广东省六校联盟2017届高三第三次联考数学文试题(word版,附答案)

广东省六校联盟2017届高三第三次联考试题
文 科 数 学
命题：邓军民（广州市第二中学）本试卷共4页，20小题， 满分150分．考试用时120分钟
第Ⅰ卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数1ln 1y x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
的定义域为 (A) (),0-∞ (B) ()0,1 (C) ()1,+∞ (D) ()(),01,-∞+∞ （2）已知cos 1123πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
= (A) 13-
(B) 13
(C) 3-
(D) 3
（3）对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是
(A) =
a b a b (B) +=+a b a b (C) ()()= a b c a b c (D) 2
= a a a （4）已知直线l :20x y b +-=,圆C
:(2
24x y +=,则“01b <<”是“l 与C 相交”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （5）正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是
(A) n ∀∈*N ，1n n S a +< (B) n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… (C) n ∃∈*N ，212n n n a a a +++= (D) n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+ （6）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值为
(A)
245 (B) 285
(C) 5 (D) 6 （7）设实数x ，y 满足约束条件10,
10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
， 则()22
2x y ++的取值范围是
（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C
）⎡⎣ （D
）2⎣
正视图 侧视图
俯视图
2
1
2（8）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
, 则函数()f x 的单调递减区间是
(A) 32,2(88k k k ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦Z ) (B) 52,2(88k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦Z ) (D) 5,(88k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦Z ) （9）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为
1
2
R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为
(A)
169π (B) 163π (C) 649π (D) 643
π （10）定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,00f x f x f '>-=，其中()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x
x e
f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为
(A) ()1,-+∞ (B) ()(),10,-∞-⋃+∞
(C)
()0,+∞ (D) ()(),01,-∞⋃+∞
（11）如图1，一个三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为
(A) 3 (B) 2
(C)
(D)
图1 （12）设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3
f x x =, 则函数()()()cos
g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的所有零点的和为 (A) 7 (B) 6 (C) 3 (D) 2
第Ⅱ卷
二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）曲线()2
3f x x x
=
+在点()()1,1f 处的切线方程为 ． （14）已知平面向量a 与b 的夹角为3
π
，(1=a
，2-=a b b = ．
D
C
B
A
A 1
B 1
C 1
D 1
（15）已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线1
2
y x =的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 ．
（16）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作．书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢．”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，返回去迎驽马．多少天后两马相遇．”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第_______天，两马相逢．
三． 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分10分）
已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，有222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． (Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)
求()sin()6f x x A x x ππ⎛⎫
=--
≤≤ ⎪⎝⎭
的值域．
