山西省平遥县2017届高三4月质量检测理数试卷含答案

平遥县2017年4月高三质检
数学试题（理科）
本试卷满分：150分 考试时间:120分钟 命题人：王艳杰、王永
专
一、
选择题（每题5分,共60分）
1.已知集合
2
{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则A B =（ )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．[1,2)-
D ．(1,2)-
2。

已知复数z 满足i z i i
4311+=⋅-+，则z
=（ ）
A. 62
B. 7
C. 25
D.
5
3。

下列不等关系式正确的是 A ．5
54
4
1.5
1.7
>
B ．4
33444()()33
> C ．1
12
2
(
2)
(3)
-
-
> D ．3
12
2
(0.7)
(0.7)>
4．设是等比数列{｝的前n 项和，，则公比q=（ ）
A 、
B 、
C 、1或
D 、1或 5．函数
2ln y x x
=+的图象大致为( ）
6．设等差数列的前n 项和为n
S ，若4
4
S
=-，6
6
S
=，则5
S =（ )
A ．1
B ．0
C ．2-
D ．4
7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所
有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来； 若硬币正面朝下， 则这个人继续坐着.那么， 没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
(A)12
（B ）5
16
（C)7
16
（D)11
16
8.已知锐角α的终边上一点P （sin 40︒，1cos 40+︒)，则α等于（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．70︒ D ．80︒ 9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的体积为 ( ）
A ．4
B ．203
C ．263
D ．8
10．已知直线
()
:2l y k x =-与抛物线2
:8C y x =交于,A B 两点，
点()2,4M -满足
MA MB ⊥,则AB =（ )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．16
11．已知0ω>，将函数()cos f x x ω=的图象向右平移2π
个单位后得到函数
()sin 4g x x πω⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭的图象，则ω的最小值是（ ）
A ．3
2
B ．3
C ．43
D ．23
12．已知定义在（0，)上的函数
,若一族平行线
x=分别与f(x ）图象的交点为，且
成等比数列，其中i=1,2，…,n,则
1
n
i
i y
n
=∑ =（ )
A ．2n B.1 C.
12
D.
二、
填空题(每题5分，共20分)
13．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在轴上,
若双曲线C 的一条渐近线与直线
平行，则双曲线C 的离心率为
（ ）
14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理)：“幂势既同，则积不容 异"．“势’'即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底为l 的梯形，且当实数t 取［0，3］上的任意值时，直线y=t 被图l 和图2所截得的两线段长始终相等，则图l 的面积为 。

15.已知半径为1的球O 内切于正四面体A BCD -,线段MN 是球O 的一条动直径(,M N 是直径的两端点)，点P 是正四面体A BCD -的表面上的一个动点,则PM PN +的取值范围是 16．已知函数
2()2sin(
)1
2
f x x x x π
=-+的两个零点分别为m 、()n m n <，则
21n
m
x dx -=
⎰
________．
三、
解答题（共70分）
17．（12分)在
中， 内角A ，B,C 的对边分别为,,a b c 且。

22cos c a B b -=
（1）求角A 的大小；（2）若的面积为
34
,且，22cos 4c ab C a ++=求a .
18．（12分）如图所示，已知正六边
形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心,将它沿对角线FC 折叠，
使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是
边AB 的
中点.
（Ⅰ）证明:平面BFD ⊥平面EGO ；
（Ⅱ）求二面角O －EG －F 的余弦值；
19.(12分）持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一，为了贯彻落实国务院关于培养战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求,中央财政安排专项资金,支持开展私人购买新能源汽车补贴试点。

2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如下： 某课题组从汽
车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里
程R(单次充电后能行驶的最大里程，R [100，300］）进行如下分组：
纯电动续驶里程R
（公里）
100
150
R
补贴标准（万元／
辆）
2
3.6
4。

4
G
A
B
F
E
D
B
A F
E
D
O C C
O
第一组[100，150),第二组［150，200)，第三组［200，250),第四组［250,300]，制成如图所示的频率分布直方图.已知第一组与第三组的频率之比为1:4,第二组的频数为7.
（I ）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （II ）若以频率作为概率，设为
购买一辆纯
电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望E （)
20。

(12
分)已知椭圆C ：22221(0)
x y a b a b +=>>的离心率为3
2,1F 、2F 分别是椭
圆的左、右焦点，M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且12
MF F ∆的周长为423+．
（1）求椭圆C 的方程;
（2)过点)2,0(-D 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,点N 满足OB OA ON +=（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值．
21。

（12分）已知函数f (x ）＝alnx ＋错误!x 2－ax （a 为常数）． (Ⅰ）试讨论f (x )的单调性;
(Ⅱ)若f (x )有两个极值点分别为x 1,x 2.不等式f （x 1)＋f (x 2) ＜λ（x 1＋x 2)恒成立,求λ的最小值
22。

（10分）选修44-：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是3
1212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）中,以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=
（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（II)设直线l 与曲线C 相交于P ,Q 两点,求PQ 的值. 23. （10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()12f x x a x a
=
+-+-
（I ）若()13f <，求实数a 的取值范围； (II ）若1a ≥，x R ∈,求证：()2f x ≥。

平遥县2017年4月高三质检
数学答案（理科）
四、
选择题(每题5分，共60分）
五、
填空题(每题5分，共20分）
13 14．
92
15。

[2，6] 16．
2π
六、
解答题(共70分）
17．
22cos c a B b -=根据正弦定理得2sin 2sin cos sin C A B B -=…2分
sin sin sin()sin cos sin cos sin 2
B C A B A B codA B A B =+=+∴=
1sin 0cos 2B A ≠∴=。

