2020年全国版高考数学(文科)一轮复习必刷题第十五单元 直线与圆锥曲线的关系

第十五单元 直线与圆锥曲线的关系
考点一 直线与椭圆的综合应用
1.(2016年全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的左焦点,A 、B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则
C 的离心率为( ).
A.13
B.12
C.23
D.34
【解析】如图,由题意得A (-a ,0),B (a ,0),F (-c ,0).
由PF ⊥x 轴,得P (-c,b 2
a ).
设E (0,m ), 由PF ∥OE ,得
|MF||OE|=|AF|
|AO|, 则|MF|=
m(a -c)
a
. ①
又由OE ∥MF ,得
1
2
|OE||MF|=
|BO||BF|
,
则|MF|=
m(a+c)2a
. ②
由①②得a-c=12(a+c ),即a=3c ,∴e=c a =13
. 【答案】A
2.(2014年全国Ⅱ卷)设F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34
,求C 的离心率;
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a ,b.
【解析】(1)由c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a
),2b 2
=3ac.
将b 2
=a 2
-c 2
代入2b 2
=3ac ,
解得c a =12或c a
=-2(舍去).
故C 的离心率为12
.
(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴, 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点, 故b 2a
=4,即b 2
=4a. ①
由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|.设N (x 1,y 1),由题意知y 1<0,则 {2(−c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1
=−3
2c,
y 1=−1. 代入C 的方程,得
9c 24a 2+1
b 2
=1. ②
将①及c=√a 2-b 2代入②,得9(a 2-4a)4a 2
+1
4a =1, 解得a=7,b 2
=4a=28,
故a=7,b=2√7.
3.(2017年全国Ⅰ卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√3
2
),P 4(1,
√3
2
)中恰有三点在椭圆C
上.
(1)求C 的方程;
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.
【解析】(1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过P 3,P 4两点.
又由1a 2+1b 2>1a 2+
3
4b 2
知,椭圆
C 不经过点P 1,所以点P 2在椭圆C 上.
因此{1
b
2
=1,1a 2
+
34b 2
=1,
解得{a 2=4,b 2=1.
故C 的方程为x 2
4
+y 2
=1.
(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,
如果l 与x 轴垂直,设l :x=t ,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A ,B 两点的坐标分别为(t,
√4−t 2
2
),(t,-
√4−t 2
2
).
则k 1+k 2=
√4−t 2-22t
-
√4−t 2+2
2t
=-1,得t=2,不符合题设.
从而可设l :y=kx+m (m ≠1),将y=kx+m 代入x 24
+y 2
=1,得(4k 2
+1)x 2
+8kmx+4m 2
-4=0,
由题设可知Δ=16(4k 2
-m 2
+1)>0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-
8km
4k 2+1
,x 1x 2=
4m 2-4
4k 2+1
.
而k 1+k 2=
y 1-1x 1
+
y 2-1x 2
=
kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1
x 2
=
2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)
x 1x 2
.
由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)·
4m 2-4
4k 2
+1
+(m-1)·
-8km
4k 2+1
=0.
解得k=-
m+1
2
. 当且仅当m>-1时,Δ>0.所以l :y=-m+1
2
x+m ,即y+1=-
m+1
2
(x-2), 所以l 过定点(2,-1).
4.(2015年全国Ⅱ卷)已知椭圆C :9x 2
+y 2
=m 2
(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,
线段AB 的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)若l过点(m
3
,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明理由.
【解析】(1)根据题意,因为直线不平行于坐标轴,所以斜率k必然存在,
故设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),则A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).
将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,
故x M=x1+x2
2=-kb
k2+9
,y M=kx M+b=9b
k2+9
.
于是直线OM的斜率k OM=y M
x M =-9
k
,即k OM·k=-9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)不妨设四边形OAPB能为平行四边形.
因为直线l过点(m
3
,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3.
由(1)得OM的方程为y=-9
k
x.设点P的横坐标为x P.
由{y=−9 k x,
9x2+y2=m2,得x P2=k2m2
9k2+81
,即x P=
3√k+9
.
将点(m
3,m)的坐标代入直线l的方程,得b=m(3-k)
3
,因此x M=k(k-3)m
3(k2+9)
.
四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,
即x P=2x M.于是±km
3√k+9=2×k(k-3)m
3(k2+9)
.
解得k1=4-√7,k2=4+√7.
因为k i>0,k i≠3,i=1,2,
所以当l的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB为平行四边形.
5.(2016年全国Ⅱ卷)已知椭圆E:x 2
t +y
2
3
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
【解析】(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,椭圆E 的方程为x 24+y 23
=1,A (-2,0).