（18）（本小题满分12分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 已知13a =, 123n n a S +=+(n ∈N *)． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（19）（本小题满分12分）
如图2,在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,60BAD ∠=︒,AB BD =,BC CD =． (Ⅰ) 求证:平面11ACC A ⊥平面1A BD ；
(Ⅱ) 若BC CD ⊥,12AB AA ==,求三棱锥11B A BD -的体积．
（20）（本小题满分12分）
对于函数)0(2)1()(2>-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．
（Ⅰ）当2,2-==b a 时，求)(x f 的不动点；
（Ⅱ）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下判断直线22:a ax y l -=与圆44)3()2(222+=-+-a y x 的位置关系．
（21）（本小题满分12分）
如图3，椭圆1C ：22
221+=x y a b (0>>a b )和圆2C :222+=x y b ,已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分,
椭圆1C
右焦点到直线2=a x c ,椭圆1C 的下顶点为E ,过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任
意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ． (Ⅰ) 求椭圆1C 的方程；
(Ⅱ) 若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个 交点为点P 、M ．求证：直线MP 经过一定点．
图3
（22）（本小题满分12分）
设函数()ln f x ax b x x =+-(0a >),()221x g x x
=+,若直线y e x =-是曲线C :()y f x =的一条
切线,其中e 是自然对数的底数,且()11f =． (Ⅰ) 求a ,b 的值；
(Ⅱ) 设01n m <<<,证明:()()f m g n >．
广东省六校联盟2017届高三第三次联考参考答案
文 科 数 学
一． 选择题
（1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）A （8）D （9）D （10）C （11）B （12）A 二． 填空题
(13) 40x y -+= (14) 2 (15) 22
55194
x y += (16) 16
三． 解答题
（17）解：(Ⅰ)∵222sin sin sin sin sin B C A B C +=+，
由正弦定理得：2
2
2
b c a bc +=+，∴2221
cos 22
b c a A bc +-==，
又∵(0)A π∈，
，∴3
A π
=； …………6分
(Ⅱ
)()sin()3f x x x π
=-
11sin x sin 2222
x x x x -=+
sin()3
x π
=+
………………………………………8分
6
x π
π-
≤≤ ，46
3
3
x π
π
π
∴
≤+
≤
，………………………………………9分
sin 3x π⎡⎤⎛
⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，………………………………………11分
∴()f x
的值域为⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． ………………………………………12分 (18) 解：(Ⅰ) 当2n ≥时, 由123n n a S +=+, 得123n n a S -=+,…………………………1分 两式相减, 得11222n n n n n a a S S a +--=-=, …………………………2分 ∴ 13n n a a +=． ∴
1
3(2)n n
a n a +=≥． ………………………………………3分 当1n =时,13a =，21123239a S a =+=+=, 则
2
1
3a a =．…………………4分 ∴数列{}n a 是以13a =为首项, 公比为3的等比数列． ………………………5分
∴1333n n n a -=⨯=． ……………………………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得()()21213n
n n b n a n =-=-⋅．
∴ ()2
3
133353213n
n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ , ① …………………7分
()2
3
41
3133353213
n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅ , ② …………………8分
①-②得:()2
3
1
213232323213n
n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………9分
(
)()231
32333213
n
n n +=+⨯+++--⋅ ()()2113133221313
n n n -+-=+⨯
--⋅-
()1
6223n n +=---⋅． …………………………………11分
∴ ()1
13
3n n T n +=-⋅+．……………………………………………………12分
(19) 解：(Ⅰ)证明：因为AB BD =,60BAD ∠=︒,所以ABD ∆为正三角形， …………1分 所以AB AD =,又CB CD =,AC 为公共边,所以ABC ∆≌ADC ∆， 所以CAD CAB ∠=∠,所以AC BD ⊥．…………2分
又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD ,1AA BD ⊥，…………………3分 又1AC AA A = ,所以BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………4分 又BD ⊂平面1A BD ,所以平面11ACC A ⊥平面1A BD ．………………………………………5分
(Ⅱ)因为11//AA BB ,所以11111B A
