正项级数的判别法

正项级数的判别法
分布图示
★正项级数 ★比较判别法
★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5
★比较判别法的极限形式
★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10
★比值判别法 ★例11 ★例12 ★例13 ★根值判别法 ★例14 ★例15 ★例16 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-2
内容要点
一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：
比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）
比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.
使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且n
n n u u 1
lim +∞→ 存在或等于无穷
大的情形.
根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞
→n n n u lim
或等于
∞+的情形.
积分判别法：对于正项级数
,1
∑∞
=n n
a ，如果}{n
a 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数
)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞
=1
n n a 的敛散性.
例题选讲
比较判别法的应用
例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p n
p p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n n
p
≥
-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见
,1
1⎰-<n n p p x dx n p p p n n
s 1
31211++++=
,11
111111111112
1
-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++
<--⎰⎰⎰
p n p x dx x dx x dx p n n n p
p p
即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散
例2（E02）证明级数
∑
∞
=+1
)
1(1
n n n 是发散的.
证
)1(1
+n n ,11
+>n 而级数
∑
∞
-+1
11n n 发散， ∴
∑
∞
-+1
)
1(1n n n 发散.
例3（E03）判别级数
∑∞
=+++1
2
2
)
2()1(1
2n n n n 的收敛性.
解 运用比较判别法.因
22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2
+<n ,23
n < 而
∑
∞
=1
31
n n 是收敛的,所以原级数收敛.
例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞
=1
n n
a
及
∑∞
=1
n n
b
均收敛， 证明级数
∑∞
=1
n n
c
收
敛.
证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于
∑∞
=1
n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
都收敛,故
)(1
n
n n
a b ∑∞
=-是收敛的,
从而由比较判别法知,正项级数
)(1
n n n
a c
∑∞
=-也收敛.
再由
∑∞
=1
n n
a
与
)(1
n n n
a c
-∑∞
=的收敛性可推知: 级数
∑∞
=1
n n c )]([1
n n n n
a c a
∑∞
=-+=也收敛.
例5 设⎰
=
40
tan π
xdx a n
n ，证明级数∑
∞
=1
n n
n
a λ)0(>λ收敛. 证 由⎰
=
40
tan π
xdx a n n ⎰
<
40
2sec tan π
xdx x n
⎰
=40tan tan π
x xd n
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=
+4
1tan 11π
x n n 11+=n n 1< 得.λλ
+<
<
11
0n n a n 因为,11>+λ所以∑
∞
=+1
11
n n λ
收敛, 由比较判别法知
∑∞
=1
n n
n a λ收敛.
比较判别法及其推论的应用
例6（E05）判定下列级数的敛散性:
(1) ;11ln 1
2∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n n (2)
.cos 111
∑
∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+n n n π
解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=∞→2211ln lim n n n 221lim n n n ⋅=∞
→1=
根据极限判别法,知所给级数收敛.
)2(因为 n n u n 2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/3
2
2
211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞
→n n n n
n π,2
1
2π=
根据极限判别法, 知所给级数收敛.
比值判别法的应用
例7 判别级数∑∞
=++1
)(n a
n n
n a n 的敛散性. 解 记a
n n
n n a n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=
1,1a n
n n a ⎪⎭⎫
⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1
a
n n v =因 n
n n v u ∞→lim n
n n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数
∑∞
=1
1
n a
n
具有相同的敛散性,从而知
当1>a 时，级数∑∞
=++1
)(n a
n n
n a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑
∞
=++1
)(n a
n n
n a n 发散.
例8 判别级数
∑
∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1sin n n n ππ
的敛散性. 解 选取级数∑
∞
=⎪⎭⎫
⎝
⎛13
n n π作比较.
由,613cos 1lim sin
lim
203
=-=-→→x x x n x x x π可得3sin
lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→n n n n ππ
π
.61=
因级数∑
∞
=⎪⎭⎫
⎝
⎛13
n n π收敛,所以原级数也收敛.
注: 从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.
根值判别法的应用
例9（E06）判别级数
∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1
1ln 1
n n n n
的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于
2)
1ln(lim
x x x x +-+∞→x x x 211
1lim +-
=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,2
1=
从而2111ln 1lim
n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln
1lim n
n n n n +-=∞→.21= 由级数
∑
∞
=1
21
n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.
例10 级数,11∑
∞
=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑
∞
=+1
1
11n n
n 收敛. 你认为他的说法对吗?
解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n
1
1+
与n 有关,事实上 n n n
n /11lim
11+∞→1)(lim -∞
→=n n n 1=
由级数∑
∞
=11n n 的发散性,可知级数∑
∞
=+1
1
11
n n
n 也发散.
例11（E07）判别下列级数的收敛性：
(1) ∑∞
=1!
1
n n ； (2)
∑∞
=1
10!
n n n . 解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=
n ,0−−→−∞
→n 故级数∑
∞
=1
!1n n 收敛. )2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞
→n 故级数∑
∞
=1
10!n n
n 发散.
例12（E08）判别级数
∑∞
=⎪
⎭⎫
⎝
⎛
+1
2
12n n
n n 的敛散性.
解 因为n n
n )
12(2
+,22n n <而对于级数,212∑
∞
=n n n 由比值判别法,因 n n n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21
=,1< 所以级数∑
∞
=1
2
2n n
n 收敛,从而原级数亦收敛.
例13 判别级数)0(!1>∑∞
=a n
a n n n n
的收敛性.
解 采用比较判别法,由于
n
n n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a
= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注
意到:
数列n
n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n
<⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
11 于是
,11>=+n
n n x e
u u 即,n n u u >+1 故,e u u n =>1 由此得到,0lim ≠∞
→n n u 所以当时原级数发散.
例14(E09(2))判别级数
2
111n n n ∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-的收敛性.
解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法. 因为n n n u ∞→lim n n n n 2
11lim ⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=∞→n
n n ⎪⎭⎫
⎝⎛-=∞→11lim e
1=1< 故所求级数收敛.
例15（E09(1)）判别级数∑∞
=---1)1(2n n n
的收敛性：
解 因为
n n n u ∞→lim n
n n n n
)(2lim ---∞
→=n
n n )1(12
lim --
-∞
→=2
1=
1< 由根值判别法知题设级数收敛.
例16 判别级数∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n
2
3
≤ 而,2121lim =∞
→n
n n ,212
3lim =∞→n n n
n n n
n 2)1(2lim -+∞→21=1< 故原级数收敛.。