高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆006390

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
【重点知识梳理】
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1
(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝
c
a
∈(0，1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2
考点一椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．
【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y2
9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．
即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
得点P的轨迹方程为x2
25＋y2
16＝1.
答案(1)A(2)x2
25＋y2
16＝1
考点二求椭圆的标准方程
【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
2 2.过
F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2
b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两
点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．
【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y2
3＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；
(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；
(3)经过两点⎝⎛⎭
⎫－32，52，()3，5.
由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝1
10.
∴椭圆方程为y210＋x26＝1. 考点三 椭圆的几何性质
【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
(2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝1
2，则AP →·FP →的取值范围是________．
不等式．例如，－a≤x≤a ，－b≤y≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
【变式探究】 已知椭圆C1：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程．
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝
⎝⎛⎭
⎫1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零． 【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为1
2，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53
4，求直线l 的方程．
由|AB||CD|＝53
4，得4－m25－4m2
＝1，解得m ＝±3
3，满足(*)．
∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －3
3. 考点五 圆锥曲线上点的对称问题
圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．
【例5】 椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝1
2，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
【真题感悟】
1.【高考广东，文8】已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则
m =（ ） A ．9B ．4C ．3D ．2
2.【高考福建，文11】已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，
直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ． 3
B ．3(0,]4
C ．3
D ．3[,1)4
3．【高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b
y x c
=的对
称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．
4.【高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标
为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为
5
10
. （Ⅰ）求E 的离心率e;
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 【答案】（Ⅰ）5
5
（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=
OM k 从而10
5
2=a b .
进而b b a c b a 2,522=-=
=，故5
52==
a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2
b a ，可得⎪⎭
⎫
⎝⎛=65,6b a NM . 又()b a AB ,-=，从而有()
22
22
56
16561
a b b a NM AB -=+
-=⋅ 由（Ⅰ）得计算结果可知,52
2b a =所以0=⋅NM AB ，故AB MN ⊥.
5．【高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2
2
33x y +=，过点()D 1,0且不过点
()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．
6.【高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线2
1:4C x y =的焦点F 也是椭圆
22
222:1y x C a b
+=
(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，
C相交于,C D两点，且AC与BD同向.与
2
C的方程；
（I）求
2
，求直线l的斜率.
（II）若AC BD
7.【高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22+=1(>>0)x y b b
αα的离心
率为
3231
2
）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E ：22
22+=144x y a b
，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭
圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
（i ）求
||
||
OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||
OQ OP =；（ii ） 3. 【解析】
（I ）由题意知22311,4a b
+=223a b -=，解得22
4,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为
22
1164
x y +=.
8.【高考陕西，文20】如图，椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b
+=>>经过点(0,1)
A-
2
.
(I)求椭圆E的方程；
(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
9.【高考四川，文20】如图，椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)的离心率是
2
2
，点P(0，1)在短轴CD
上，且PC PD
⋅＝－1
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得
OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值
A D
B
C O x y P
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD
此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.
10.【高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆2
22
2
1(a b 0)x y a
b 的上顶点为B,左焦
点为F ,离心率为
55
, （I ）求直线BF 的斜率;
（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M,||=||PM MQ .
（i ）求
的值;
（ii ）若75
||sin =
9
PM BQP ,求椭圆的方程.
0M x =得7.8
M P P
Q M
Q x x x x x x λ-=
=
=-
1．（·四川卷）已知椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成
正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当|TF|
|PQ|最小时，求点T的坐标．
2．（·安徽卷）设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2
b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．
【答案】x2＋3
2y2＝1 【解析】
3．（·北京卷）已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
d
＝
|2x0－ty0|
（y0－2）2＋（x0－t
）2
.
又x20＋2y20＝4，t＝－
2y0
x0，故
d＝
⎪
⎪
⎪
⎪
2x0＋
2y20
x0
x20＋y20＋
4y20
x20＋4
＝
⎪
⎪
⎪
⎪
4＋x20
x0
x40＋8x20＋16
2x20
＝ 2.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
4．（·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆
x2
10＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()
A．5 2 B.46＋2
C．7＋2 D．62
5．（·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()
A.
43
3 B.
23
3 C．3 D．2
6．（·湖南卷）如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：
x2
a2－
y2
b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝
3
2，且|F2F4|＝3－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图1-7
7．（·江西卷）过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
8．（·辽宁卷）已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝______．
【答案】12 【解析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F1的对称点
为A ，点M 关于C 的焦点F2的对称点为B ，则有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝1
2|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a ＝12.
9．（·辽宁卷）圆x2＋y2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P 且离心率为 3.
图1-6
(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P 且与C1有相同的焦点，直线l 过C2的右焦点且与C2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．
10．（·全国卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为3
3，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为43，则C 的方程为()
A.x23＋y22＝1
B.x2
3＋y2＝1 C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1
【答案】A 【解析】根据题意，因为△AF1B 的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝3
3，所以c ＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x23＋y2
2＝1.
11．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为3
2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23
3，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
12．（·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N.
(1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝ 5|F1N|，求a ，b.
13．（·山东卷）已知a ＞b ＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2
b2＝1，C1与C2的离心率之积为3
2，则C2的渐近线方程为()
A. x±2y ＝0
B. 2x±y ＝0
C. x±2y ＝0
D. 2x±y ＝0
14．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝
－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为
3 2.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图1-5
∵k≠0，
∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8
3. 经检验，k ＝－8
3符合题意， 故直线l 的方程为y ＝－8
3(x －1)．
方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)，比照方法一给分．
15．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2
b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32.
