2019-2020学年福建省福州一中高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年福建省福州一中高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
2．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）
A．B．3C．D．6
3．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）
A．B．
C．D．
4．已知函数f（x）＝2x+2﹣x，则（）
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
D．＞＞
5．我省明年高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，
则他们选课没有相同科目的概率为（）
A．B．C．D．
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知2b﹣a cos C＝0，sin A＝3sin（A+C），则＝（）
A．B．C．D．
7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过两点、，f（x）在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A．B．
C．D．
8．已知函数f（x）＝2x+3，g（x）＝x+lnx，若f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．2C．D．
二、多项选择题（共4小题）.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列命题中是真命题的有（）
A．“”是“log3a＞log3b”的充分不必要条件
B．∃x∈（﹣∞，0），使2x＜3x
C．∀x∈（0，），tan x＞sin x
D．若角α是第一象限角，则的取值集合为{﹣2，2}
10．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）
A．2至3月份的支出的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
B．利润最高的月份是3月份和10月份
C．第三季度平均月收入为5000元
D．支出最高值与支出最低值的比是5：1
11．已知函数f（x）＝e|x|sin x，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是以2π为周期的函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）在上为增函数
D．f（x）在（﹣10π，10π）内有20个极值点
12．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．则下列有关说法中，正确的是（）
A．对于圆O：x2+y2＝1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B．函数f（x）＝sin x+1是圆O：x2+（y﹣1）2＝1的一个太极函数
C．存在圆O，使得f（x）＝是圆O的一个太极函数
D．直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1＝0所对应的函数一定是圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2
＝R2（R＞0）的太极函数．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13．若sin（π+α）＝，则cos（α﹣）＝．
14．已知函数f（x）＝，若f（m）＝4，则f（﹣m）＝．
15．U＝{1，2，3，4}，非空集合A，B是U的子集，且∃x∈A，使得∀y∈B都有x＞y，则满足条件的集合对（A，B）共有对．
16．函数f（x）＝（x2﹣3）e x，关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+1＝0恰有四个不同的实数解，则正数m的取值范围为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设函数f（x）＝cos x•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．
18．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间与性别是否有关，某调查小组随机抽取了30名男生，20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示；
平均每天使用手机超过3小时平均每天使用手机不超过3小时合计男生25530女生101020合计351550（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？
（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在未使用国产手机的人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有2人．从未使用国产手机的人中任意选取3人，求至多有一人使用手机不超过3小时的概率．
P（k2≥0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.010
k0）
k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635参考公式：K2＝，（n＝a+b+c+d）
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a＝c sin B+2b cos C．（1）求tan B；
（2）若a+c＝3+，b＝2，求△ABC的面积S．
20．已知函数f（x）＝x3﹣alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y＝f（x）在区间（1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．21．2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．围绕这个目标，福建省正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战、为响应国家政策，小型杂货店店主老张在报社的帮助下代售某报纸．据长期统计分析，老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布如表所示：