.....。

...。

..。

5分 又
A ∈（0，π
）
3
A π
∴=
.。

.。

.....。

..。

(6)
（2)
22cos 4c ab C a ++=①，由余弦定理得222
cos 2
a b c ab C +-=
………7分
代入①得2
2283b
c a +=-,又由余弦定理222222cos a b c b A b c bc =+-=+-（8分)
137sin 1242ABC
S
bc A bc a ==∴=∴=
…………………12分
18．（Ⅰ）证明：O 是正六边形ABCDEF 的中心， OE FD ⊥，。

因为平面ABCF ⊥平面FCDE ， 平面ABCF 平面 FCDE FC =,
GO ⊂平面ABCF ，GO ⊥平面FCDE .
因为 DF ⊂平面FCDE ，所以 GO DF ⊥. ……2分
因为 EO ⊂平面EOG ，GO ⊂平面EOG ，
EO GO O =，所以 DF ⊥平面EGO . ……..4分
因为
DF ⊂平面DFB ，所以 平面BFD ⊥平面EGO 。

(5分）
（Ⅱ）解：取DE 的中点H ，则OH FC ⊥。

分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由2AB =得(3,0,0)G ，3)D ，(0,3)E -，(0,2,0)F -， (6)
分
则0)FD =,3)FE =，(3,2,0)FG =。

由(Ⅰ）知：
DF ⊥平面EGO .所以 平面EGO 的一个
法向量为3)FD =….8分
0,
0,
m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =，则
即30,320.y y ⎧=⎪+= 令
3
y =，则
1
z =-,
2
x =-。

所以
(3,1)m =--。

……………11分
所以 二面角O EG F --的余弦值为
(2,3,1)(0,3,3)2
4431093
--⋅=++⋅++ (12)
x
y
z
H
分
19. 20。

12
32
c e MF F a =
= 的周长是22423,a c +=+
22232,34,1a c a c a b ∴+=+∴==∴==
2
2 1...........................44x y +=
（2）∵OB OA ON +=，∴四边形OANB 为平行四边形, 显然直线l 的斜率存在,设l 的方程为),(),,(,222
1
1
y x
B y x A kx y -=，
把2-=kx y 代入1422
=+y x 得
01216)41(2
2=+-+kx x k ， 由0)41(4816222
>+-=∆k k 得
43
2>
k ，
∴2
214116k k
x x +=+，
2
214112k x x +=
，………………………6分
∵||||||21
2121x x x x OD S OAB -=-⋅=
∆
∴2
1221214)(2||22x x x x x x S S OAB OANB -+=-==∆
=
2
22222)41(3
48
41124)4116(2k k k k k +-=+-+，………………………8分
令0342
>-=k t ，∴243k t =+,
∴
216
18
16818)
4(8
2
=≤+
+=+=t
t t t
S OANB …………………10分
当且仅当4=t ,即2
7±
=k 时取等号，∴2)
(max
=OANB S
， (12)
分
21．解：（Ⅰ）f′（x ）＝错误!＋x －a ＝错误! （x
〉0)， ①当a ＜0时，解f′（x)＝0
得，x
f （x ）的单调减区间为(0
,单调增区间为,+∞)； …
2分
②当0≤a ≤4时，x 2－ax ＋a ＝0的Δ＝a 2－4a ≤0，
所以f′（x ）≥0，f （x)的增区间为（0，+∞）,无减区间； ……………4分
③当a ＞4时,Δ＝
a 2－4a ＞0，解f′（x ）＝0
得,x 1,2
f(x ）的单调增区间为（0
,
，+∞)，
单调减区间为
.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ)可知f （x ）有两个极值点时,设为x 1，x 2，则 a ＞4，x 1
＋x 2＝a ，x 1x 2＝a
故f （x 1）＋f （x 2)＝alnx 1＋错误!x 错误!－a x 1＋alnx 2＋错误!x 错误!－ax 2＝aln
（x 1x 2)＋错误!（x 错误!＋x 错误!）－a (x 1＋x 2）
＝aln （x 1x 2)＋1
2
（x 1＋x 2)2－x 1x 2－a （x 1＋x 2）＝a 错误!
于是错误!＝lna －错误!a －1,a ∈错误!。

……………9分 令φ(a )＝lna －错误!a －1，则φ′(a )＝错误!－错误!.
因为a 〉4，所以φ′(a ) ＜0.于是φ(a ）＝lna －错误!a －1在错误!上单调递减．
因此错误!＝φ（a ) ＜φ（4)＝ln4－3。

且错误!可无限接近ln4－3.
又因为x 1＋x 2〉0，故不等式f （x 1)＋f （x 2) ＜λ(x 1＋x 2）等价于错误!＜λ。

所以λ的最小值为ln4－3。

………………12分 22 .（I)直线l 的普通方程
:
10
x -+=
曲线C 的直角坐标方程： ()
2
224
x y -+=………5分
（II
）将112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入()2224x y -+=
得250t -+=,
设P ,Q 两点的参数分别为1
t ，2
t
，则1
2t
t +=，125t t ⋅=,
从而有
1PQ t =-=……10分
23.(I ）由题意有()121f a a =+-,
当0a ≤时，()11213f a a a =+-=-，解()13f <得23a >-
，所以2
3a -<≤
当102a <≤
时,()1121f a a a =+-=-,解()13f <得2a >-，所以1
02a <≤
当
12a >
时,()11231f a a a =+-=-，解()13f <得43a <，所以14
23a <<
学必求其心得，业必贵于专精
综上，实数a的取值范围是
24
,
33
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭………5分
(II)当1
a≥,x R∈时,由绝对值三角不等式有
()()()
121231312
f x x a x a x a a x a a
=+-+-≥+-+-=-=-≥………10分。