BD A BB D A BB D V V V ---==，…………………………………………7分 由(Ⅰ)知AC BD ⊥,又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱,所以1BB ⊥平面ABCD ,1BB AC ⊥， 又1BD BB B = ,所以AC ⊥平面1BB D ，…………………………………………………10分 记AC BD O = ,
则11111223323A BB D BB D V S AO -∆⎛⎫
=
⋅=⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭
， 所以三棱锥11B A BD -
12分 (20)解：(Ⅰ))0(2)1()(2>-+++=a b x b ax x f ，当2,2-==b a 时,2()24f x x x =--,
设x 为其不动点,即x x x =--422，则04222=--x x ,解得2,121=-=x x ，
即)(x f 的不动点为-1,2． …………………………………………………2分 (Ⅱ)由x x f =)(得022=-++b bx ax ，
关于x 的方程有相异实根,则0)2(42>--=∆b a b ,即0842>+-a ab b ………………………3分 又对所有的R b ∈,0842>+-a ab b 恒成立，故有0)8(4)4(2<⋅-a a , 即022<-a a ， ∵0>a 两边同除以a 得:20<<a ． …………………………………………………6分 （Ⅲ）由圆的方程得圆心M )3,2(,半径122+=a r ， M 到直线22a ax y -=的距离2
22
213
221|
232|a
a a a
a a d ++-=
+--=
，
∵0]25
)21(2[32222
>+-=+-a a a ，∴221322a
a a d ++-= ……………………………8分 比较d 与r 的大小：
1
121
)
322()1(21
3
22122
2
222
22
+-=
++--+=
++--
+=-a a a a a a a a a a d r ．……………………9分
由(Ⅱ)知20<<a ,∴当)2
1
,0(∈a 时， d r <,此时直线和圆相离；
当21
=
a 时，d r =, 此时直线和圆相切； 当)2,2
1
(∈a 时，d r >, 此时直线和圆相交． …………………………………………12分
(21) 解：(Ⅰ)依题意,1223=⋅b a ,则3=a b ,
所以=c ,
又22
-==a b c c c , 所以1=b ,于是3=a ,所以椭圆方程为2
219
+=x y ．
…………………………………………3分
(Ⅱ) 由题意知直线PE 、ME 的斜率存在且不为0,设直线PE 的斜率为k ,则PE :1=-y kx ,
由2
2
119=-⎧⎪⎨+=⎪
⎩y kx x y 得22218919191⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
k x k k y k 或01=⎧⎨=-⎩x y ,所以22
21891,9191⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ． ………………………6分 用1
-k 去代k ,得222189,99⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
k k M k k ,…………………………………………7分
因为22
222
2
29191919181810919
----++==+++PM
k k k k k k k k k k k ,…………………………………………9分 所以直线PM :2222
91189109--⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭k k k y x k k k ,即214
105
-=+k y x k ,…………………………11分
所以直线PM 经过定点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
T ．…………………………………………12分
（22）解：(Ⅰ)设切点为()00,T x y ,因为()1ln f x a x '=--,………………………………1分 所以()001ln 1f x a x '=--=-,即0ln a x =……①
又切线方程为()00y y x x -=--,即00y x y x =+-,所以00e x y +=．………………………2分 将0000ln y ax b x x =+-代入上式得0000ln e x ax b x x ++-=,
将0ln a x =代入上式得0e b x =-,……② ………………………………3分
因为()11f =,所以1b a +=,所以00ln e 1x x +-=,即00ln e 10x x -+-=,……………………4分 令()ln e 1h x x x =-+-,则()111x h x x x
-'=
-=,故()h x 是()0,1上递增,在()1,+∞上递减, 且当1x =时,()h x 取极大值()ln11e 1e 20h x =-+-=->,
因为()
2
22e
2e e 1e 3e 0h ---=--+-=--<,且()e 0h =, 故()h x 在区间()
2
e ,1-有一个零点0
x ',在区间()1,+∞上的零点为e , 因为0a >,所以0ln 0a x =>,所以0e x =,……③
将③代入①②可得1a =,0b =． …………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x x =-,令m tn =,则1t >, 要证()()f m g n >,即证()()f tn g n >⇔()22ln 1n tn tn tn n ->
+()22
ln 1t t tn n
⇔->+,……7分 记()()ln t t t tn ϕ=-(1t >),则()()()1ln 1ln ln 0t tn tn m ϕ'=-+=-=->⎡⎤⎣⎦
所以()()ln t t t tn ϕ=-是()1,+∞上的增函数,()()11ln t n ϕϕ≥=-, ……………………9分
以下再证:221ln 1n n ->+,即证:221
ln 01
n n n --<+, …………………………………………10分
记()2
21ln 1n r n n n -=-+(01n <<),则()()()
()
2
22222114011n n r n n n n n -'=-=>++, 所以()r n 是()0,1上的减函数,所以()()10r n r <=．
综上,原不等式成立．……………………………………………………12分
[其它证法,如放缩法]先证()()f m f n >,再证()()f n g n >；先证()()f m g m >,再证()()g m g n >．。