需求量910111213
频率0.30.360.180.090.07已知该报纸进价为每份1.5元，售价为每份2元．若供大于求，则每份报纸以每份1.2元的价格退回报社．以频率估计概率，回答下面问题：
（1）根据统计结果，老张在每日报纸进货量为9，10，11份之间犹豫不决，为了使收益最大，请为老张选择最合适的报纸进货量，并说明理由；
（2）若老张以（1）中的最合适方案确定每天的进货量，在一个月（以30天计）中，多少天将报纸销售完的概率最大？
22．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．
解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，
∁B A＝[3，+∞）．
故选：A．
2．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）
A．B．3C．D．6
【分析】推导出f（log23）＝f（log23+1）＝（），由此能求出结果．解：∵函数，
∴f（log23）＝f（log23+1）＝（）
＝×
＝＝．
故选：A．
3．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A和B．
当x＝时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝2x+2﹣x，则（）
A．＞＞
B．＞＞
C．＞＞
D．＞＞
【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求出函数的导数，分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由log43＜1＜＝＜＝，分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝2x+2﹣x，其定义域为R，
有f（﹣x）＝2﹣x+2x＝2x+2﹣x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；
f（log4）＝f（log43），f（﹣）＝f（），f（﹣）＝f（）
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝（2x﹣2﹣x）ln2，
又由x＞0，则2x＞1＞2﹣x，则（2x﹣2﹣x）＞0，则有f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由log43＜1＜＝＜＝，
则有＞＞；
故选：C．
5．我省明年高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必修，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课没有相同科目的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝＝144，他们选课没有相同科目包含的基本事件有m＝＝12，由此能求出他们选课没有相同科目的概率
解：高考将实行3+1+2模式，
今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，
基本事件总数n＝＝144，
他们选课没有相同科目包含的基本事件有m＝＝12，
则他们选课没有相同科目的概率为p＝＝＝．
故选：B．
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知2b﹣a cos C＝0，sin A＝3sin（A+C），则＝（）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可得a，b，c的关系，待人即可求解．
解：∵2b﹣a cos C＝0，
由余弦定理可得2b＝，
整理可得，3b2+c2＝a2，①
∴sin A＝3sin（A+C）＝3sin B，
由正弦定理可得，a＝3b②，
①②联立可得，c＝，
则＝＝．
故选：D．
7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过两点、，f（x）在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A．B．
C．D．
【分析】由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解．
解：由已知可得：sinφ＝，0＜φ＜π，
所以φ＝或φ＝，
①当φ＝时，sin（）＝0，
所以ω＝﹣1+4k，k∈N+，
若ω＝3时，f（x）＝sin（3x+）在（0，）有一个极大值点，不符合题意，
若ω＝7时，f（x）＝sin（7x+）在（0，）极大值点为小于极小值点，符合题意，
②φ＝时，sin（）＝0，
所以ω＝﹣3+4k，k∈N+，
若ω＝5时，f（x）＝sin（5x+）在（0，）有一个极小值点，不符合题意，若ω＝9时，f（x）＝sin（9x+）在（0，）极小值点为和极大值点，不符合题意，
综合①②得：
故选：C．
8．已知函数f（x）＝2x+3，g（x）＝x+lnx，若f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．2C．D．
【分析】设P（x1，a），Q（x2，a），则2x1+3＝x2+lnx2，表示出x1，求出|PQ|，利用导数求出|PQ|的最小值．
解：设P（x1，a），Q（x2，a），则2x1+3＝x2+lnx2，
∴x1＝（x2+lnx2﹣3），
∴|PQ|＝x2﹣x1＝（x2﹣lnx2）+
令h（x）＝（x﹣lnx）+，则h′（x）＝（1﹣），
x∈（0，1）时h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x＝1时，函数的最小值为2，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列命题中是真命题的有（）
A．“”是“log3a＞log3b”的充分不必要条件
B．∃x∈（﹣∞，0），使2x＜3x
C．∀x∈（0，），tan x＞sin x
D．若角α是第一象限角，则的取值集合为{﹣2，2}
【分析】由指对数函数的单调性、定义域及充分必要条件的概念可知A错误，由指数运算及其性质可知B正确，由余弦函数有界性可得C正确，由三角函数象限角的定义可得D正确．
解：对于A选项：
