2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件：第二章平面向量 2.7.1
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6.过点P(x0,y0)且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为m(x-x0)+n(yy0)=0.
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12
【做一做2-1】 直线2x-y-1=0的一个法向量是( )
A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)
答案:A 【做一做2-2】 已知直线l经过点A(1,-2),且直线l的一个法向量
∵ ������������ = (������ − 2, ������ + 1),a=(5,1),
∴5(x-2)+(y+1)=0,即5x+y-9=0. 故过点A且与向量a=(5,1)垂直的直线方程为5x+y-9=0. (方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)垂直, ∴所求直线的斜率为-5. 又所求直线过点A(2,-1), ∴所求直线方程为y-(-1)=-5(x-2),即5x+y-9=0.
由题意,知������������与n 平行, 所以2(y+3)-(-3)·x=0,
即所求直线方程为3x+2y+6=0.
答案:3x+2y+6=0
12345
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5.已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),求△ABC的面积. 解:由两点式可求出直线AB的方程为x-2y-4=0.
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
|3+4× 2+������ | 32 +4 2
=
5,
解得m=14
或-36.
答案:14或-36
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4.过点B(0,-3)且垂直于直线2x-3y+2=0的直线方程为
.
解析:取直线2x-3y+2=0的法向量n=(2,-3).
设点 P(x,y)在所求直线上,则������������ = (������, ������ + 3).
解:(1)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x,y),由题意,知 ������������∥a.而������������ = (������ − 2, ������ + 1),a=(5,1),
∴5(y+1)-(x-2)=0,即x-5y-7=0.
故过点A且与向量a=(5,1)平行的直线方程为x-5y-7=0.
题型二
题型三
【变式训练2】 在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),求边AC上的高 所在直线的方程.
解∵A(-1,2),C(2,-3),
∴ ������������ = (3, −5)即为所求直线的法向量. 又点 B 在边 AC 的高上, 设 P(x,y)为所求直线上不同于 B 的一点,
3.若直线 l 的倾斜角为 α,斜率为 k,向量 a=(m,n)平行于 l,则
k=tan
α=
������ ������
;
反之,若直线的斜率
k=
������ ������
,
则向量a=(m,n)一定
与该直线平行.
4.向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行.
5.过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)平行的直线方程为n(x-x0)-m(yy0)=0.
则������������ ⊥ ������������, 即������������ ·������������ = 0, 又������������ = (������ − 3, ������ − 1), 则 3(x-3)+(-5)·(y-1)=0, ∴3x-5y-4=0 为所求直线的方程.
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题型一
题型二
题型三
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反思在例2中,方法一采用了求轨迹方程的方法,先在所求直线上 设一动点P(x,y),再利用向量平行、垂直的等价条件建立关于x,y的 关系式;方法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间 的关系求解.
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2.直线3x+4y+1=0的一个方向向量是( ) A.(3,4) B.(4,-3) C.(-3,4) D.(-4,-3) 答案:B
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3.若点M(1,2)到直线3x+4y+m=0的距离d=5,则m=
.
解析:由题意,知
������2 +������2
【做一做1-1】 点P(1,0)到直线y=3x+2的距离d=
.
解析:直线为 3x-y+2=0,故点 P(1,0)到该直线的距离 d=
|3+2| =
32+(-1)2
210.
答案:
10 2
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【做一做1-2】 已知定点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,当线
n=(2,3),则点B(2,3)到直线l的距离是
.
解析:依题意,得������������ = (1,5),由距离的向量式d= ������������·|������������| ,
可得d=
|1 × 2+ 5× 3| 22+32
=
171313 .
答案:171313
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题型一
题型二
题型三
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经 离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍 自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对 讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
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题型一 求点到直线的距离
【例1】 点M(3,-4)到直线2x-y+1=0的距离d=
.
解析:d=
|6 + 4+1| 22 +(-1)2
=
11 5
5.
答案:115 5
反思求点M(x0,y0)到直线l的距离时,需将直线l的方程化为一般形 式.
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题型一
正解:设直线 l1,l2 的夹角为 θ,
则 cos θ=
������1·������2 | ������1||������2|
=
1×1+2×(-1) 5× 2
= 10.
10
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1.直线l:x+y+1=0的一个法向量是( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(1,0) 答案:A
∵点C到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高h,
∴h=
|0-2×2-4| 5
=
8 = 8 5.
55
又 AB=2
5,
∴
������△ABC=
1 2
������������·h=
1 2
×
2
5 × 8 5 = 8.
5
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编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
§7 向量应用举例
-1-
7.1 点到直线的距离公式
-2-
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1.理解直线的法向量的意义. 2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法. 3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.
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1.点到直线的距离公式
若 M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |������������0 + ������������0 +������|.
