2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题10等差数列与等比数列教学案文含解析

【2019年咼考考纲解读】 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 2. 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力. 【重点、难点剖析】 一、等差数列、等比数列的运算 1 •通项公式 等差数列： a n = a i + ( n — 1)
d ； 等比数列： n — 1 a n = a i • q .
2 .求和公式
3 .性质 若 m + n = p + q ,
在等差数列中 a m + a n = a p + a q ；
在等比数列中 a m • a n = a p ■ a q .
二 等差数列、等比数列的判定与证明
证明数列｛a n ｝是等差数列或等比数列的证明方法
(1) 证明数列｛a n ｝是等差数列的两种基本方法：
① 利用定义，证明 a n +1 — a n (n € N)为一常数；
② 利用等差中项，即证明 2a n = a n -1 + a n +i (n 》2, n € N).
(2) 证明数列｛a n ｝是等比数列的两种基本方法：
31 +1 *
① 利用定义，证明-一(n € N)为一常数；
a n
② 利用等比中项，即证明 a n = a n — i a n + i (n >2, n € N).
三、等差数列、等比数列的综合问题
解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、 方程的交汇问题，可以结合数列的单调 性、最值求解.
【高考题型示例】
题型一、等差数列、等比数列的运算
例1、(2018 •北京)设｛a n ｝是等差数列，且 a i = 3, a ?+ a 5= 36,则｛a n ｝的通项公式为 ________ . 等差数列与等比数列
等差数列: a i + a n
2 d;
等比数列: a i S n = a i — a n q
(q ^ i)
n =n a i + -
答案a n = 6n—3(n€ N*)
解析方法一一设公差为d. T a2 + a5= 36,「.(a i+ d) + (a i + 4d) = 36,「.2ai+ 5d= 36. T a i= 3,「.d= 6,
通项公式a n= a i+ ( n—i)d= 6n —3(n€ N).
方法二设公差为d,T a2 + a5 = a i + a6 = 36, a i = 3,
a6 —ai *
a6= 33,—d = = 6. T a i= 3,•••通项公式a n = 6n—3(n€ N).
5
【变式探究】(20i8 •全国川)等比数列｛a n｝中，a i = i, a5= 4a s.
①求｛a n｝的通项公式；
②记S为｛a n｝的前n项和，若63，求m
解①设｛刈的公比为小由题设得mW
由已知得孑=呵,解得q=w舍去h 或纟=兰
故4=1 一巧宀或处*
1 r■—丁『耳
②若％=(—2尸―打JiJJ Sn—q
由5^=63得(-2)-^= -1SS.此方程没有正整数解•
若皿=2”】，则5n=2M- 1-
由S^=63得鈔= 64,解得斗】=6,
综上〉nt=6.
【变式探究】(20i7 •全国I )记 $为等差数列｛a n｝的前n项和.若a4+ a5= 24, S= 48,则｛a n｝的公差为
答案4
解析设｛a n｝的公差为d,
a i + 3d + a i + 4d = 24,
a4+ a5= 24,
由得6X5
|S B= 48, |6a i+ 2 d= 48,
k 2
解得d= 4.
【感悟提升】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a i和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.
【变式探究】设公比为q(q>0)的等比数列｛a n｝的前n项和为S,若S2 = 3a2+ 2, S= 3a4+ 2，则a i等于()
1 2
A . — 2
B . — 1 C. — D.— 2 3
答案 B
解析 S — S 2 = a 3 + a 4 = 3a 4 — 3a 2,
2 即 3a 2+ a 3— 2a 4= 0，即 3a 2 + a 2q — 2a 2q = 0,
3 即 2q 2— q — 3 = 0,解得 q =— 1(舍)或 q = 2, 3 当 q = 2时，代入 S 2= 3a 2+ 2, 得 a i + a i q = 3a i q + 2,解得 a i = — 1. 【变式探究】设等比数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 3an = 2a 2，且S+ S 2 =入S 8,贝U 入= _____________ . 答案8 解析 • a 3an = 2a 5,• • a^ = 2a 5,・• q = 2, S 4+ S 2=入 Ss ,
4 12 8 a 1 1 — q a 1 1 — q 入 a 1 1 — q •. + = 1 — q 1 — q 1 — q ' 丄 4 」 12 、8、 1 — q + 1 — q =入(1 — q ), 4 8 将q = 2代入计算可得入=3. 题型二 等差数列、等比数列的判定与证明 1 1 * 例 2、已知数列｛a ｝, ｛ b n ｝，其中 a 1= 3, b 1 = — 1,且满足 a n =-(3 a n -1 — b -1), b n = — ?(a n -1 — 3b n -1), n € N , n 》2. (1)求证：数列｛a n — b n ｝为等比数列;
又 a 1 — b 1 = 3— ( — 1) = 4 , 所以｛a n — b n ｝是首项为4 ,公比为2的等比数列.