由，
所以““是“log3a＞log3b“的必要不充分条件，
故A错误；
对于B选项：
因为当x＜0 时，即2x＞3x，不存在x∈（﹣∞，0）使2x＜3x，
故B错误；
对于C选项：
因为当时，sin x，cos x，tan x都大于0，而且cos x∈（0，1），于是
，
故C正确；
对于D选项：
因为角的终边在第一象限，即，
所以，
当k为奇数时，在第三象限，，
当k为偶数时在第一象限，，
所以的取值集合为{﹣2，2}，
故D正确．
故选：CD．
10．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）
A．2至3月份的支出的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
B．利润最高的月份是3月份和10月份
C．第三季度平均月收入为5000元
D．支出最高值与支出最低值的比是5：1
【分析】仔细观察收入、支出情况的统计图，结合图形进行判断．
解：由图可知，2至3月份的支出的变化率为与4至5月份的支出的变化率不同，故A 错误，
由图可知，每月利润依次为20，20，30，20，20，20，20，10，20，30，20，20，即利润最高的月份是3或10月份，故B正确，
由图可知，第三季度平均收入为（40+50+60）＝50百元＝5000元，故C正确，由图可知，收入最低值为3000元，支出最高值为6000元，支出最高值与收入最低值的比是2：1，故D错误，
故选：BC．
11．已知函数f（x）＝e|x|sin x，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是以2π为周期的函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）在上为增函数
D．f（x）在（﹣10π，10π）内有20个极值点
【分析】根据周期函数的定义判定选项A错误；根据奇偶函数的定义可知选项B正确，根据导函数的正负及零点的个数可判断选项C正确，D错误．
解：对于A选项：
因为f（x+2π）＝e|x+2π|sin（x+2π）＝e|x+2π|sin x≠e|x|sin x，
即f（x+2π）≠f（x），所以f（x）不是周期为的周期函数，
故A错误；
对于B选项：
因为函数f（x）的定义域为R，
f（﹣x）＝e|﹣x|sin（﹣x）＝﹣e|x|sin x＝﹣f（x），
所以函数f（x）是奇函数，
故B正确；
对于C选项：
f（x）＝e x sin x，f′（x）＝e x sin x+e x cos x＝，
当时，
，
所以f（x）在上单调递增，根据奇函数的性质可知，f（x）在上单调递增，
故C正确；
对于D选项：
x⩾0 时，f（x）＝e x sin x，
令f′（x）＝e x sin x+e x cos x＝0，
，
即，解得x解集为，
即方程共有10个解，且0不是方程的解，根据奇函数的对称性可知，
当﹣10π＜x＜0 时，方程f′（x）＝0也有10个解，
即当x∈（﹣10π，10π）时，函数f（x）的导数f′（x）有20个变号零点，
即f（x）在（﹣10π，10π）内有20个极值点，
故选项D正确；
故选：BCD．
12．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
O的一个“太极函数”．则下列有关说法中，正确的是（）
A．对于圆O：x2+y2＝1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B．函数f（x）＝sin x+1是圆O：x2+（y﹣1）2＝1的一个太极函数
C．存在圆O，使得f（x）＝是圆O的一个太极函数
D．直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1＝0所对应的函数一定是圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝R2（R＞0）的太极函数．
【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．
解：对于A选项：
举下面这个反例，
故A错误；
对于B选项：
点（0，1）均为两曲线的对称中心，且f（x）＝sin x+1 能把圆O的周长和面积同时等分成两个部分，
故B正确；
对于C选项：
因为，所以函数f（x）为奇函数，
当x→0+时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→1，当x→0﹣时，f（x）→﹣∞，当x →﹣∞时，f（x）→﹣1，
函数f（x）关于（0，0）中心对称，有三条渐近线y＝±1，x＝0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．
故C错误；
对于D选项：
直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1＝0 恒过定点（2，1），满足题意，
故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13．若sin（π+α）＝，则cos（α﹣）＝．
【分析】由已知利用诱导公式化简即可求解．
解：∵sin（π+α）＝﹣sinα＝，
∴cos（α﹣）＝cos（﹣α）＝﹣sinα＝．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝，若f（m）＝4，则f（﹣m）＝﹣2．【分析】根据题意，求出f（﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（﹣x）＝2，据此分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝，f（﹣x）＝，
则有f（x）+f（﹣x）＝（）+（）＝2，
则有f（m）+f（﹣m）＝2，
若f（m）＝4，则f（﹣m）＝﹣2；
故答案为：﹣2
15．U＝{1，2，3，4}，非空集合A，B是U的子集，且∃x∈A，使得∀y∈B都有x＞y，则满足条件的集合对（A，B）共有70对．
【分析】根据题意，按照集合A中元素的最大值分3种情况讨论，求出每种情况下集合对数目，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，分3种情况讨论：
①A种最大的元素为2，此时A有2种情况，B只有1种情况，则此时集合对（A，B）
有2×1＝2对，
②A种最大的元素为3，此时A有4种情况，B有4﹣1＝3种情况，则此时集合对（A，
B）有4×3＝12对，
③A种最大的元素为4，此时A有8种情况，B有8﹣1＝7种情况，则此时集合对（A，
B）有8×7＝56对，