由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4
, 因此直线AM 的方程为y=x+2. 将x=y-2代入x 24+y 23
=1,得7y 2
-12y=0,
解得y=0或y=127,所以y 1=127
.
因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=
144
49
. (2)由题意知t>3,k>0,A (-√t ,0).将直线AM 的方程y=k (x+√t )代入x 2t +y 23
=1, 得(3+tk 2
)x 2
+2√t ·tk 2
x+t 2k 2
-3t=0.
由x 1·(-√t )=
t 2k 2-3t 3+tk 2
,
得x 1=
√t(3-tk 2
)
3+tk 2
,
故|AM|=|x 1+√t |√1+
k 2=
6√t(1+k 2)3+tk 2
.
由题设知,直线AN 的方程为y=-1
k (x+√t ),故同理可得|AN|=6k √t(1+k 2)3k 2+t
.
由2|AM|=|AN|, 得
2
3+tk
2=
k 3k 2+t
,即(k 3
-2)t=3k (2k-1).
当k=√23
时上式不成立,因此t=
3k(2k -1)k 3-2
.
t>3等价于
k 3-2k 2+k -2k 3
-2
=
(k -2)(k 2+1)
k 3
-2
<0,即
k -2
k 3
-2
<0,
由此得{
k -2>0,k 3-2<0或{k -2<0,k 3-2>0,
解得√23<k<2. 因此k 的取值范围是(√23
,2).
考点二 直线与抛物线的综合应用
6.(2017年全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、
B 两点,直线l 2与
C 交于
D 、
E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ).
A.16
B.14
C.12
D.10
【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k 1(x-1),与抛物线方程y 2
=4x 联立,得k 12
x 2
-(2k 12+4)x+k 12=0,所以
x 1+x 2=
2k 12+4k 1
2
.
同理l 2与抛物线交点x 3+x 4=
2k 22+4k 2
2.
由抛物线定义可得|AB|+|CD|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=
2k 12+4k 1
2+
2k 22
+4
k 2
2+4=4k 12+4k 2
2+8≥2√
16
k 12k 2
2
+8=16.
当且仅当k 1=-k 2=1或k 1=-k 2=-1时取等号. 【答案】A
7.(2015年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24
与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N 两点. (1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程.
(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.
【解析】(1)由题设可得M (2√a ,a ),N (-2√a ,a )或M (-2√a ,a ),N (2√a ,a ).
又因为y'=x
2
,所以y=x 24
在x=2√a 处的导数值为√a ,C 在点(2√a ,a )处的切线方程为y-a=√a (x-2√a ), 即√a x-y-a=0.
y=x 2
4在x=-2√a 处的导数值为-√a ,C 在点(-2√a ,a )处的切线方程为y-a=-√a (x+2√a ),
即√a x+y+a=0.
故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下:
设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程,得x 2
-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
从而k1+k2=y1-b
x1+y2-b x2
=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)
x1x2=k(a+b)
a
.
当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.
8.(2017年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2,
由{x=my+2,
y2=2x,
可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=y12
2,x2=y22
2
,故x1x2=(y1y2)2
4
=4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1
x1·
y2
x2
=-4
4
=-1.
所以OA⊥OB,故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=√(m2+2)2+m2.
由于圆M过点P(4,-2),因此AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
(也可结论:以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接写出)
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得,y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-1
2
.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为√10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-12时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为(94,-12
),圆M 的半径为
√85
4
,圆M 的方程为(x -
94
)2
+(y +12)2=8516
.
9.(2016年全国Ⅲ卷)已知抛物线C :y 2
=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.
(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.
【解析】由题意知F (1
2
,0).设l 1:y=a ,l 2:y=b ,则ab ≠0,且A (a 22
,a),B (b 22
,b),P (-12
,a),Q (-12
,b),R (-12,a+b
2
). 记过A ,B 两点的直线为l , 则l 的方程为2x-(a+b )y+ab=0. (1)由于点F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则
k 1=a -b 1+a 2=a -b
a 2-a
b =1a =
-ab a =-b=b -0
-12-12
=k 2. 所以AR ∥FQ.
(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0), 则S △ABF =1
2
|b-a||FD|=12
|b-a||x 1-12
|,
S △PQF =
|a -b|
2
. 由题设可得|b-a||x 1-12|=
|a -b|
2
, 所以x 1=0(舍去)或x 1=1.
设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ), 当AB 与x 轴不垂直时, 由k AB =k DE ,可得
2a+b =y
x -1
(x ≠1). 而
a+b
2
=y ,所以y 2=x-1(x ≠1).
当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,此时E 点坐标为(1,0),满足方程y 2
=x-1.
故所求轨迹方程为y 2
=x-1.