⑵解由(1)知，a — b n = 2n +1,①
1 (
又 a n + b n = 2(3 a n — 1 — b n — 1) + — 2 ( a n — 1 — 3b n — 1) = a n — 1 + b n — 1 , 又 a 1 + b 1 = 3+ ( — 1) = 2 , 所以｛a n + b n ｝为常数数列，a n + b n = 2 ,②
⑵求数列 a n a n +1
的前n 项和T n .
1
(1)证明 1
2 ( a n -1 — 3b n - 1) = 2( a n - 1— b n - 1),
联立①②得，a n = 2 +1,
【感悟提升】（1）判断一个数列是等差（比）数列，也可以利用通项公式及前 n 项和公式，但不能作为证明方 法. ⑵a n = a n - 1a n +1（n 》2）是数列｛a n ｝为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零.
1 【变式探究】已知｛a n ｝是各项都为正数的数列，其前 n 项和为S,且S 为a n 与 的等差中项. a n
（1）求证：数列｛6｝为等差数列；
⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式;
明 由题意知 月 + 丁即 IS 泊x — ｛ *〕
当空2时$有代入（床）式得
— Sfl-i ） — C — Sx-1）~= 1, 整理得S-SS_）=1（^2）・ 又当貝=1时'由〔*）式可得戊】=S1= 1 ¥ 二数列｛^｝是首项为h 公差为】的等差数列・
(2)解由(1)可得 S . = 1+ n — 1 = n ,
•• •数列｛a n ｝的各项都为正数，
••• S= *J n,
当 n 时，a n = S — S n -1 = J n —弋.j n — 1, 又a 1 = S = 1满足上式，
• a n =心—Q n —1( n € N).
—]
⑶解由⑵得b n = a =
----- an \ n —寸 n — 1
=(—1)n ( n + n - 1),
当n 为奇数时,
T n =— 1 + ( 2+ 1) — ( 3 + 2) +…+ ( n - 1+ n -2) — ( n + n - 1) =— n , 当n 为偶数时,
T = — 1 + (*』2+ 1) —( 3+ 叮2) +…一(二:n —1 + Q n — 2) + CJ n + “-J n — 1) =y n , •••数列｛b n ｝的前 n 项和 T n = ( —
⑶设b n = -1 a n n
「，求｛ b n ｝的前n 项和T n .
1 1 n
2
n 2 1 2n + 1 21+ 1一2n +1+ 1 = 3— 2n +
1+ 1(n € N)-
1)\/n(n€ N).
题型三等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列｛a n｝的公差为一1，且a2 + a7 + a i2= —6.
(1) 求数列｛a n｝的通项公式a n与其前n项和S；
(2) 将数列｛a n｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛b n｝的前3项，记｛b n｝的前n项和为T n,若存在m e N*,使得对任意n€N*，总有S<T m+入恒成立，求实数入的取值范围.
解(1)由a?+ a7 + a12= —6，得a7=—2,「. a = 4,
n 9 —n 一*
•- a n= 5—n,从而S= ------ 2 (n € N).
(2)由题意知b1 = 4, b2= 2, b3= 1,
设等比数列｛b n｝的公比为q,
••• $ m随m的增加而减少，
2
•｛Tn｝为递增数列，得4W T m<8.
=—；(n2—9n)
故($) max= S= S5= 10,
若存在m€ N，使得对任意n€ N，总有S<T n+入，
则10<8+入，得入>2.
即实数入的取值范围为(2 ,+^).
【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使
运算简便.
⑵数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.
(3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.
【变式探究】已知数列｛a n｝的前n项和为S,且$— 1 = 3(a n—1) , n€ N*.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
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⑵设数列｛b n｝满足a n+ 1= '2丿，若b n < t对于任意正整数n都成立，求实数
解⑴由已知得S产坯一2,令尸1,得如f
得舐_1=了2"
所以数列伽｝是我1为苜项，訪公比的等比数列, 剜m二咅Kg".
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4 4
所以(b n)max= L = b = 3,所以t > 3.
■4\
即t的取值范围为,+s J.
t的取值范围. 所以b n+1 —b n = (n +1)3
n-「3n1
n
—
1
(2 —n),
⑵由a n+1= 2,。