则符合题意为集合对（A，B）有2+12+56＝70对；
故答案为：70．
16．函数f（x）＝（x2﹣3）e x，关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+1＝0恰有四个不同的实数解，则正数m的取值范围为
（+，+∞）．
【分析】先利用导数得到f（x）极大值＝f（﹣3）＝，f（x）极小值＝f（1）＝﹣2e，令f （x）＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不同的实数根，且一个根在（0，）内，一个根在（，∞）内，令g（x）＝x2﹣mx+1，因为g（0）＝1＞0，所以只需g（）＜0，即﹣+1＜0，从而解得m的取值范围．
解：f'（x）＝（x2+2x﹣3）e x＝（x+3）（x﹣1）e x，
令f'（x）＝0得，x＝﹣3或1，
当x＜﹣3时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，且f（x）＞0，当﹣3＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣3，1）上单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）极大值＝f（﹣3）＝，f（x）极小值＝f（1）＝﹣2e，
令f（x）＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不同的实数根t1，t2，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，
或者两个根都在（﹣2e，0）内，或者一个人根在（﹣2e，0）内，一个根为，
因为m为正数，所以t1+t2＝m＞0，又t1t2＝1，所以t1，t2都为正根，
所以两个根不可能在（﹣2e，0）内，
令g（x）＝x2﹣mx+1，因为g（0）＝1＞0，
所以只需g（）＜0，即﹣+1＜0，得m＞+，
即m的取值范围为：（+，+∞），
故答案为：（+，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设函数f（x）＝cos x•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的对称中心．
（2）利用函数的平移变换的应用求出函数的关系式，最后利用函数的定义域求出函数的值域．
解：（1）函数f（x）＝cos x•sin（x+）﹣cos2x+，
＝
＝，
＝，
＝，
＝．
所以函数的最小正周期为．
令，解得x＝（k∈Z）．
所以函数的对称中心为（）（k∈Z）
（2）函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）＝
的图象．
由于，
所以，
故．
所以：
18．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间与性别是否有关，某调查小组随机抽取了30名男生，20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示；
平均每天使用手机超过3小时平均每天使用手机不超过3小时合计男生25530
女生101020
合计351550（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？
（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在未使用国产手机的人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有2人．从未使用国产手机的人中任意选取3人，求至多有一人使用手机不超过3小时的概率．
P（k2≥
0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.010
k0）
k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635参考公式：K2＝，（n＝a+b+c+d）
【分析】（1）根据K2的参考公式计算出其观测值，并与附录中的数据进行对比即可得解；
（2）这20名女生中，未使用国产手机的共有5人，“任意抽取的3人中，至多有一人使用手机不超过3小时”包含0人和1人使用手机不超过3小时两种情形，然后结合组合数与古典概型求概率即可．
解：（1）K2＝＝≈6.349＜6.635，
故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
（2）这20名女生中，未使用国产手机的共有20﹣15＝5人，
从未使用国产手机的人中任意选取3人，记“至多有一人使用手机不超过3小时”为事件A，
则P（A）＝＝．
所以从未使用国产手机的人中任意选取3人，至多有一人使用手机不超过3小时的概率为．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a＝c sin B+2b cos C．（1）求tan B；
（2）若a+c＝3+，b＝2，求△ABC的面积S．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin C cos B＝sin C sin B，结合sin C≠0，可求tan B的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B，sin B的值，由余弦定理可求得ac＝3，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：（1）∵2a＝c sin B+2b cos C．
∴由正弦定理可得2sin A＝sin C sin B+2sin B cos C，
∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，
∴2sin C cos B＝sin C sin B，
∵C为三角形内角，sin C≠0，
∴2cos B＝sin B，可得tan B＝．
（2）∵tan B＝，
∴可得cos B＝＝，可得sin B＝＝，
∵a+c＝3+，b＝2，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得4＝a2+c2﹣2×a×c×＝（a+c）2﹣2ac﹣ac＝（3+）2﹣2ac﹣ac，
∴可得ac＝3，
∴S△ABC＝ac sin B＝3×＝．
20．已知函数f（x）＝x3﹣alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y＝f（x）在区间（1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出，