考点三 直线、圆与圆锥曲线的综合
10.(2017年全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22
+y 2
=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线x=-3上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
【解析】(1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y ),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y 0). 由NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x-x 0,y )=√2(0,y 0), 即{x -x 0=0,
y =√2y 0,解得{x 0=x,y 0=y 2
代入椭圆方程x 022
+y 02
=1,得
x 2+y 2=2,
故点P 的轨迹方程为x 2
+y 2
=2.
(2)由题意知F (-1,0),设Q (-3,t ),P (m ,n ),则
OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,t ),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m ,-n ),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m-tn ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,n ),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-m ,t-n ). 由OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得-3m-m 2
+tn-n 2
=1, 又由(1)知m 2
+n 2
=2,故3+3m-tn=0.
所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,
所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
11.(2013年全国Ⅰ卷)已知圆M :(x+1)2
+y 2
=1,圆N :(x-1)2
+y 2
=9,动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程;
(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.
【解析】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其
方程为x2
4+y
2
3
=1(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2√3.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,
设l与x轴的交点为Q,则|QP|
|QM|=R
r1
,可求得Q(-4,0),
所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得
√1+k =1,解得k=±√2
4
.
当k=√2
4时,y=√2
4
x+√2代入x
2
4
+y
2
3
=1并整理,得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=4±6√2
7.所以|AB|=√1+k2|x2-x1|=18
7
.
当k=-√2
4时,由图形的对称性可知|AB|=18
7
.
综上,|AB|=2√3或|AB|=18
7
.
12.(2016年全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】(1)如图,圆A的圆心为A(-1,0),半径R=4,
因为BE ∥AC ,所以∠C=∠EBD.又因为AC=AD ,所以∠C=∠EDB ,
于是∠EBD=∠EDB ,所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4为定值. 因为|AB|=2,点E 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由c=1,a=2,得b 2
=3,
所以点E 的轨迹方程为x 24+y 23
=1(y ≠0).
(2)因为直线l 与x 轴不重合,故可设l 的方程为x=my+1, 过点B 且与l 垂直的直线方程为y=m (x-1).
由{x 24
+
y 2
3
=1,x =my +1,
得(3m 2+4)y 2+6my-9=0.
设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-
6m 3m 2+4,y 1·y 2=-9
3m 2+4
. 得|MN|=√m 2+1·√(-
6m 3m 2+4)2-4(-93m 2+4)=12(m 2+1)3m 2+4
. 由{x 2+y 2+2x -15=0,y =m(x -1),
得(m 2+1)x 2-2(m 2-1)x+m 2
-15=0. 设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),则x 3+x 4=
2(m 2-1)m 2+1,x 3·x 4=m 2-15
m 2+1
. 得|PQ|=√m 2+1·√[
2(m 2-1)m 2+1
]2
-4(
m 2-15m 2+1)=4√3m 2+4
m 2+1
. 四边形MPNQ 的面积S=1
2
|MN|·|PQ|=24√
m 2+13m 2+4
=24√13-1
3m 2+12, 因为m 2
≥0,所以0<
13m 2+12≤1
12
,故12≤S<8√3.
即四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,8√3).
高频考点:直线与圆锥曲线的位置关系及弦长、中点弦问题,最值、取值范围、证明问题,定点、定值、探索性问题.
命题特点:主要考查解答题,分数为12分,常常以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质,利用待定系数法先确定曲线的标准方程,再进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等,题目综合性较强,往往与向量(共线、垂直、数量积)结合,涉及方程组的联立、根的判别式、根与系数的关系等.
§15.1直线与圆锥曲线的位置关系
一直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为
0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一
元二次方程.
即{Ax+By+C=0,
消去y,得ax2+bx+c=0.
F(x,y)=0
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线
C;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交
点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.
☞左学右考
判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.()
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.()
(3)直线y=kx+1与椭圆x2
5+y
2
9
=1恒有两个公共点.()
(4)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦中,最短的弦长是2p.()
(5)过椭圆x2
a2+y
2
b2
=1的焦点的弦中,最短的弦长为2b
2
a
.()
二圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2
=√1+1
k2·|y1-y2|=√1+1
k2
·√(y1+y2)2-4y1y2.
三直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方
程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入
曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
四辨明两个易误点
(1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直
线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也相交于一点.
(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与抛物线的对称轴平
行或重合时也相交于一点.
若直线y=kx与双曲线x2-y2=2相交,则k的取值范围是().
A.(0,1)
B.(-√2,√2)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有().
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是().
