同济七版NUAA高数课件 第二章 导数与微分 第四节 初等函数的求导问题
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第四节 初等函数的求导问题
初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数
一、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec x tan x
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
4.复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数.
x
1 cosh
2
x
1
1 sinh 2 cosh2
x
1 cosh2
x
x
cosh2
x
1
sinh 2xBiblioteka 11 2 sinh 2
x
.
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考
幂函数在其定义域内（
）.
（1）必可导； （2）必不可导； （3）不一定可导；
x 1 x2
曲
1
(1 x ) 1
x 1 x2
1 x2
1 x2
函 数
同理 ( arcosh x) 1
的 导
x2 1
数
( artanh x) ( 1 ln 1 x )
2 1 x
1
1 x
2
例5 求函数 y arctan(tanh x)的导数.
解
y
1
1 tanh2
x
(tanh
x)
1
1 tanh2
解答
正确地选择是（3）
2
例 f ( x) x3 x (,) 在 x 0 处不可导，(1) f ( x) x2 x (,)
在定义域内处处可导， (2)
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
3.反函数的求导法则
定理
如果函数x
(
y)在某区间I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也
x
可
导
,
且有
f ( x) 1 .
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
5. 指数求导法则
幂指函数 u x vx evxlnux u x 0
u x vx evxlnux
evxlnux vxln ux
uxvx
vxln
u x
vx
ux
ux
二、双曲函数与反双曲函数的导数
sinh x e x e x , cosh x e x e x
2
2
sinh x e x e x cosh x
2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x (tanh x) 1
cosh x
cosh2 x
arsinh x ln( x 1 x2 )
(arsinh x) ( x 1 x2 )
反 双
初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数
一、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec x tan x
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
4.复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数.
x
1 cosh
2
x
1
1 sinh 2 cosh2
x
1 cosh2
x
x
cosh2
x
1
sinh 2xBiblioteka 11 2 sinh 2
x
.
三、小结
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考
幂函数在其定义域内（
）.
（1）必可导； （2）必不可导； （3）不一定可导；
x 1 x2
曲
1
(1 x ) 1
x 1 x2
1 x2
1 x2
函 数
同理 ( arcosh x) 1
的 导
x2 1
数
( artanh x) ( 1 ln 1 x )
2 1 x
1
1 x
2
例5 求函数 y arctan(tanh x)的导数.
解
y
1
1 tanh2
x
(tanh
x)
1
1 tanh2
解答
正确地选择是（3）
2
例 f ( x) x3 x (,) 在 x 0 处不可导，(1) f ( x) x2 x (,)
在定义域内处处可导， (2)
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
3.反函数的求导法则
定理
如果函数x
(
y)在某区间I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也
x
可
导
,
且有
f ( x) 1 .
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
5. 指数求导法则
幂指函数 u x vx evxlnux u x 0
u x vx evxlnux
evxlnux vxln ux
uxvx
vxln
u x
vx
ux
ux
二、双曲函数与反双曲函数的导数
sinh x e x e x , cosh x e x e x
2
2
sinh x e x e x cosh x
2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x (tanh x) 1
cosh x
cosh2 x
arsinh x ln( x 1 x2 )
(arsinh x) ( x 1 x2 )
反 双