（2）函数y＝a图象与函数图象有两个不同的交点，再求导
，求出函数的最小值，即可求出a的取值范围．解：（1）∵
①若a≤0时，f'（x）＞0，此时函数在（0，+∞）上单调递增；
②若a＞0时，又得：，
当时f'（x）＜0，此时函数在上单调递减；
当时f'（x）＞0，此时函数在上单调递增；
（2）由题意知：在区间（1，e]上有两个不同实数解，
即函数y＝a图象与函数图象有两个不同的交点，
因为，
令g'（x）＝0得：
所以当时，g'（x）＜0，函数在上单调递减
当时，g'（x）＞0，函数在上单调递增；
则，
而，且g（e）＝e3＜27，
要使函数y＝a图象与函数图象有两个不同的交点，
所以a的取值范围为（3e，e3]．
21．2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．围绕这个目标，福建省正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战、为响应国家政策，小型杂货店店主老张在报社的帮助下代售某报纸．据长期统计分析，老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布如表所示：
需求量910111213
频率0.30.360.180.090.07已知该报纸进价为每份1.5元，售价为每份2元．若供大于求，则每份报纸以每份1.2元的价格退回报社．以频率估计概率，回答下面问题：
（1）根据统计结果，老张在每日报纸进货量为9，10，11份之间犹豫不决，为了使收益最大，请为老张选择最合适的报纸进货量，并说明理由；
（2）若老张以（1）中的最合适方案确定每天的进货量，在一个月（以30天计）中，多少天将报纸销售完的概率最大？
【分析】（1）设老张在每日报纸进货量为9，10，11份时的收益分别为X，Y，Z，分别求出E（X）＝4.5，E（Y）＝4.76，E（Z）＝4.732．由E（X）＜E（Z）＜E（Y），得到为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸．
（2）老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，由此能求出在一个月（以30天计）中，多少天将报纸销售完的概率最大．
解：（1）设老张在每日报纸进货量为9，10，11份时的收益分别为X，Y，Z，
当老张在每日报纸进货量为9份时，E（X）＝9×2﹣9×1.5＝4.5，
当老张在每日报纸进货量为10份时，
需求量为9份时，Y＝9×2﹣10×1.5+1.2＝4.2，P（Y＝4.2）＝0.3，
当需求量不小于10份时，Y＝10×2﹣10×1.5＝5，P（Y＝5）＝0.7，
E（Y）＝4.2×0.3+5×0.7＝4.76，
当老张在每日报纸进货量为11份时，
需求量为9份时，Z＝9×2﹣11×1.5+2×1.2＝3.9，P（Z＝3.9）＝0.3，
需求量为10份时，Z＝10×2﹣11×1.5+1.2＝4.7，P（Z＝4.7）＝0.36
当需求量不小于11份时，Z＝11×2﹣11×1.5＝5.5，P（Z＝5.5）＝0.34，
E（Z）＝3.9×0.3+4.7×0.36+5.5×0.34＝4.732．
∵E（X）＜E（Z）＜E（Y），
∴为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸．
（2）由（1）知老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，
由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，
∴在一个月（以30天计）中，30×0.7＝21天将报纸销售完的概率最大．
22．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；
（2）求出函数的极值点，问题转化为lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），根据函数的单调性确定k的范围即可．
解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，
∴a＞0且a≠1，
令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，
①0＜a＜1时，﹣lna＞0，
∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，
②a＞1时，﹣lna＜0，
∴当x＞0或x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣lna＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x1＝0时，函数取得极小值，当x2＝﹣lna时，函数取得极大值，
故a的范围为（0，1）∪（1，+∞），
（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，
∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，
∵f（x1）＞﹣kf（x2），令﹣k＝m，
∵a﹣1＞m[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，
由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故m＞0，
故（a+1）lna＜（1）（a﹣1），
即lna＜（1），
设g（x）＝lnx﹣（1）），
g′（x）＝，
令+1＝0（*），△＝，
①m≥1时，△≤0，
故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，
故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1），符合题意，
②0＜m＜1时，△＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，
则x3+x4＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，
则当x∈（x3，x4）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
故当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1），矛盾，不合题意，综上，m≥1，即﹣k≥1，
∴k≤﹣1．。