A.(1
3,-2 3 )
B.(-2
3,1 3 )
C.(1
2,-1 3 )
D.(-1
3,1 2 )
教材习题)点P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,又知点P在x轴的上方,F2是椭圆的右焦点,直线PF2的斜率为-4√3,则△PF1F2的面积为.
知识清单
一、(1)相交相切相离(2)平行平行或重合
基础训练
1.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√
2.【解析】双曲线x 2-y 2
=2的渐近线方程为y=±x ,若直线与双曲线相交,由数形结合,得k ∈(-1,1).故选C . 【答案】C
3.【解析】过点(0,1)的直线与抛物线相切时有两条,又与对称轴平行的直线y=1与抛物线也只有一个公共点,故满足条件的直线有3条. 【答案】C
4.【解析】联立{y =x +1,x 2+2y 2=4,得x 2+2(x+1)2-4=0,即3x 2
+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-23,纵坐标为-23+1=13,即(-23,1
3
),故选B.
【答案】B
5.【解析】椭圆的标准方程为
x 2100+y 2
64
=1,则F 1(-6,0),F 2(6,0),故直线PF 2的方程为y=-4√3(x-6).将直线方程代
入16x 2
+25y 2
=1600,得19x 2
-225x+650=0,解得x 1=5或x 2=130
19
.当x 2=130
19时,y 2<0.由x 1=5,得y 1=4√3,故
S △PF 1F 2=12
|F 1F 2||y 1|=12
×12×4√3=24√3. 【答案】24√3
题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用
【例1】(2017宜昌一中检测)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公
共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ).
A.[-12,12
] B.[-2,2] C .[-1,1] D.[-4,4]
【解析】由题意可知y 2
=8x 的准线为x=-2,所以点Q 的坐标为(-2,0).
当直线l 的斜率k=0时,直线与抛物线的交点为(0,0);
当直线l 的斜率k ≠0时,设直线l 的方程为y=k (x+2)(斜率k 显然存在),
联立{y=k(x+2),
y2=8x,
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,由Δ=[4(k2-2)]2-4×(4k2)×k2≥0,得-1≤k≤1且k≠0.
综上可知,k的取值范围是[-1,1].故选C.
【答案】C
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x或y,得到关于y或x的方程.如果是直【变式训练1】(1)(2017兰州检测)若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆
x2 9+y
2
4
=1的交点个数为().
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().
A.(-√15
3
,√15
3
)B.(0,√15
3
)
C.(-√15
3
,0) D.(-√15
3
,-1)
【解析】(1)∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,∴4
22
>2,即m2+n2<4.
∴m
2
9
+n
2
4
<m
2
9
+4−m
2
4
=1-5m
2
36
<1,
∴点(m,n)在椭圆x
2
9
+y
2
4
=1的内部,
∴过点(m,n)的直线与椭圆x
2
9
+y
2
4
=1的交点有2个.故
选B.
(2)(法一)由{y=kx+2,
x2-y2=6,
得(1-k2)x2-4kx-10=0,
∵直线与双曲线右支有两个不同交点,
∴
{
1−k2≠0,
Δ=16k2-4(1-k2)×(-10)>0,
x1+x2=4k
1−k2
>0,
x1x2=−10
1−k2
>0,
解得-
√15
3
<k<-1.故选D .
(法二)当直线与双曲线右支相切时,k=-
√15
3
,直线y=kx+2过定点(0,2),
当k=-1时,直线与双曲线的渐近线平行,顺时针旋转直线y=-x+2时,直线与双曲线右支有两个交点,
∴k 的取值范围为-
√15
3
<k<-1.
【答案】(1)B (2)D
题型二 中点问题
【例2】中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2,直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,线段AB
的中点M 在第一象限,并且在抛物线y 2
=2px (p>0)上,且点M 到抛物线焦点的距离为p ,则直线l 的斜率为
( ).
A.1 B .2
C.32
D .52
【解析】因为中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2,所以√1+b 2a 2=2,即b a
=√3,所以双曲线方程为x 2a 2-y 2
3a 2
=1.因为第一象限内的点M 到抛物线y 2=2px 焦点的距离为p ,故点M 的坐标为(p
2,p).
(法一)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l :y-p=k (x -p 2),联立{y -p =k (x -p
2),x 2a
2-y
23a
2=1,
得(3-k 2)x 2-(2kp-k 2
p )x-k 2p 24
-p 2
+kp 2-3a 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=
2kp -k 2p 3−k 2
.
又因为
x 1+x 22
=p
2, 所以
2kp -k 2p 3−k
2
=p ,解得k=3
2.
(法二)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入双曲线方程得x 12a 2-
y 1
23a 2=1,x 22a 2-y 223a 2
=1, 两式相减,得
y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)
y 1+y 2
,依题意x 1+x 2=p ,y 1+y 2=2p ,
所以直线l 的斜率k=
y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2=3
2
.故选C.
