-3，
∴m=,-1，或-3时S四边形OBDC=1S△BPD；
）如图1，当∠APD=90°时，设P（a，a1+4a-1），则D（a，a-1），
∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m1，
∴DP=1-4m-m1-1+m=-3m-m1．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴（1，0），
∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴
解得：m=1舍去或m=-1，∴P（-1，-5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4
PD=1-m-（1-4m-m1）=3m+m1．
∵PC⊥x轴，∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．
∴AD=(-3-m)
∵△PAD∽△FEA，
∴
∴m=-1或m=-3
∴P（-1，-5）或（-3，-4）与点A重合，舍去，
∴P（-1，-5）．
考点：二次函数综合题.
23．九年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
进球数/个10 9 8 7 4 3
乙班人数/个 1 1 2 4 1 1
平均成绩 中位数 众数 甲班 7 7 c 乙班
a
b
7
（1）表格中b ＝ ，c ＝ 并求a 的值；
（2）如果要从这两个班中选出一个成绩较为稳定的班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班，请说明理由；如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班，请说明理由．
【答案】（1）1，1，a 的值为1；（2）要选出一个成绩较稳定的班级争夺团体第一名，选择甲班，因为乙班数据的离散程度较大，发挥不稳定；要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班，要看出现高分的可能性，乙班个人成绩在9分以上的人数比甲班多，因此选择乙班．
【分析】（1）根据已知信息，将乙班的选手的进球数量从小到大排列，计算处在正中间的两个数的平均数即可；根据已知信息，甲班选手的进球数量中出现次数最多的进球数即为c 的值；先计算乙班总进球数，再用总数除以人数即可；
（2）从这两个班中选出一个成绩较为稳定的班代表年级参加学校的投篮比赛，要看两个班的数据离散程度；如果要争取个人进球数进入学校前三名，要根据个人进球数在9个以上的人数，哪个班多就从哪个班选． 【详解】解：
（1）乙班进球数从小到大排列后处在第5、6位的数都是1个，因此乙班进球数的中位数是77
=2
+1个；根据图表，甲班进球数出现次数最多的是1个，因此甲班进球数的众数为c=1； a=
()1
1019182744131=710
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． 故答案为：1；1；a 的值为1．
（2）要想选取成绩较稳定的班级来争夺总进球数团体第一名，选择甲班较好，甲班的平均数虽然与乙班相同，但是
()()()()()()()()()()2222222222
21=
9787877777777767675710S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣
⎦甲 =1.2
()()()()()()()()()()2222222222
2
1=
10797878777777777473710S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣
⎦乙 =4
∴乙班数据的离散程度较大，发挥不稳定，因此选择甲班；
要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班，要看出现高分的可能性，乙班个人成绩在9分以上的人数比甲班多．因此选择乙班． 【点睛】
本题主要考查平均数、中位数、众数以及方差的意义，掌握平均数、中位数、众数的求解方法以及方差的意义是解答本题的关键． 24．列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同． （1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
【答案】（1）每个月增长的利润率为5%．（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元． 【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题, （2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润. 【详解】解：（1）设每个月增长的利润率为x ， 根据题意得：20×（1+x ）2=22.05，
解得：x 1=0.05=5%，x 2=﹣2.05（不合题意，舍去）． 答：每个月增长的利润率为5%． （2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）． 答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.