(1)求a ，b 的值；
(2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．
图1-5
16．（·天津卷）设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|
＝
3
2|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相
切，求直线l的斜率．
17．（·浙江卷）如图1-6，设椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，
且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
图1-6
18．（·重庆卷）如图1-4所示，设椭圆x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
图1-4
19．(高考四川卷)从椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正
半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()
A.
2
4B.
1
2
C.
2
2D.
3
2
20.(高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆
C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交
椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
≤
32
2
4k2＋3·
13
4k2＋3
＝
1613
13，
当且仅当k＝±
10
2时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±
10
2x－1.
【押题专练】
1．设F1，F2分别是椭圆
x2
25＋
y2
16＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()
A．4 B．3
C．2 D．5
2．已知椭圆
x2
10－m＋
y2
m－2＝1的焦距为4，则m等于()
A．4 B．8
C．4或8 D．以上均不对
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于
1
2，则C的方程是() A.
x2
3＋
y2
4＝1 B.
x2
4＋
y2
3
＝1
C.
x2
4＋
y2
3＝1 D.
x2
4＋y2＝1
解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝
c
a＝
1
2
⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是
x2
4＋
y2
3＝1，故选C.
答案C
4．已知椭圆x24＋y2
2＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
5．已知椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝4
5，则C 的离心率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
6．设F1，F2分别是椭圆E ：x24＋y2
3＝1的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝( )
A.103 B ．3 C.8
3 D ．2
7．设F1，F2分别是椭圆x225＋y2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为( )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．18
解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，
|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，
易知M 点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|， 故|PM|＋|PF1|的最大值为
10＋|MF2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C
8．已知P 为椭圆x225＋y2
16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于1
3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B
sin C 的值等于________．
10．已知F1(－c ，0)，F2(c ，0)为椭圆x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
11．椭圆x2a2＋y2
5＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】
题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换
【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.
∴函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π
3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
x －π
6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0
1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3
2
－2
【提分秘籍】
作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【举一反三】
设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭
⎫π4＝32.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.
(2)由(1)得f(x)＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π3，列表： 2x －π
3
－π3
π2
π
32π
53π
x 0 π6 512π 23π 1112π π f(x)
12
1
－1
12
图象如图．
题型二利用三角函数图象求其解析式
例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭
⎫π2＝－23，则f(0)＝( )
A ．－23
B ．－12 C.23 D.12
(2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
解析 (1)由三角函数图象得 T 2＝11π12－7π12＝π3， 即T ＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.
又x ＝7π
12是函数单调增区间中的一个零点， 所以3×7π12＋φ＝3π
2＋2kπ， 解得φ＝－π
4＋2kπ，k ∈Z ， 所以f(x)＝Acos ⎝⎛⎭
⎫3x －π4.
由f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，得A ＝223，
所以f(x)＝223cos ⎝⎛
⎭
⎫3x －π4，
所以f(0)＝223·cos ⎝⎛⎭
⎫－π4＝2
3.
法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭
⎫7π12，－2为最小值点，
列方程组⎩⎨⎧ω·π
3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ω＝2，φ＝π3，
故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3.
答案 (1)C (2)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 【提分秘籍】
已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2π
T 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧
图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【举一反三】
(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )
A ．－32
B ．－6
2 C.
3 D ．－ 3
(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭
⎫π3的值为______．
解析 (1)由题意得f(0)＝0， 即Acos φ＝0，
因为0＜φ＜π，A ＞0，所以φ＝π
2，由FG ＝2， 得T 2＝πω＝2，即ω＝π2，
E 的纵坐标为yE ＝2sin 60°＝3， 所以A ＝3，
故f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＝－3sin π2x ，
所以f(1)＝－ 3.故选D.
(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3
4π，所以周期 T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝⎛⎭
⎫π6，2
所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝1.
答案 (1)D (2)1
题型三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用
【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭
⎫π12，3和
点⎝⎛⎭
⎫2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.
由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋2φ＋π6.
设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知x20＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭
⎫2φ＋π6＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝π
6. 因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π2＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π
2≤x≤kπ，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.
【提分秘籍】
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f(x)化为y ＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【举一反三】
已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π
2.
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫π8的值； (2)求函数y ＝f(x)＋f ⎝
⎛⎭
⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．
解 (1)f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32sin （ωx ＋φ）－12cos （ωx ＋φ） ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫ωx ＋φ－π6.
因为f(x)为偶函数，
则φ－π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，所以φ＝2π
3＋kπ(k ∈Z)， 又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π
3， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫ωx ＋π2＝2cos ωx.
由题意得2πω＝2·π
2，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x.因此f ⎝⎛⎭
⎫π8＝2cos π4＝ 2.
(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝
⎛⎭
⎫x ＋π4
＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x
＝22sin ⎝⎛⎭
⎫π4－2x . 令π4－2x ＝2kπ＋π
2(k ∈Z)，y 有最大值22， 所以当x ＝－kπ－π
8(k ∈Z)时，y 有最大值2 2. 【高考风向标】
【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-
（3
π
）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（） （A ）向左平移
12
π
个单位 （B ）向右平移
12
π
个单位
（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3
π
个单位 【答案】B
【解析】因为sin(4)sin 4()3
12
y x x π
π
=-=-
，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移
12
π
个单位，故选B.
【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,||)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x ωϕ+
0 π2 π
3π2 2π
x
π3
5π6
sin()A x ωϕ+
5
5-
（Ⅰ 析式；
（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π
6
个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.
【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-.数据补全如下表：
x ωϕ+
π2
π
3π2
2π。