【答案】C
求解直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题主要有两种方法:一是联立直线与圆锥曲线方程,消去x 或【变式训练2】(1)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x=-1,直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ).
A.y=2x-3
B.y=-2x+5
C.y=-x+3
D.y=x-1
(2)已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29
=1所截得的线段的中点,则直线l 的方程是 .
【解析】(1)设抛物线的方程为y 2
=2px (p>0),则p 2
=1,所以抛物线的方程为y 2
=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则
{y 12=4x 1,y 22=4x 2,
两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),所以直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=2,所以直线l 的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.故选A .
(2)设直线l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1236+y 12
9
=1,x 2236+y 229
=1,两式相减,得
y 1-y 2x 1-x 2
=-x 1+x
2
4(y 1
+y 2
)
.
又因为x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,所以
y 1-y 2x 1-x 2
=-1
2,
故直线l 的方程为y-2=-12
(x-4),即x+2y-8=0. 【答案】(1)A (2)x+2y-8=0
题型三 弦长与面积问题
【例3】(2017凉山一诊)设椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1(a>b>0)的离心率为1
2,E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)过点(0,2)且倾斜角为60°的直线交椭圆E 于A ,B 两点,求△AOB 的面积.
【解析】(1)由题意得c a =12
,且a-c=1,∴a=2,c=1.
∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆E 的方程为x 24+y 2
3=1.
(2)过点(0,2)的直线l 的方程为y=√3x+2,
代入椭圆方程x 24+y 23
=1,可得15x 2
+16√3x+4=0,Δ>0恒成立.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-
16√315,x 1x 2=4
15
, ∴|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=
8√33
15
. ∵点O 到直线AB 的距离d=
2
√1+k =1,
∴S △ABC =
|AB|2
d=4√33
15.
求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系
【变式训练3】已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24
+y 2
=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ).
A.2
B.
4√5
5
C.
4√10
5
D.
8√10
5
【解析】设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,
由{x 2+4y 2=4,y =x +t,
消去y ,得5x 2+8tx+4(t 2
-1)=0,则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.
∴|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2·√(-8
5t)
2
-4×4(t2-1)
5
=4√2
5
·√5−t2,当t=0
时,|AB|max=4√10
5
.
【答案】C
方法对称问题求解策略
【突破训练】(2015年浙江卷)已知椭圆x2
2+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+1
2
对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
【解析】(1)(法一)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-1
m
x+b,
由{x2
2
+y2=1,
y=−1
m
x+b,
消去y,得(1
2
+1
m2
)x2-2b
m
x+b2-1=0,
∵直线y=-1
m x+b与椭圆x
2
2
+y2=1有两个不同的交点,
∴Δ=-2b2+2+4
m2
>0,①
将AB的中点M(2mb
m2+2,m2b
m2+2
)代入直线方程y=mx+1
2
,解得b=-m2+2
2m2
,②
由①②得m<-√6
3或m>√6
3
.
(法二)由题意知m≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x2
2
+y2=1上符合条件的两个点,M(x0,y0)是AB的中点,则
x12 2+y12=1,x2
2
2
+y22=1,
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)
2
+(y1+y2)(y1-y2)=0.
∴k AB=y1-y2
x1-x2
=-(x1+x2)
2(y1+y2)
=-x0
2y0
.
∵点A,B关于直线y=mx+1
2
对称,∴k AB=-x0
2y0
=-1
m
,即y0=m
2
x0,③
又y0=mx0+1
2
,④
由③④得x0=1
m
,y0=1
2
.
∵点M(x0,y0)在椭圆内部,∴x0
2
2
+y02<1,即m2>2
3
,
∴m<-√6
3
或m>√6
3
.
(2)令t=1
m
∈(-√6
2
,0)∪(0,√6
2
),则|AB|=√t2+1·
√-2t4+2t2+3
2
t2+12
,
且点O到直线AB的距离为d=t2+
1
2
√2
.
设△AOB的面积为S(t),∴S(t)=1
2
|AB|·d=1
2
√-2(t2-1
2
)
2
+2≤√2
2
,
当且仅当t2=1
2
时,等号成立,故△AOB面积的最大值为√2
2
.
1.(2017山西质检)设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为().
A.p
2
B.p
C.2p
D.无法确定
【解析】当弦AB 垂直于对称轴时,|AB|最短,此时x=p 2
,∴y=±p ,|AB|min =2p.故选C. 【答案】C
2.(2017福州质检)抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x-y=0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( ).