题型二
题型三
【变式训练1】 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为
()
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
解析:(方法一)设直线方程为 y-2=k(x-1),由点到直线的距离公式
有 d= |������-2| ,
������2+1
所以 d2(k2+1)=(k-2)2.
段AB最短时,点B的坐标是
.
解析:点 A 到点 B 的距离最短时,AB⊥l,故可以通过������������与l 的法
向量共线列出方程组求解.点 B 在直线 l 上,故可设 B(x0,-x0).由题意
பைடு நூலகம்
知直线 l 的一个法向量为(1,1),由������������与l 的法向量共线有
(x0,-x0-1)=λ(1,1),λ∈R,所以
=
1×1+2×(-1) 5× 2
=
−
10.
10
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题型一
题型二
题型三
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错因分析:本题错在对两类夹角的范围认识不清,两直线夹角的
范围是
0,
π 2
, 两向量夹角的范围为[0,π].利用向量的夹角求有关直
线的夹角的问题时,要将向量的夹角转化成直线的夹角,两类夹角是
相等或互补的关系.
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题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点 混淆直线夹角与向量夹角的范围而致误
【例3】 已知直线l1,l2的方向向量分别为v1=(1,2),v2=(1,-1),求 l1,l2夹角的余弦值.
错解:设l1,l2的夹角为θ,
则 cos
θ=
������1 ·������2 |������1 ||������2 |
所以(d2-1)k2+4k+d2-4=0,此方程有解,故 Δ≥0,解得 d≤ 5,
当距离为
5时最大,此时
k=−
1 2
,
所以直线方程为
x+2y-5=0.
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题型一
题型二
题型三
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(方法二)所求直线过点 A,且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,
故所求直线的斜率为
−
1 2
������ ������
= =
���-������0���0,-1,所以x0=−
1 2
,
所以点B
的坐标
是
-
1 2
,
1 2
.
答案:
-
1 2
,
1 2
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12
2.法向量
与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量.
名师点拨1.直线的法向量与直线的方向向量垂直.
2.直线的法向量有无数多个.
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,
所以直线方程为y-2=−
1 2
(������
−
1),
即x+2y-5=0.
答案:A
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题型一
题型二
题型三
题型二 直线的方向向量与法向量的应用
【例2】 已知点A(2,-1),求: (1)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)平行的直线的方程; (2)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)垂直的直线的方程.
(方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)平行, ∴所求直线的斜率为 1.
5
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题型一
题型二
题型三
又所求直线过点 A(2,-1),
∴所求直线方程为
y-(-1)=
1 5
(������
−
2),
即 x-5y-7=0.
(2)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x,y).
由题意,知������������⊥a,即������������·a=0.
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【做一做2-1】 直线2x-y-1=0的一个法向量是( )
A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)
答案:A 【做一做2-2】 已知直线l经过点A(1,-2),且直线l的一个法向量
∵ ������������ = (������ − 2, ������ + 1),a=(5,1),
∴5(x-2)+(y+1)=0,即5x+y-9=0. 故过点A且与向量a=(5,1)垂直的直线方程为5x+y-9=0. (方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)垂直, ∴所求直线的斜率为-5. 又所求直线过点A(2,-1), ∴所求直线方程为y-(-1)=-5(x-2),即5x+y-9=0.
由题意,知������������与n 平行, 所以2(y+3)-(-3)·x=0,
即所求直线方程为3x+2y+6=0.
答案:3x+2y+6=0
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5.已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),求△ABC的面积. 解:由两点式可求出直线AB的方程为x-2y-4=0.
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
|3+4× 2+������ | 32 +4 2
=
5,
解得m=14
或-36.
答案:14或-36
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4.过点B(0,-3)且垂直于直线2x-3y+2=0的直线方程为
.
解析:取直线2x-3y+2=0的法向量n=(2,-3).
设点 P(x,y)在所求直线上,则������������ = (������, ������ + 3).
解:(1)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x,y),由题意,知 ������������∥a.而������������ = (������ − 2, ������ + 1),a=(5,1),
∴5(y+1)-(x-2)=0,即x-5y-7=0.
故过点A且与向量a=(5,1)平行的直线方程为x-5y-7=0.
题型二
题型三
【变式训练2】 在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),求边AC上的高 所在直线的方程.
解∵A(-1,2),C(2,-3),
∴ ������������ = (3, −5)即为所求直线的法向量. 又点 B 在边 AC 的高上, 设 P(x,y)为所求直线上不同于 B 的一点,
3.若直线 l 的倾斜角为 α,斜率为 k,向量 a=(m,n)平行于 l,则
k=tan
α=
������ ������
;
反之,若直线的斜率
k=
������ ������
,
则向量a=(m,n)一定
与该直线平行.
4.向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行.
5.过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)平行的直线方程为n(x-x0)-m(yy0)=0.
则������������ ⊥ ������������, 即������������ ·������������ = 0, 又������������ = (������ − 3, ������ − 1), 则 3(x-3)+(-5)·(y-1)=0, ∴3x-5y-4=0 为所求直线的方程.
