7.3复数的三角表示-高一数学同步备课系列(中档题,人教A版2019必修第二册)(解析版)

7.3复数的三角表示【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档
题】
一、单选题
1．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4
π和53π后，重合于向量OM
且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A
．，
34π B
．3,4π C
．,4π D
．,4π
【答案】B
【分析】 由题可知1255cos
sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出1z ，再根据1z 对应的坐标即可得出它的辐角主值.
【详解】 由题可知1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
则(
)
11122222z ⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
)()(
)
1111i z i i --∴====+-， 可知1z
对应的坐标为(，则它的辐角主值为
34
π. 故选：B.
【点睛】
本题考查复数的三角形式，属于基础题.
2．已知123cos sin ,2cos sin 26633z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则12 z z =（ ）
A ．i
B ．2i
C ．
D ．3i 【答案】D
【分析】
根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.
【详解】
1233cos sin 2cos sin 2cos sin 2663326363z z i i i ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3cos sin 322i i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭. 故选：D .
【点睛】
本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.
3．()()()1cos30sin 302cos60sin 603cos 45sin 452
i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）
A ．22+
B ．22-
C ．22i -+
D ．22
-- 【答案】C
【分析】
根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.
【详解】
()()1cos30sin 302cos60sin 602
i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452
i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒
3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
22i =-
+. 故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘法法则，属基础题.
4．()()9cos3isin33cos2isin 2ππππ+÷+=（ ）
A ．3
B ．3-
C
D ．
【答案】B
【分析】 先将()9cos3isin3ππ+和()3cos2isin 2ππ+转化为代数形式，再求解.
【详解】
()()9cos3isin33cos2isin 2933ππππ+÷+=-÷=-.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5
．将复数1+对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转
2
π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ） A
i
B 3i + C
．i - D
．i +
【答案】A
【分析】
先将复数1+写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【详解】
复数1的三角形式是2cos sin 33i ππ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
,向量1ON 对应的复数是
2cos sin 332cos sin 66cos sin 22
i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.
6．将复数1i +对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋转
4
π，得到的向量为1OM ，那么1OM 对应的复数是（ ） A ．2i B
C
．22+ D
【答案】B
【分析】
根据复数的三角形式运算求解即可.
【详解】
复数1i +cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭
,向量1OM 对应的复数
cos sin cos sin 4444i ππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭ 故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.
7．复数cos sin 1515z i π
π
=+是方程50x α-=的一个根，那么α的值等于（ ）
A 12i +
B ．12+
C 12i
D ．12-- 【答案】B
【分析】
根据复数的三角形式的运算求解即可.
【详解】
由题意得,51cos sin cos sin 1515332i ππππα⎛⎫=+=+= ⎪⎝
⎭ 故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的三角形式的运算,属于基础题.
8．已知i 为虚数单位，1isin60)z ︒︒=+，2icos30)z ︒︒=-，则12z z ⋅=（ ） A ．4(cos90sin 90)i ︒︒+ B ．4(cos30sin 30)i ︒︒+
C ．4(cos30sin 30)i ︒︒-
D ．4(cos 0sin 0)i ︒︒+
【答案】D
【分析】
利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【详解】
解：222(sin30cos30)(cos300isin300)z i ︒︒︒︒=-=+，
122(cos60sin60)22(cos300isin300)4(cos360 isin360)
z z i ︒︒︒︒︒︒∴⋅=+⋅⋅+=+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数三角形式乘法运算法则，属于基础题.
9．cos isin 3cos isin 2266ππππ⎛
⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ）
A ．3i 22+
B ．3i 22-
C ．3i 22-+
D ．322-
- 【答案】C
【分析】
先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出22cos ,sin 33
ππ 再整理为a bi + 的形式. 【详解】
cos isin 3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
2233cos isin i 3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝
⎭. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．复数55sin
cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为（ ） A ．518π B ．169π C ．29π D ．79
π 【答案】D
【分析】 化简55sin
cos 1818
z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】 5577sin
cos cos sin 181899
z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.
二、填空题
11．一般的，复数都可以表示为()cos sin z r i θθ=+的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数
学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果()1111cos sin z r i θθ=+，
()2222cos sin z r i θθ=+，那么()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，这也称为棣莫弗定理.结合以上
cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭
______.（结果表示为a bi +，,a b ∈R 的形式）
【答案】
【分析】
根据棣莫弗定理计算即可．
【详解】
cos sin cos sin 2244i i ππππ⎫⎫++=⎪⎪⎭⎭33
cos sin cos sin 242444i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫+++=+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦
22i ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝
⎭．
故答案为：+．
【点睛】
本题考查新定义，理解新定义是解题关键．
12．复数cos sin 1515z i π
π
=+是方程50x α-=的一个根，那么α的值等于________.
【答案】122
+ 【分析】
由题意转化条件得5z α=，再由复数三角形式的乘方法则即可得解.
【详解】 因为复数cos sin 1515z i π
π
=+是方程50x α-=的一个根，
所以55
1cos sin cos sin 15153322z i i ππππα⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭.
故答案为：12+. 【点睛】
本题考查了复数三角形式乘方法则的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
13．()13cos120sin 30022i ⎛⎫+÷︒-︒= ⎪ ⎪⎝⎭
_______________.
【答案】166
i - 【分析】
先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算.
【详解】
()13cos120sin 3002i ⎛⎫÷︒-︒ ⎪ ⎪⎝⎭
=()cos60sin60i ︒+︒()3cos120sin120i ÷︒+︒
()()1cos 60120sin 601203
i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦ ()()1cos 60sin 603i =-︒+-︒⎡⎤⎣
⎦
1132⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
166=
-
故答案为：16- . 【点睛】
本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式.
三、解答题
14．在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】+
【分析】
根据复数除法的意义，进行计算即可.
【详解】
与所得向量对应的复数为()
()4cos15sin15i +÷︒+︒ ()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒
()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦
()8cos45sin 45i =︒+︒822i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
=.
【点睛】
本题考查复数的除法的意义，属基础题.
15．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：
（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
（2）若0ix e <，求cos x 的值.
【答案】（1）第二象限，理由见解析；（2）cos 1x =-.
【分析】
（1）根据复数的欧拉公式将复数2i e 表示为一般形式，判断实部与虚部的符号，即可判断出该复数在复平面内对应的点所在的象限；
（2）由题意可知，复数cos sin ix e x i x =+为负实数，由此可得出sin 0cos 0x x =⎧⎨
<⎩
，利用同角三角函数的平方关系即可求出cos x 的值.
【详解】
（1）复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下： 2cos 2sin 2i e i =+在复平面内对应的点的坐标为()cos2,sin 2， 由于22π
π<<，因此cos20<，sin 20>，∴点()cos2,sin 2在第二象限，
故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限；
（2）cos sin 0ix e x i x =+<，ix e ∴为负实数（虚数无法比较大小）
22cos 0sin 0
cos sin 1x x x x <⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，解得cos 1x =-. 【点睛】
本题考查复数的新定义“欧拉公式”，解题时要结合“欧拉公式”将复数化为一般形式，考查推理能力与计算能力，属于基础题.。