A.y=2x 2
B.y 2
=2x C.x 2
=2y
D.y 2
=-2x
【解析】A ,B 两点其中一个点的坐标是(0,0),由AB 的中点坐标为(1,1),可知另一个点的坐标为(2,2),代入
y 2=2px 中,可得p=1,所以抛物线C 的方程为y 2=2x.
【答案】B
3.(2017赣州二模)设双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).
A.54
B.5
C.√5
2
D.√5
【解析】双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1
的一条渐近线为
y=b
a x ,联立方程组{
y =b a
x,
y =x 2
+1,
消去y ,得x 2
-b
a x+1=0.因为方程
有唯一的解,
所以Δ=(b a
)2-4=0,得b a
=2.
所以e=c a =
√a 2+b
2
a
=√1
+(b a
)2
=√5.选D.
【答案】D
4.(2017太原一模)已知抛物线y 2
=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若|AB |=6,则△AOB 的面积为( ).
A.√6
B.2√2
C.2√3
D.4
【解析】设直线AB 的方程为y=k (x-1), 与抛物线方程联立可得y 2
-4k
y-4=0,
则|y 1-y 2|=4√1+
1k 2
.
由弦长公式可得√1+
1k
2
|y 1-y 2|=4(1+
1k
2)=6,∴k
2
=2.
∴S △AOB =12×|OF |×|y 1-y 2|=1
2×1×2√6=√6.故选A.
【答案】A
5.(2017山东质检)已知双曲线C :x 24-y 25
=1的右焦点为F ,过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|AB|=5,则满足条件的l 的条数为 .
【解析】因为a 2
=4,b 2
=5,c 2
=9,所以F (3,0).若点A ,B 都在双曲线的右支上,当AB 垂直于x 轴时,将x=3代
入x 24-y 2
5
=1,得y=±52
,所以|AB|=5,满足题意;若点A ,B 分别在双曲线的两支上,因为a=2,所以两个顶点的距离为2+2=4<5,所以满足|AB|=5的直线有2条,且关于x 轴对称.综上可知,一共有3条.
【答案】3
6.(2017南昌月考)已知双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .
【解析】设
A (x 1,y 1),
B (x 2,y 2),则x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 2
2b
2=1,两式相减并整理,得
y 2-y 1x 2-x 1=b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=4b 2a 2.∵k=1,∴4b 2a 2=1,∴b a =±1
2
.故双曲线的渐近线方程为y=±1
2x.
【答案】y=±1
2
x
7.(2017年北京卷)已知抛物线C :y 2
=2px 过点P (1,1).过点(0,12
)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过
点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.
【解析】(1)由抛物线C :y 2
=2px 过点P (1,1),得p=12.所以抛物线C 的方程为y 2
=x ,其焦点坐标为(14
,0),准
线方程为x=-14
.
(2)(法一)由题意,设直线l 的方程为y=kx+12
(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由{
y =kx +12
,y 2=x,
得4k 2x 2
+(4k-4)x+1=0,则x 1+x 2=
1−k k
2
,x 1x 2=
1
4k 2
.
因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y=x ,点A 的坐标为(x 1,y 1). 因为直线ON 的方程为y=y
2x 2x ,所以点B 的坐标为(x 1,
y 2x 1x 2
).
因为y 1+
y 2x 1x 2
-2x 1=
y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2
x 2
=
(kx 1+12)x 2+(kx 2+1
2
)x 1-2x 1x 2
x 2
=
(2k -2)x 1x 2+1
2(x 1+x 2)
x 2
=
(2k -2)×
14k 2+1−k
2k
2x 2
=0,
所以y 1+
y 2x 1x 2
=2x 1.
故A 为线段BM 的中点.
(法二)要证A 为BM 的中点,且x A ,x B ,x M 相同,只需证2y A =y M +y B ,等式两边同时除以x M ,则有2k OA =k OM +k ON . 因为k OM +k ON =y
1x 1+y
2x 2=
y 1x 2+y 2x 1
x 1x 2
=
(kx 1+12)x 2+(kx 2+1
2
)x 1
x 1x 2
=2kx 1x 2+1
2(x 1+x 2)x 1x 2
=2k+14k 2+12×1−k
k 214k 2
=2.
又k OA =k OP =1,所以等式成立,即A 为线段BM 的中点.
8.(2015年四川卷)设直线l 与抛物线y 2
=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2
+y 2
=r 2
(r>0)相切于点M ,且M 为线段
AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ).
A.(1,3)
B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4) 【解析】如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0), 则{y 12=4x 1,y 22
=4x 2,
两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).