25．（2016湖南省永州市）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】（1）10%；（2）1．
【解析】试题分析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价
百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
试题解析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.2．
∴m≥1．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品1件．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
26．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．
【答案】（1）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000；（2）
第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【解析】试题分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
试题解析：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）(200-2x)=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，y=（90﹣30）（200-2x ）=﹣120x+12000；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y 最大=﹣2×452
+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小， 当x=50时，y 最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当1≤x＜50时，y=﹣2x 2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元． 27．用适当的方法解下列方程：
（1）2240x x --= （2）27100x x -+=
【答案】（1）11x =，21x = ；（2）12x = ， 25x =
【分析】（1）移项，两边同时加1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）2240x x --=
22141x x -+=+
()
2
15x -=
1x -=
11x =+21x =(2)27100x x -+=
()()250x x --=
20x -=，50x -=
12x =，25x =.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，仔细观察运用合适的方法能简便计算.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号{,}Max a b 表示,a b 中的较大值，如：{3,6}6Max =，按照这个规定，方程44{,}x Max x x x --=
的解为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．2+或2-
D ．2或2--【答案】D
【分析】分两种情况讨论：①x x >-，②x x <-，根据题意得出方程求解即可． 【详解】44-x x
有意义，则0x ≠ ①当x x >-，即0x >时，由题意得
44-x x x
=， 去分母整理得2440x x -+=，
解得122x x ==
经检验，122x x ==是分式方程的解，符合题意；
②当x x <-，即0x <时，由题意得
44--x x x
=， 去分母整理得2440x x +-=，
解得12x =-+，22x =--，
经检验，12x =-+，22x =--是分式方程的解，但0x <，
∴取2=--x
综上所述，方程的解为2或2--
故选：D ．
【点睛】
本题考查了新型定义下的分式方程与解一元二次方程，理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 2．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．()23110x +=
B ．()()2
31110x x ++++=
C ．()233110x ++=
D ．()()2
3313110x x ++++= 【答案】D 【分析】根据题意可得出第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()2
31x +，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()231x +，因此，()()2
3313110x x ++++=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 3．将抛物线y ＝
212
x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．21(2)2y x =+ B ．y ＝2122
x + C ．y ＝21(2)2x - D ．y ＝2122x - 【答案】A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y ＝
212x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：21(2)2
y x =+．故答案为A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
4．数据3、3、5、8、11的中位数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
【解析】根据中位数的定义进行求解即可.
【详解】从小到大排序：3、3、5、8、11，
位于最中间的数是5，
所以这组数据的中位数是5，
故选C.
【点睛】
本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义以及求解方法是解题的关键.①给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
5．质检部门对某酒店的餐纸进行调查，随机调查5包(每包5片)，5包中合格餐纸(单位：片)分别为4，5，
4，5，5，则估计该酒店的餐纸的合格率为 （ ）
A ．95%
B ．97%
C ．92%
D ．98% 【答案】C
【分析】随机调查1包餐纸的合格率作为该酒店的餐纸的合格率，即用样本估计总体．
【详解】解：1包（每包1片）共21片，1包中合格餐纸的合格率4545592%25
++++=
=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查用样本估计整体，注意1包中的总数是21，不是1．
6．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ）
A ．y ＝2x ﹣1
B ．y ＝2x ﹣3
C ．y ＝2(1)x +﹣2
D ．y ＝2(1)x -﹣2 【答案】A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，
即y ＝x 2﹣1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 7．下列图形中，是中心对称的图形的是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．平行四边形
D ．正五边形
【答案】C 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【详解】解：A ．直角三角形不是中心对称图象，故本选项错误；
B ．等边三角形不是中心对称图象，故本选项错误；
C ．平行四边形是中心对称图象，故本选项正确；
D ．正五边形不是中心对称图象，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合． 8．二次函数()2
214y x =-+-下列说法正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴为直线1x =
C ．顶点坐标为()1,4
D ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大
【答案】D
【分析】根据解析式即可依次判断正确与否.
【详解】∵a=-20<，
∴开口向下，A 选项错误；
∵()2214y x =-+-，
∴对称轴为直线x=-1，故B 错误；
∵()2214y x =-+-，
∴顶点坐标为（-1，-4），故C 错误；
∵对称轴为直线x=-1，开口向下， ∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故D 正确.
故选：D.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键. 9．若点A （2，y 1），B （﹣3，y 2），C （﹣1，y 3）三点在抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣m 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2 【答案】C
【分析】先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴，然后判断出()12,A y ，()23,B y -，()31,C y -在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：∵二次函数24y x x m =--中10a =>， ∴开口向上，对称轴为22b x a
=-=， ∵()12,A y 中2x =，∴1y 最小，
又∵()23,B y -，()31,C y -都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，故23y y >．
∴213y y y >>．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质,特别是对称轴与其两侧的增减性,熟练掌握图象与性质是解答关键. 10．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）。