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反思在例2中,方法一采用了求轨迹方程的方法,先在所求直线上 设一动点P(x,y),再利用向量平行、垂直的等价条件建立关于x,y的 关系式;方法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间 的关系求解.
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2.直线3x+4y+1=0的一个方向向量是( ) A.(3,4) B.(4,-3) C.(-3,4) D.(-4,-3) 答案:B
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3.若点M(1,2)到直线3x+4y+m=0的距离d=5,则m=
.
解析:由题意,知
������2 +������2
【做一做1-1】 点P(1,0)到直线y=3x+2的距离d=
.
解析:直线为 3x-y+2=0,故点 P(1,0)到该直线的距离 d=
|3+2| =
32+(-1)2
210.
答案:
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【做一做1-2】 已知定点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,当线
n=(2,3),则点B(2,3)到直线l的距离是
.
解析:依题意,得������������ = (1,5),由距离的向量式d= ������������·|������������| ,
可得d=
|1 × 2+ 5× 3| 22+32
=
171313 .
答案:171313
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题型二
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一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经 离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍 自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对 讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
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题型一 求点到直线的距离
【例1】 点M(3,-4)到直线2x-y+1=0的距离d=
.
解析:d=
|6 + 4+1| 22 +(-1)2
=
11 5
5.
答案:115 5
反思求点M(x0,y0)到直线l的距离时,需将直线l的方程化为一般形 式.
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题型一
正解:设直线 l1,l2 的夹角为 θ,
则 cos θ=
������1·������2 | ������1||������2|
=
1×1+2×(-1) 5× 2
= 10.
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1.直线l:x+y+1=0的一个法向量是( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(1,0) 答案:A
∵点C到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高h,
∴h=
|0-2×2-4| 5
=
8 = 8 5.
55
又 AB=2
5,
∴
������△ABC=
1 2
������������·h=
1 2
×
2
5 × 8 5 = 8.
5
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常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
§7 向量应用举例
-1-
7.1 点到直线的距离公式
-2-
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1.理解直线的法向量的意义. 2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法. 3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.
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1.点到直线的距离公式
若 M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |������������0 + ������������0 +������|.
题型二
题型三
【变式训练1】 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为
()
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
解析:(方法一)设直线方程为 y-2=k(x-1),由点到直线的距离公式
有 d= |������-2| ,
������2+1
所以 d2(k2+1)=(k-2)2.
段AB最短时,点B的坐标是
.
解析:点 A 到点 B 的距离最短时,AB⊥l,故可以通过������������与l 的法
向量共线列出方程组求解.点 B 在直线 l 上,故可设 B(x0,-x0).由题意
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知直线 l 的一个法向量为(1,1),由������������与l 的法向量共线有
(x0,-x0-1)=λ(1,1),λ∈R,所以
=
1×1+2×(-1) 5× 2
=
−
10.
10
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题型三
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错因分析:本题错在对两类夹角的范围认识不清,两直线夹角的
范围是
0,
π 2
, 两向量夹角的范围为[0,π].利用向量的夹角求有关直
线的夹角的问题时,要将向量的夹角转化成直线的夹角,两类夹角是
相等或互补的关系.
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题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点 混淆直线夹角与向量夹角的范围而致误
【例3】 已知直线l1,l2的方向向量分别为v1=(1,2),v2=(1,-1),求 l1,l2夹角的余弦值.
错解:设l1,l2的夹角为θ,
则 cos
θ=
������1 ·������2 |������1 ||������2 |
所以(d2-1)k2+4k+d2-4=0,此方程有解,故 Δ≥0,解得 d≤ 5,
当距离为
5时最大,此时
k=−
1 2
,
所以直线方程为
x+2y-5=0.
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题型一
题型二
题型三
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随堂演练
(方法二)所求直线过点 A,且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,
故所求直线的斜率为
−
1 2
������ ������
= =
���-������0���0,-1,所以x0=−
1 2
,
所以点B
的坐标
是
-
1 2
,
1 2
.
答案:
-
1 2
,
1 2
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2.法向量
与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量.
名师点拨1.直线的法向量与直线的方向向量垂直.
2.直线的法向量有无数多个.
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2019/7/18
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,
所以直线方程为y-2=−
1 2
(������
−
1),
即x+2y-5=0.
答案:A
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题型一
题型二
题型三
题型二 直线的方向向量与法向量的应用
【例2】 已知点A(2,-1),求: (1)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)平行的直线的方程; (2)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)垂直的直线的方程.
(方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)平行, ∴所求直线的斜率为 1.
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又所求直线过点 A(2,-1),
∴所求直线方程为
y-(-1)=
1 5
(������
−
2),
即 x-5y-7=0.
(2)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x,y).
由题意,知������������⊥a,即������������·a=0.