当l 的斜率k 不存在时,符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时,x 1≠x 2,则有
y 1+y 22
·
y 1-y 2x 1-x 2
=2,
又y 1+y 2=2y 0,所以y 0k=2. 由CM ⊥AB ,得k ·
y 0-0x 0-5
=-1,即y 0k=5-x 0,因此2=5-x 0,x 0=3,
即点M 必在直线x=3上.
将点x=3代入y 2
=4x ,得y 2
=12,则有-2√3<y 0<2√3.
因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2
+y 02=r 2
,故r 2
=y 02
+4<12+4=16.
又y 02+4>4(为保证有4条,当k 存在时,y 0≠0),
所以4<r 2
<16,即2<r<4,故选D.
【答案】D
9.(2017岳阳二模)直线3x-4y+4=0与抛物线x 2
=4y 、圆x 2
+(y-1)2
=1从左至右的交点依次为A ,B ,C ,D ,则|CD|
|AB|
的值为 .
【解析】如图,抛物线x 2
=4y 的焦点为F (0,1),直线3x-4y+4=0过点(0,1).设A (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由
{x 2=4y,3x -4y +4=0,
得4y 2-17y+4=0,解得y 1=14,y 2=4.∴A (-1,14),D (4,4),
∴|AF|=5
4,|DF|=5,
∴|CD||AB|=|DF|-1|AF|-1=5−1
54
-1
=16.
【答案】16
10.(2017湖南联考)已知点N (1,2),过点N 的直线交双曲线x 2-y 2
2=1于A ,B 两点,且ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则直线AB
的方程为 .
【解析】由题意知直线AB 的斜率存在,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴N 是AB 的中
点,∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=4.∵x 12-y 122
=1,x 22-y 2
22
=1,两式相减,得
y 1-y 2x 1-x 2=2(x 1+x 2)
y 1+y 2
=1. ∴直线AB 的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
【答案】x-y+1=0
11.(2017咸阳市模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12
,点A 在椭圆C 上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过点F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为PQ 的中点. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知点M (0,18
),且MN ⊥PQ ,求直线MN 所在的直线方程.
【解析】(1)由e=12
,得a=2c ,因为|AF 1|=2,|AF 2|=2a-2, 由余弦定理得|AF 1|2+|AF 2| 2-2|AF 1|·|AF 2|cos A=
|F 1F 2|2,
解得c=1,a=2,所以b 2
=a 2
-c 2
=3.
所以椭圆C 的方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)因为直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y=k (x-1),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立{y =k(x -1),
x 2
4+y 23
=1,
得(3+4k 2
)x 2
-8k 2
x+4k 2
-12=0. 则x 1+x 2=
8k 2
3+4k 2
,
y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k=
-6k
3+4k 2
.
此时N (
4k 2
3+4k
2
,
-3k
3+4k
2),又
M (0,1
8),
则
k MN =18+3k 3+4k 20−4k
23+4k
2=-24k+3+4k 232k 2. 因为MN ⊥PQ ,所以k MN =-1k ,得k=12或k=32
.
则k MN =-2或k MN =-23
.
所以直线MN 的方程为16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.
12.(2017青岛市质检)已知椭圆Γ:x 2a
2+y 2
=1(a>1)的左焦点为F 1,右顶点为A 1,上顶点为B 1,过F 1,A 1,B 1三点的圆P 的圆心坐标为(
√3-√22
,
1−√6
2
).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l :y=kx+m (k ,m 为常数,k ≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M 和N. ①当直线l 过点E (1,0),且EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2EN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时,求直线l 的方程; ②当坐标原点O 到直线l 的距离为√32,且△MON 的面积为√3
2时,求直线l 的倾斜角.
【解析】(1)∵A 1(a ,0),B 1(0,1),∴A 1B 1的中点为(a 2,1
2
),A 1B 1的斜率为-1a
,
∴A 1B 1的垂直平分线方程为y-12=a (x -a
2).
∵圆P 过点F 1,A 1,B 1三点,∴圆心P 在A 1B 1的垂直平分线上. ∴
1−√62-12=a (√3-√22-a
2
),解得a=√3或a=-√2(舍去).
∴椭圆的方程为x 2
3+y 2=1.
(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),
由{x 23
+y 2=1,
y =kx +m,
可得(3k 2
+1)y 2
-2my+m 2
-3k 2
=0,
∴y 1+y 2=
2m
3k 2+1
,y 1y 2=
m 2-3k 23k 2+1
. ③
①∵直线l 过点E (1,0),∴k+m=0. ④
∵EM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴(x 1-1,y 1)+2(x 2-1,y 2)=(0,0).
∴y 1+2y 2=0. ⑤
由③④⑤可得,k=1,m=-1或k=-1,m=1.
∴直线l 的方程为y=x-1或y=-x+1. ②∵坐标原点O 到直线l 的距离为√3
2, ∴
|m|
√k +1
=√32⇒m 2=3
4(k 2+1). ⑥
结合③得|MN|=√1+
1k 2
|y 2-y 1|
=√1+1
k
2×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2
=√1+1k
2×√(
2m
3k 2+1
)2
-4×
m 2-3k 23k 2+1
, ⑦
由⑥⑦得|MN|=√
3(k 2+1)(9k 2+1)
(3k 2
+1)
2
,
∴S △MON =12|MN|×√32=√3
4√
3(k 2+1)(9k 2+1)
(3k 2+1)2
.
∵△MON 的面积为√3
2,
∴√3
4√
3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2
=√3
2,解得
k=±√3
3.
设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ=±√3
3
,
∵0≤θ<π,∴θ=π6或θ=5π
6.
§15.2 直线与椭圆的综合应用
一椭圆的焦点弦
1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.
,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长
2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长2b2
a
的最小值.
二直线与椭圆的位置关系的研究方法
1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲
线的定义的运用,以简化运算.
2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.
3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在
特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.
4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先
取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.
5.范围(最值)问题:
(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);
(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);
(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);
(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);
(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).
☞左学右考
已知经过点(0,√2)且斜率为k的直线l与椭圆x 2
2
+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是().
A.(-√2
2,√2
2
) B.(-∞,-√2
2
)∪(√2
2
,+∞)
C.(-√2,√2)
D.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)
已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C ().
A.√5
5B.√10
5
C.2√5
5D.2√10
5
若点O和点F分别为椭圆x 2
9+y
2
8
=1的中心点和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值
为.
已知椭圆C的方程为x 2
4+y
2
3
=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x=4与
直线PA、PB分别交于M、N两点.若点D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为.
基础训练
1.【解析】由题意得,直线l的方程为y=kx+√2,代入椭圆方程并整理,得(1
2
+k2)x2+2√2kx+1=0.直线l与椭
圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(1
2+k2)=4k2-2>0,解得k<-√2
2
或k>√2
2
,即k的取值范围为(-∞,-
√2 2)∪(√2
2
,+∞).故选B.
【答案】B
2.【解析】点A (-1,0)关于直线l 的对称点为A'(-3,2),连接A'B 交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为|A'B|=2√5,所以椭圆C 的离心率的最大值为c a =√5=√55
,故选A. 【答案】A
3.【解析】设P (x ,y )(-3≤x ≤3,-2√2≤y ≤2√2)为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,依题意得左焦点F (-1,0),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y ),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP
⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+1)+y 2=x 2+x+72−8x 2
9
=19
(x +92
)2
+234
. ∵-3≤x ≤3,∴32≤x+92≤152,∴9
4≤(x +92)2
≤
225
4
. ∴1
4≤1
9(x +92)2
≤25
4,∴6≤1
9(x +92)2+23
4≤12,即6≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤12.故最小值为6. 【答案】6
4.【解析】设点P (x 0,y 0),M (4,y M ),N (4,y N ),则直线PA 、PB 所在的直线方程分别为y=y 0
x 0+2
(x+2)、y=
y 0
x 0-2
(x-2),依
题意,可求得y M =
6y 0
x 0+2
,y N =
2y 0
x 0
-2
.∵DM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,y M ),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,y N ),∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+12y 02x 02-4
.又x 024+y 02
3=1,∴12-3x 02=4y 02
,即
12y 02x 02-4
=-9,∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴MN 为过D 、M 、N 三点的圆的直径.
设定点为E (t ,0),则MN 为线段DE 的垂直平分线,∴
7+t
2
=4,解得t=1,故定点坐标为(1,0).
【答案】(1,0)
题型一 椭圆中的定值问题
【例1】(2015年四川卷)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的离心率是√2
2,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.
(1)求椭圆E 的方程.
(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意得,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ), 又点P 的坐标为(0,1),且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,
所以{1−b 2=−1,c a
=√22
,
a 2-
b 2
=c 2,
解得{a =2,
b =√2,
所以椭圆E 的方程为x 24+y 22
=1.
(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
联立{x 2
4
+
y 22
=1,
y =kx +1,
得(2k 2
+1)x 2
+4kx-2=0.
其判别式Δ=(4k )2
+8(2k 2
+1)>0, 所以x 1+x 2=-4k
2k 2
+1
,x 1x 2=-
2
2k 2
+1
.
从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]
=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =
(-2λ-4)k 2+(−2λ-1)
2k 2
+1
=-
λ-1
2k 2+1
-λ-2,
所以当λ=1时,-
λ-1
2k 2+1
-λ-2=-3,
此时OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3为定值. 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 即为直线CD ,。